Эллиптические интегралы Лежандра: три канонические формы

Эллиптические интегралы Лежандра - это три канонические формы, к которым приводится любой интеграл вида $\int R(x, \sqrt{P(x)})\, dx$, где $R$ - рациональная функция, а $P(x)$ - многочлен третьей или четвёртой степени без кратных корней. Такой интеграл, вообще говоря, не выражается через элементарные функции, и Лежандр показал, что после стандартных замен он сводится к комбинации элементарных слагаемых и трёх «неснимаемых» интегралов $F$, $E$, $\Pi$. Эти три формы и стали базисом теории эллиптических функций.

Откуда берутся эллиптические интегралы

Название идёт от задачи о длине дуги эллипса. Если эллипс задан как $x = a\sin\theta$, $y = b\cos\theta$, то элемент длины даёт интеграл $\int \sqrt{1 - e^2\sin^2\theta}\, d\theta$ с эксцентриситетом $e$ - и первообразной в элементарных функциях у него нет. Тот же класс интегралов возникает в задаче о периоде математического маятника при больших амплитудах, в электростатике (потенциал заряженного эллипсоида) и в механике твёрдого тела.

Общая постановка: интеграл $\int R\bigl(x, \sqrt{P(x)}\bigr)\, dx$, где $\deg P = 3$ или $4$. Лиувилль доказал, что в общем случае он неэлементарен. Лежандр предложил систему канонических форм: любой такой интеграл алгебраическими подстановками и разложением на простейшие дроби раскладывается на элементарную часть плюс линейную комбинацию $F$, $E$ и $\Pi$.

Tool: привести и посчитать интеграл Лежандра

Чтобы не держать в голове, какая из трёх форм нужна и чему равны $K(k)$, $E(k)$ при конкретном модуле, ниже - мини-форма. Выбираешь род интеграла, задаёшь модуль $k$ и амплитуду $\varphi$ (или просишь полный интеграл) - получаешь определение нужной формы, разложение в ряд по $k$, численное значение и связь с соседними формами.

Тригонометрическая форма: модуль и амплитуда

В нормальной тригонометрической форме Лежандра аргументами служат амплитуда $\varphi$ и модуль $k$ (при $0 \le k \le 1$). Эллиптический интеграл первого рода:

$F(\varphi, k) = \int_0^{\varphi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}.$

Второго рода:

$E(\varphi, k) = \int_0^{\varphi} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\, d\theta.$

Третьего рода с характеристикой $n$:

$\Pi(n; \varphi, k) = \int_0^{\varphi} \frac{d\theta}{(1 - n\sin^2\theta)\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}.$

Часто вместо модуля $k$ используют параметр $m = k^2$ или модулярный угол $\alpha$, где $k = \sin\alpha$. При сверке формул из разных источников всегда уточняй, что именно подаётся вторым аргументом - это главный источник расхождений в численных ответах.

Алгебраическая (форма Якоби) против тригонометрической

Подстановка $t = \sin\theta$ переводит тригонометрическую форму в алгебраическую (её часто называют формой Якоби). Для первого рода:

$F(\varphi, k) = \int_0^{x} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}}, \qquad x = \sin\varphi.$

Здесь под корнем явно стоит многочлен четвёртой степени $(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)$ - видно, почему именно такие радикалы и порождают эллиптические интегралы. Алгебраическая форма удобна для аналитических выкладок и связи с эллиптическими функциями Якоби: верхний предел $x$ как функция от $F$ - это и есть $\operatorname{sn}(F, k)$. Тригонометрическая форма удобнее для численного расчёта и для геометрических задач.

Полные интегралы K(k) и E(k)

Когда амплитуда достигает $\varphi = \pi/2$, интегралы называют полными и обозначают одним аргументом:

$K(k) = F\!\left(\tfrac{\pi}{2}, k\right) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}, \qquad E(k) = E\!\left(\tfrac{\pi}{2}, k\right).$

Полный интеграл первого рода $K(k)$ задаёт четверть периода эллиптических функций Якоби и фигурирует в формуле периода маятника $T = 4\sqrt{L/g}\,K(\sin(\theta_0/2))$. При $k \to 0$ оба полных интеграла стремятся к $\pi/2$, а при $k \to 1$ имеем $E(1) = 1$, тогда как $K(k)$ логарифмически расходится: $K(k) \sim \ln\frac{4}{\sqrt{1-k^2}}$. Это поведение надо помнить - численные схемы у границы $k = 1$ теряют точность.

Полный интеграл первого рода допускает быстрое вычисление через арифметико-геометрическое среднее: $K(k) = \dfrac{\pi}{2\,\operatorname{agm}(1, \sqrt{1-k^2})}$, что даёт квадратичную сходимость. Этот же приём лежит в основе родственного метода Симпсона и других квадратур, когда AGM неприменим.

