Эффект Франца-Келдыша: поглощение света в электрическом поле

В 1958 году немецкий физик-теоретик Вальтер Франц и независимо от него советский физик Леонид Келдыш предсказали, что край межзонного поглощения света в полупроводнике должен смещаться в красную сторону при включении внешнего электрического поля. Эффект оказался не просто экзотической поправкой к спектру: на нём построена целая ветвь оптоэлектроники - электроабсорбционные модуляторы для оптоволоконных линий связи. Разберём, как поле наклоняет энергетические зоны, почему появляется поглощение фотонов с энергией ниже запрещённой зоны, и как из формулы с функцией Эйри получаются осцилляции, видимые в эксперименте.

Контекст: Franz 1958 и Келдыш 1958

Обе работы вышли в 1958 году почти одновременно. Франц опубликовал статью в Zeitschrift für Naturforschung, Келдыш - в ЖЭТФ. Идея у них была одна и та же: внешнее однородное электрическое поле $F$ во много раз меньшее, чем атомное, должно радикально перестраивать спектр поглощения полупроводника вблизи края запрещённой зоны $E_g$. Никаких новых уровней при этом не появляется, не нужен спин и не нужно квантование - достаточно того, что в наклонной потенциальной яме волновые функции электрона и дырки приобретают «эйриевские» хвосты, заходящие под классический барьер.

К моменту предсказания экспериментальная техника позволяла измерять край поглощения с точностью до милиэлектронвольта. Первые подтверждения пришли уже в начале 1960-х на CdS, GaAs и Ge: красный сдвиг края, степенная зависимость от поля и характерные осцилляции выше $E_g$ - всё совпало с теорией.

Физическая идея: наклон зон

В отсутствие поля зона проводимости и валентная зона идут горизонтально, разделённые щелью $E_g$. Фотон с энергией $\hbar\omega < E_g$ поглотиться не может - для него просто нет конечного состояния.

Включаем однородное электрическое поле $F$ вдоль оси $z$. К энергии электрона добавляется потенциал $-eFz$, и обе зоны наклоняются:

$$E_c(z) = E_c^{(0)} - eFz, \qquad E_v(z) = E_v^{(0)} - eFz.$$

Теперь между «полкой» валентной зоны на одной координате и «полкой» зоны проводимости на другой расстояние по энергии может быть любым - от $E_g$ до нуля. Прямого перехода между классически разрешёнными областями всё ещё нет (зоны параллельны, разница всё та же $E_g$ в локальном смысле), но появляется новый канал: электрон может оказаться под барьером благодаря туннелированию, а недостающую энергию ему доставит фотон.

Это и есть фотонно-ассистированное туннелирование: фотон с энергией $\hbar\omega < E_g$ перебрасывает электрон из валентной зоны в виртуальное состояние под зоной проводимости, откуда тот туннелирует на классически разрешённую полку, расположенную сбоку. Чем сильнее поле, тем «короче» барьер, тем выше вероятность.

Подбирая материал ($E_g$), поле $F$ и энергию фотона $\hbar\omega$, удобно сразу прикинуть характеристическую энергию Франца-Келдыша и сдвиг края поглощения. Ниже - собираемый запрос в чат с готовой подстановкой и численным ответом.

Формула поглощения и функция Эйри

Стандартное решение уравнения Шрёдингера в однородном поле даёт волновые функции через функцию Эйри $\mathrm{Ai}(\xi)$. Подставляя их в матричный элемент межзонного перехода, получаем коэффициент поглощения вблизи прямого края:

$$\alpha(\hbar\omega, F) \propto \frac{1}{\hbar\omega}\,\Big[\,|\mathrm{Ai}'(\eta)|^2 - \eta\,|\mathrm{Ai}(\eta)|^2\,\Big],$$

где безразмерный параметр $\eta$ выражается через зазор и характеристическую энергию поля:

$$\eta = \frac{E_g - \hbar\omega}{\hbar\omega_F}, \qquad \hbar\omega_F = \left(\frac{e^2 F^2 \hbar^2}{2\mu}\right)^{1/3}.$$

Здесь $\mu$ - приведённая эффективная масса электрона и дырки. Энергия $\hbar\omega_F$ - это и есть характеристическая «энергия Франца-Келдыша», задающая масштаб всех эффектов поля.

