Физический маятник: приведённая длина и период колебаний

В технической механике физический маятник - это не только учебная задача про качающийся стержень, а рабочий инструмент измерения: по периоду колебаний детали неправильной формы, подвешенной на оси, можно найти её момент инерции, не разбирая деталь и не считая интегралы по объёму. Ключ к этому - понятие приведённой длины: она сводит период сложного вращающегося тела к формуле обычного математического маятника. Ниже разберём, как приведённая длина связана с положением оси подвеса, почему у периода есть минимум и при каком расстоянии он достигается, а также как инженеры используют обратимость маятника для точных измерений. Чтобы сразу увидеть, как приведённая длина и период меняются при сдвиге оси, покрутите калькулятор ниже - он строит оба графика разом и отмечает на них минимум и сопряжённую точку подвеса.

Что называют приведённой длиной

Физический маятник - твёрдое тело, подвешенное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс, и колеблющееся под действием силы тяжести. Период его малых колебаний зависит от момента инерции $I$ относительно оси подвеса, массы $m$, расстояния $d$ от оси до центра масс и ускорения свободного падения $g$:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m g d}}.$$

Сравним эту формулу с периодом обычного математического маятника длиной $L$: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Подкоренные выражения совпадают, если положить

$$L = \frac{I}{m d}.$$

Эту величину $L$ и называют приведённой длиной физического маятника - длиной такого невесомого нитяного маятника с точечным грузом, который колеблется с тем же периодом, что и данное твёрдое тело. Приведённая длина удобна тем, что после её вычисления период находится по школьной формуле математического маятника, без переучивания.

Формула через радиус инерции и минимум периода

По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции относительно оси подвеса связан с моментом инерции относительно оси через центр масс: $I = I_{ц} + m d^2$, где $I_{ц} = m k^2$, а $k$ - радиус инерции тела относительно центра масс (зависит только от формы и распределения массы, не от положения оси). Подставив это в формулу приведённой длины, получаем ключевое выражение:

$$L(d) = \frac{k^2}{d} + d.$$

Оно показывает, что приведённая длина - а значит, и период - зависит от $d$ немонотонно: при малых $d$ слагаемое $k^2/d$ велико, при больших $d$ растёт само $d$. По неравенству о среднем $k^2/d + d \ge 2k$, причём равенство достигается ровно при $d = k$. Значит, период физического маятника минимален, когда ось подвеса находится на расстоянии, равном радиусу инерции тела:

$$L_{min} = 2k, \qquad T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{2k}{g}}.$$

Рассчитать для своей задачи

Этот факт важен не только теоретически: конструкторы измерительных приборов и маятниковых копров специально выбирают точку подвеса вблизи $d = k$, чтобы период был устойчив к небольшим погрешностям изготовления оси - вблизи минимума функция $L(d)$ меняется медленнее всего.

Обратимость маятника и сопряжённые точки подвеса

Из формулы $L(d) = k^2/d + d$ следует ещё одно свойство. Возьмём точку на расстоянии $d_2 = k^2/d$ от центра масс, но по другую сторону от него. Подставив $d_2$ в ту же формулу, получим

$$L(d_2) = \frac{k^2}{d_2} + d_2 = \frac{k^2}{k^2/d} + \frac{k^2}{d} = d + \frac{k^2}{d} = L(d),$$

то есть приведённая длина, а значит и период, при подвесе в точке $d_2$ окажутся точно такими же, как при подвесе в исходной точке $d$. Точки $d$ и $d_2$ называют сопряжёнными: ось подвеса и центр качания можно менять местами, не меняя периода. Расстояние между этими двумя точками равно как раз приведённой длине: $d + d_2 = L$.

Рассчитать для своей задачи

Это свойство лежит в основе оборотного маятника Катера - прибора для точного измерения ускорения свободного падения $g$. Тело подвешивают поочерёдно на двух осях и подгоняют распределение массы (передвижным грузом) так, чтобы период в обеих точках совпал. Тогда расстояние между осями равно приведённой длине $L$, и

$$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$$

даёт значение $g$ без необходимости точно знать момент инерции или положение центра масс тела - обе неизвестные величины сокращаются благодаря обратимости.

