Формула Циолковского: прирост скорости ракеты

Формула Циолковского - это основное уравнение реактивного движения: оно связывает прирост скорости ракеты с тем, как быстро двигатель выбрасывает газ и какую долю стартовой массы составляет топливо. Вывел её Константин Циолковский ещё в 1897 году, и с тех пор именно она задаёт потолок возможностей любой ракеты - от учебной модели до тяжёлого носителя. Ниже разберём, как формула выводится из закона сохранения импульса, что такое эффективная скорость истечения и массовое отношение, почему прирост скорости растёт логарифмически и порождает «тиранию уравнения ракеты» и зачем из-за неё ракеты делают многоступенчатыми. Чтобы сразу почувствовать связь этих величин, покрутите калькулятор ниже: он показывает, как при движении ползунков меняется прирост скорости и почему лишнее топливо приносит всё меньше отдачи.

Что утверждает формула Циолковского

В самом удобном для расчётов виде формула Циолковского записывается так:

$\Delta v = v_e \, \ln\frac{m_0}{m_f},$

где $\Delta v$ - набираемый ракетой прирост скорости, $v_e$ - эффективная скорость истечения реактивной струи, $m_0$ - стартовая масса (ракета с полным баком топлива), а $m_f$ - конечная, «сухая» масса (когда всё топливо израсходовано). Отношение этих масс

$\mu = \frac{m_0}{m_f}$

называют массовым отношением, или числом Циолковского. Именно от него, а не от абсолютной массы ракеты, зависит набираемая скорость. Под логарифмом стоит безразмерная величина, поэтому формула одинаково работает и для модельной ракеты, и для сверхтяжёлого носителя - меняются только конкретные числа.

Рассчитать для своей задачи

Ключевой смысл формулы прячется в логарифме: прирост скорости пропорционален не самому массовому отношению, а его натуральному логарифму. Удвоить запас топлива - это сдвинуться по логарифмической кривой совсем чуть-чуть, а не получить вдвое больший разгон. Этот эффект мы разберём отдельно, потому что именно из него вытекает вся «трудная» инженерия космонавтики.

Скорость истечения и удельный импульс

Эффективная скорость истечения $v_e$ - это скорость, с которой реактивная струя покидает сопло, выраженная так, чтобы учитывать и давление газа на срезе. На практике двигатель чаще характеризуют другой величиной - удельным импульсом $I_{sp}$, измеряемым в секундах. Связь между ними простая:

$v_e = I_{sp} \, g_0, \qquad g_0 = 9{,}80665 \ \text{м/с}^2,$

где $g_0$ - стандартное ускорение свободного падения, играющее здесь роль переводного коэффициента. Например, у кислород-керосиновых двигателей удельный импульс около 330 с, что даёт

$v_e = 330 \cdot 9{,}80665 \approx 3236 \ \text{м/с}.$

Чем выше удельный импульс, тем больше скорость истечения и тем «дешевле» в топливе обходится каждый километр в секунду набранной скорости. Поэтому при движении первого ползунка в калькуляторе прирост скорости меняется линейно: $\Delta v$ прямо пропорциональна $v_e$. А вот второй множитель - логарифм массового отношения - ведёт себя совсем иначе.

Почему зависимость логарифмическая: тирания уравнения ракеты

Подставим в формулу разные массовые отношения при одной и той же скорости истечения $v_e \approx 3236$ м/с. При $\mu = 2$ (половина массы - топливо) получим $\Delta v \approx 2243$ м/с. При $\mu = 5$ - уже $\Delta v \approx 5209$ м/с. А чтобы выйти на $\Delta v \approx 9695$ м/с, нужно $\mu = 20$, то есть на одну единицу сухой массы приходится девятнадцать единиц топлива. Каждый следующий километр в секунду требует всё большего относительного запаса топлива - это и есть «тирания уравнения ракеты».

Рассчитать для своей задачи

Причина в том, что разгоняемая масса сама несёт топливо. Первые порции топлива двигают всю заправленную ракету, а последние - почти пустую, поэтому отдача от них кажется большой. Но чтобы линейно нарастить $\Delta v$, массовое отношение приходится наращивать экспоненциально: формально из формулы следует $\mu = e^{\Delta v / v_e}$. Удвоение требуемой скорости означает не удвоение, а возведение массового отношения в квадрат. Именно поэтому конструкторы так борются за каждый процент сухой массы и за каждую секунду удельного импульса: на крутом участке логарифма крошечное улучшение даёт заметный выигрыш, а на пологом - почти ничего.