Поведение формулы:

• Подбарьерная область, $\hbar\omega < E_g$ ($\eta > 0$). $\mathrm{Ai}(\eta)$ экспоненциально мала, и поглощение спадает как $\alpha \propto \exp(-\tfrac{4}{3}\eta^{3/2})$. Это и есть «хвост Франца-Келдыша» - поглощение под щелью, которого в отсутствие поля просто не было.
• Надбарьерная область, $\hbar\omega > E_g$ ($\eta < 0$). Функция Эйри осциллирует, и поглощение колеблется вокруг ступеньки $\alpha \propto \sqrt{\hbar\omega - E_g}$, отдаваясь от прямого края. Это осцилляции Франца-Келдыша, по которым в эксперименте удобно вытаскивать $F$ и $\mu$.

Для GaAs при $F = 100$ кВ/см и $\mu \approx 0{,}06\,m_e$ получается $\hbar\omega_F \approx 10$ мэВ - масштаб, легко разрешаемый обычным спектрометром.

Квантово-удерживаемый эффект Штарка как развитие

В объёмном полупроводнике эффект Франца-Келдыша даёт довольно «размазанный» отклик, и подгонять модулятор под нужную длину волны непросто. В 1984 году Миллер с коллегами в Bell Labs показали, что в квантовых ямах GaAs/AlGaAs всё работает гораздо ярче: связанные экситонные уровни не разваливаются полем сразу, а смещаются вниз по энергии, оставаясь резкими.

Этот вариант называется квантово-удерживаемым эффектом Штарка (QCSE, Quantum-Confined Stark Effect). Формально это уже не Франц-Келдыш - там нет туннелирования в континуум, а есть смещение и перестройка дискретных уровней в яме. Но физически QCSE - естественное развитие идеи: если зажать электрон и дырку в яме шириной 10 нм, поле сместит их в противоположные стороны, дипольный момент включится, а экситон не разорвётся за счёт квантового удержания. Сдвиг края поглощения получается до десятков милиэлектронвольт при умеренных полях, а изменение коэффициента $\Delta\alpha/\alpha$ - в разы.

Приложения: модуляторы, фотодетекторы, спектроскопия

Главное практическое применение - электроабсорбционные модуляторы (EAM, Electro-Absorption Modulator) для оптоволоконных коммуникаций. Принцип: лазер фиксированной длины волны светит в волновод на основе InP или GaAs/AlGaAs, к которому приложено меняющееся напряжение. Когда поле включено, край поглощения сдвигается на длину волны лазера, и волновод поглощает свет - на выходе ноль. Когда поле выключено - свет идёт почти без потерь. Современные EAM работают на скоростях до 100 Гбит/с на канал и стоят в основе систем DWDM 1550 нм.

Другие применения:

• Фотодетекторы с электрической настройкой. Меняя поле, можно сдвигать спектр чувствительности - удобно для мультиспектральных датчиков.
• Электроабсорбционная спектроскопия. Сигнал $d\alpha/dF$ оказывается гораздо более резким, чем сам $\alpha(\omega)$, и удобно используется для измерения $E_g$, эффективных масс и обнаружения дефектов в полупроводнике.
• Модулированная электроотражательная спектроскопия. Тот же принцип, но регистрируется отражение, что позволяет работать с непрозрачными образцами.

Типовые материалы - GaAs ($E_g \approx 1{,}42$ эВ), InP ($E_g \approx 1{,}35$ эВ), Ge ($E_g \approx 0{,}67$ эВ для прямого минимума), InGaAsP с подстраиваемой щелью. Кремний, у которого край непрямой, тоже даёт эффект, но он слабее и со своим набором деталей.