Инженерная задача: момент инерции детали по измеренному периоду

Для деталей сложной формы (шатуны, кулачки, лопасти) момент инерции трудно посчитать аналитически, но легко измерить экспериментально. Деталь подвешивают на вспомогательной оси на известном расстоянии $d$ от центра масс, отсчитывают время нескольких полных колебаний и находят период $T$. Момент инерции относительно оси подвеса выражают из основной формулы:

$$I = \frac{m g d\, T^2}{4\pi^2}.$$

Разберём числовой пример. Стальная деталь массой $m = 2{,}5$ кг подвешена на оси на расстоянии $d = 0{,}3$ м от центра масс. За 10 полных колебаний прибор насчитал $16{,}8$ с, значит $T = 1{,}68$ с. Тогда момент инерции относительно оси подвеса:

$$I = \frac{2{,}5 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}3 \cdot 1{,}68^2}{4\pi^2} \approx 0{,}525\ \text{кг·м}^2.$$

Момент инерции относительно центра масс находится обратным применением теоремы Гюйгенса-Штейнера: $I_{ц} = I - m d^2 = 0{,}525 - 2{,}5 \cdot 0{,}3^2 = 0{,}3\ \text{кг·м}^2$, откуда радиус инерции $k = \sqrt{I_{ц}/m} = \sqrt{0{,}12} \approx 0{,}346$ м. Заметим: выбранное расстояние $d = 0{,}3$ м близко к оптимальному $d = k \approx 0{,}346$ м, поэтому измеренный период $1{,}68$ с почти равен минимально возможному для этой детали ($T_{min} \approx 1{,}671$ с) - типичный приём при проектировании измерительного подвеса.

Пример решения типовой задачи

Проверим ту же деталь через модель однородного стержня, чтобы увидеть согласованность формул. Пусть деталь приближённо моделируется тонким стержнем длиной $L_с = 1{,}2$ м. Радиус инерции такого стержня относительно центра масс:

$$k^2 = \frac{L_с^2}{12} = \frac{1{,}2^2}{12} = 0{,}12\ \text{м}^2, \qquad k \approx 0{,}346\ \text{м}.$$

Это в точности совпадает со значением из инженерного примера выше. При оси подвеса на расстоянии $d = 0{,}3$ м приведённая длина

$$L = \frac{k^2}{d} + d = \frac{0{,}12}{0{,}3} + 0{,}3 = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7\ \text{м},$$

а период

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}7}{9{,}8}} \approx 1{,}68\ \text{с}.$$

Сопряжённая точка подвеса $d_2 = k^2/d = 0{,}12/0{,}3 = 0{,}4$ м: если ось перенести на 0,4 м по другую сторону от центра масс, период останется тем же $1{,}68$ с, а сумма $d + d_2 = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$ м в точности равна приведённой длине $L$ - именно это и проверяет калькулятор выше при любых введённых значениях.

Частые ошибки

• Путают $d$ (расстояние до центра масс) с длиной тела. В формуле $L = k^2/d + d$ участвует именно расстояние от оси подвеса до центра масс, а не полная длина стержня или диаметр диска.
• Забывают теорему Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции в основной формуле берётся относительно оси подвеса ($I = I_{ц} + m d^2$), а не относительно центра масс - подстановка $I_{ц}$ вместо $I$ занижает период.
• Считают, что минимум периода при $d \to 0$. На деле при $d \to 0$ приведённая длина стремится к бесконечности ($k^2/d$ растёт), а не к нулю - минимум находится строго при $d = k$, что легко проверить на графике калькулятора.
• Путают приведённую длину с расстоянием до центра качания. Приведённая длина $L$ - это расстояние от оси подвеса до центра качания, а не до центра масс; центр масс лежит между осью и центром качания.
• Забывают проверить, что ось лежит внутри тела. Формально по формуле можно подставить любое $d$, но физический смысл сохраняется только пока ось подвеса проходит через материал тела.

FAQ

Что такое приведённая длина физического маятника простыми словами? Это длина такого нитяного маятника с точечным грузом, который качается с тем же периодом, что и данное твёрдое тело. Она равна $L = k^2/d + d$, где $k$ - радиус инерции относительно центра масс, $d$ - расстояние от оси подвеса до центра масс.

При каком положении оси подвеса период физического маятника минимален? Когда расстояние от оси до центра масс равно радиусу инерции тела, $d = k$. Тогда приведённая длина минимальна и равна $L_{min} = 2k$, а период $T_{min} = 2\pi\sqrt{2k/g}$.

Как измерить момент инерции детали, не разбирая её? Подвесить деталь как физический маятник на известном расстоянии $d$ от центра масс, измерить период $T$ и вычислить $I = m g d T^2 / (4\pi^2)$ - этот приём используется в лабораторных и инженерных измерениях моментов инерции сложных деталей.

Коротко

Приведённая длина физического маятника $L = k^2/d + d$ сводит период сложного тела к формуле математического маятника $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Период минимален при $d = k$ (радиус инерции равен расстоянию до оси), а точки подвеса на расстояниях $d$ и $d_2 = k^2/d$ по разные стороны от центра масс дают один и тот же период - на этой обратимости строится оборотный маятник Катера для измерения $g$. То же соотношение позволяет инженерам находить момент инерции детали произвольной формы просто по измеренному периоду колебаний.