Разложение в ряд и предельные случаи

При малом модуле удобно разложение по степеням $k^2$. Для полного интеграла первого рода:

$K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right]^2 k^{2n} = \frac{\pi}{2}\left(1 + \frac{1}{4}k^2 + \frac{9}{64}k^4 + \dots\right).$

Этот ряд - частный случай гипергеометрической функции: $K(k) = \frac{\pi}{2}\,{}_2F_1\!\left(\tfrac12, \tfrac12; 1; k^2\right)$, что роднит эллиптические интегралы с более широким классом (см. гипергеометрическую функцию Гаусса). Предельные случаи:

• $k = 0$: радикал равен 1, и формы вырождаются в элементарные - $F(\varphi, 0) = \varphi$, $E(\varphi, 0) = \varphi$.
• $k = 1$: $F(\varphi, 1) = \ln\tan(\varphi/2 + \pi/4)$, а $E(\varphi, 1) = \sin\varphi$ - снова элементарные.

То есть оба «крайних» модуля выводят интеграл из эллиптического класса; вся «неэлементарность» сосредоточена в открытом интервале $0 < k < 1$.

Соотношения между формами

Три формы связаны дифференциальными и алгебраическими соотношениями. Производные полных интегралов:

$\frac{dK}{dk} = \frac{E(k)}{k(1-k^2)} - \frac{K(k)}{k}, \qquad \frac{dE}{dk} = \frac{E(k) - K(k)}{k}.$

Фундаментально и соотношение Лежандра между полными интегралами для модуля $k$ и дополнительного модуля $k' = \sqrt{1-k^2}$:

$E(k)K(k') + E(k')K(k) - K(k)K(k') = \frac{\pi}{2}.$

Интеграл третьего рода $\Pi$ при $n = 0$ сводится к первому роду: $\Pi(0; \varphi, k) = F(\varphi, k)$. Эти связи позволяют выражать одни значения через другие и резко сокращать таблицы.

Частые ошибки

• Путают модуль $k$, параметр $m = k^2$ и угол $\alpha$. Библиотеки (MATLAB, mpmath) часто принимают именно параметр $m$, а формулы в учебниках - модуль $k$. Один и тот же вызов даст разные ответы.
• Берут $k > 1$ в вещественной форме. Канонические формы определены для $0 \le k \le 1$; при $k > 1$ нужна замена аргументов (взаимное преобразование амплитуды и модуля), иначе подкоренное выражение меняет знак.
• Считают $K(k)$ у границы $k = 1$ прямой квадратурой. Из-за логарифмической особенности точность падает; нужен AGM или вынесение особенности.
• Забывают характеристику $n$ в третьем роде. $\Pi$ имеет три параметра, и пропуск $n$ превращает её в интеграл первого рода - численно совсем другое.
• Смешивают неполный и полный интеграл. $K(k)$ - это $F$ именно при $\varphi = \pi/2$; подставлять туда произвольную амплитуду нельзя.

FAQ

Почему интеграл назвали эллиптическим, хотя эллипса в формулах нет? Исторически класс возник из задачи о длине дуги эллипса (интеграл второго рода $E$). Название закрепилось за всем семейством $\int R(x,\sqrt{P})\,dx$ со степенью $P$ три-четыре, даже когда эллипса в задаче нет.

В чём разница между интегралом Лежандра и эллиптической функцией Якоби? Интеграл Лежандра $F(\varphi, k)$ - это функция, отображающая амплитуду в значение интеграла. Эллиптическая функция Якоби $\operatorname{sn}, \operatorname{cn}, \operatorname{dn}$ - обратное отображение: по значению интеграла восстанавливает $\sin\varphi$ и связанные величины.

Когда эллиптический интеграл всё-таки выражается через элементарные функции? В вырожденных случаях $k = 0$ и $k = 1$, а также когда рациональная часть $R$ устроена так, что коэффициенты при $F$, $E$, $\Pi$ обращаются в ноль и остаётся только элементарная часть приведения.

Коротко

Эллиптические интегралы Лежандра - три канонические формы $F$, $E$, $\Pi$ (первого, второго и третьего рода), к которым приводится любой интеграл от рациональной функции и квадратного корня из кубического или биквадратного многочлена. Их аргументы - амплитуда $\varphi$ и модуль $k \in [0, 1]$; при $\varphi = \pi/2$ получаются полные интегралы $K(k)$ и $E(k)$, связанные соотношением Лежандра. На границах $k = 0$ и $k = 1$ формы вырождаются в элементарные, а вся неэлементарность живёт внутри интервала и эффективно считается через арифметико-геометрическое среднее.