Чем эффект Франца-Келдыша отличается от эффекта Штарка

Названия похожи, и оба связаны с электрическим полем - но физика принципиально разная.

• Эффект Штарка - расщепление и сдвиг дискретных уровней (атома, молекулы, экситона) во внешнем электрическом поле. Линейный по полю для систем с дипольным моментом, квадратичный для центросимметричных. Описывается возмущениями к гамильтониану связанного состояния.
• Эффект Франца-Келдыша - изменение коэффициента поглощения между зонами (между континуумами) полупроводника. Дискретных уровней нет, есть наклон зон и туннелирование. Описывается через эйриевские волновые функции в однородном поле.

QCSE - гибрид: технически это эффект Штарка для уровней в квантовой яме, но возникает он именно там, где «обычный» Франц-Келдыш плохо работает.

Частые ошибки

• Путают с эффектом Штарка. Штарк - про связанные уровни, Франц-Келдыш - про межзонное поглощение. В квантовой яме граница размывается и появляется QCSE.
• Забывают приведённую массу. В формулу для $\hbar\omega_F$ входит именно $\mu = m_e^* m_h^* / (m_e^* + m_h^*)$, а не масса свободного электрона.
• Считают, что край поглощения сдвигается на $\hbar\omega_F$. На самом деле порог не имеет резкой границы, появляется экспоненциальный хвост; «эффективный» сдвиг - порядка $\hbar\omega_F$, но конкретное число зависит от того, на каком уровне $\alpha$ его меряют.
• Применяют теорию к непрямому полупроводнику без модификаций. Для непрямой щели (Si) нужен дополнительный фонон, и формула меняется.
• Игнорируют экситонный вклад. При комнатной температуре в GaAs экситон ещё заметен, и его поле разрушает - это даёт отдельную добавку к спектру.

FAQ

Какое поле нужно, чтобы эффект стал заметен? Для GaAs характеристическая энергия $\hbar\omega_F$ становится порядка нескольких милиэлектронвольт уже при $F \sim 10$ кВ/см и достигает $\sim 10$ мэВ при $F \sim 100$ кВ/см. В реальных EAM работают полями $10^5$–$10^6$ В/см, набираемыми обратным смещением p-i-n-структуры.

Можно ли наблюдать эффект в кремнии? Да, но он слабее: у Si непрямая щель, межзонное поглощение требует фонона, и зависимость от поля получается с дополнительным фактором. Большинство учебных задач формулируются для прямозонных материалов - GaAs, InP, Ge (по прямому минимуму).

Чем эффект Франца-Келдыша полезен в спектроскопии дефектов? Поле в окрестности заряженного дефекта неоднородно, и поглощение в этой области отличается от объёмного. Модулируя внешнее поле и измеряя $d\alpha/dF$, можно вытащить концентрацию и тип дефектов, плюс уточнить $E_g$ и эффективные массы - спектр получается узким и хорошо моделируется функциями Эйри.

Коротко

Эффект Франца-Келдыша - это сдвиг и размытие края межзонного поглощения полупроводника во внешнем электрическом поле. Поле наклоняет зоны, и волновые функции электрона и дырки приобретают подбарьерные хвосты - фотон с энергией $\hbar\omega < E_g$ начинает поглощаться через фотонно-ассистированное туннелирование. Коэффициент поглощения описывается через функцию Эйри с параметром $\eta = (E_g - \hbar\omega)/\hbar\omega_F$, где $\hbar\omega_F = (e^2 F^2 \hbar^2 / 2\mu)^{1/3}$. Выше края появляются осцилляции, по которым в эксперименте достают $F$ и приведённую массу $\mu$. В квантовых ямах эффект перерастает в QCSE и образует основу для электроабсорбционных модуляторов в оптоволоконных линиях связи на GaAs, InP и InGaAsP.