Зачем нужны ступени

Из логарифма следует практический вывод: одной ступенью трудно набрать большую скорость. Первая космическая скорость - около 7900 м/с. Чтобы достичь её одной ступенью при $v_e \approx 3236$ м/с, нужно массовое отношение

$\mu = e^{7900 / 3236} \approx 11{,}5,$

то есть топливо должно составлять около 91 % стартовой массы, а на конструкцию, двигатель и полезный груз остаётся меньше десятой части. Построить такой «летающий бак» практически невозможно. Решение - многоступенчатость: ракета по частям сбрасывает опустевшие баки и двигатели, переставая разгонять мёртвый груз.

Рассчитать для своей задачи

Приросты скорости ступеней просто складываются: $\Delta v = \Delta v_1 + \Delta v_2 + \dots$ Но под логарифмом массовые отношения при этом перемножаются. Две ступени с $\mu = 4$ каждая дают тот же суммарный $\Delta v \approx 8973$ м/с, что и одна гипотетическая ступень с $\mu = 16$, - вот только реальную ступень с массовым отношением 16 не построить, а две по 4 вполне реальны. Так разбиение на ступени обходит тиранию уравнения ракеты: каждая ступень работает на своём, умеренном участке логарифма.

Как считать через долю топлива

В задачах часто задают не массовое отношение, а долю топлива $\varphi$ в стартовой массе. Связь очевидна:

$\varphi = \frac{m_0 - m_f}{m_0} = 1 - \frac{1}{\mu}, \qquad \mu = \frac{1}{1 - \varphi}.$

Например, доля топлива 80 % означает массовое отношение $\mu = 1/(1 - 0{,}8) = 5$. Подставив его в формулу Циолковского, при $v_e \approx 3236$ м/с получим уже знакомые $\Delta v \approx 5209$ м/с. Удобно держать в голове обе формы записи: через массы $m_0$ и $m_f$ - когда они даны напрямую, и через долю топлива - когда известно, какую часть ракеты занимает горючее. В калькуляторе выше доля топлива показывается рядом с массовым отношением, чтобы переход между ними был наглядным.

Частые ошибки

• Путаница между $v_e$ и $I_{sp}$. Удельный импульс измеряется в секундах, а скорость истечения - в метрах в секунду. Перед подстановкой в формулу обязательно переведите импульс: $v_e = I_{sp} \, g_0$.
• Сложение масс вместо отношения. В формулу входит именно отношение $m_0/m_f$, а не разность масс и не масса топлива сама по себе. Прирост скорости определяется тем, во сколько раз ракета «худеет», а не на сколько килограммов.
• Линейная интуиция. Кажется, что вдвое больше топлива - вдвое больше скорости. Из-за логарифма это не так: на пологом участке кривой лишнее топливо почти не добавляет $\Delta v$.
• Игнорирование потерь. Формула даёт идеальный прирост скорости в пустоте без тяготения. Реальной ракете нужен запас на гравитационные и аэродинамические потери, поэтому требуемый $\Delta v$ всегда берут с добавкой.
• Перемножение $\Delta v$ ступеней. Складываются именно приросты скорости, а перемножаются массовые отношения под логарифмом. Перемножать сами $\Delta v$ - грубая ошибка.

FAQ

Что такое массовое отношение в формуле Циолковского? Это отношение стартовой массы ракеты к её сухой массе, $\mu = m_0/m_f$, его же называют числом Циолковского. Оно показывает, во сколько раз ракета тяжелее с топливом, чем без него. Прирост скорости зависит от логарифма этого отношения, а не от абсолютных масс.

Почему ракету нельзя разогнать одной ступенью до первой космической скорости? Можно в теории, но потребуется массовое отношение около 11,5, то есть топливо займёт примерно 91 % стартовой массы. Построить конструкцию, в которой на баки, двигатель и груз остаётся менее десятой доли массы, практически нереально - поэтому ракеты делают многоступенчатыми.

Чем удельный импульс отличается от скорости истечения? Это две формы одной характеристики двигателя. Удельный импульс $I_{sp}$ дан в секундах, а скорость истечения $v_e$ - в метрах в секунду, и они связаны множителем $g_0 = 9{,}80665$ м/с². Чем больше любая из этих величин, тем эффективнее двигатель и тем меньше топлива нужно на тот же прирост скорости.

Коротко

Формула Циолковского $\Delta v = v_e \ln(m_0/m_f)$ связывает прирост скорости ракеты со скоростью истечения газов и массовым отношением. Скорость истечения считают через удельный импульс: $v_e = I_{sp} g_0$. Главная особенность - логарифм: прирост скорости растёт медленно, а чтобы нарастить его линейно, массу топлива надо увеличивать экспоненциально. Эта «тирания уравнения ракеты» и заставляет делать ракеты многоступенчатыми, ведь приросты скорости ступеней складываются, а массовые отношения под логарифмом перемножаются.