Фундаментальное представление группы: что это и зачем

Когда говорят про симметрии в алгебре и физике, почти всегда всплывает фраза «возьмём фундаментальное представление группы». Звучит так, будто это что-то особенное и заранее выделенное, хотя на деле речь идёт о самом простом, базовом способе записать элементы группы матрицами. Из него, как из кирпичика, потом собираются все остальные представления через тензорные произведения. Ниже разберём, что именно называют фундаментальным представлением, чем оно отличается от присоединённого и дуального, как оно выглядит для $SU(N)$ и $U(1)$ и почему физики так часто к нему обращаются.

Если нужно быстро разобрать конкретное представление или решить задачу с весами и размерностью, соберите запрос в форме ниже.

Что такое представление группы

Представление группы $G$ - это гомоморфизм $\rho: G \to GL(V)$, то есть сопоставление каждому элементу группы обратимой линейной операции (матрицы) на векторном пространстве $V$ так, чтобы сохранялось умножение:

$$\rho(g_1 g_2) = \rho(g_1)\,\rho(g_2).$$

Иначе говоря, абстрактная группа «реализуется» как группа матриц, действующих на $V$. Размерность пространства $V$ называют размерностью представления. Одна и та же группа допускает много неэквивалентных представлений разной размерности - и среди них есть несколько выделенных, у каждого своя роль.

Рассчитать для своей задачи

Представление называют неприводимым, если в $V$ нет нетривиального подпространства, которое сохранялось бы под действием всех $\rho(g)$. Неприводимые представления - это «атомы»: любое конечномерное представление компактной группы раскладывается в их прямую сумму. Тема тесно связана с теорией групп и устройством самих групп.

Фундаментальное представление: определение

Фундаментальное представление - это самое маленькое нетривиальное (точное) неприводимое представление, из которого тензорными степенями строятся все остальные. Для матричных групп Ли оно обычно совпадает с определяющим (defining) представлением: элемент группы действует ровно теми матрицами, через которые группа и задана.

Например, $SU(N)$ по определению - это $N \times N$ унитарные матрицы с единичным определителем. Их естественное действие на комплексном пространстве $\mathbb{C}^N$ и есть фундаментальное представление; его размерность равна $N$. Никакого «вывода» тут не нужно: группа уже дана матрицами, и фундаментальное представление - это они сами.

Строгое определение через старшие веса звучит так: фундаментальные представления простой группы Ли ранга $r$ - это $r$ неприводимых представлений, чьи старшие веса $\omega_1, \dots, \omega_r$ образуют базис весовой решётки (дуальный базису простых корней). Любой доминантный вес - целочисленная неотрицательная комбинация $\omega_i$, поэтому любое неприводимое представление получается из фундаментальных. В физике же словом «фундаментальное» чаще всего называют именно определяющее $N$-мерное - самое первое из этого списка.

Фундаментальное представление SU(N)

Самый частый герой - группа $SU(N)$, лежащая в основе Стандартной модели. Её фундаментальное представление обозначают просто $N$ (жирной цифрой) или иногда $\square$.

• $SU(2)$: фундаментальное представление двумерно, $V = \mathbb{C}^2$. Это знаменитый спинор - дублет, описывающий спин $1/2$. Генераторы - матрицы Паули, делённые на два: $T^a = \sigma^a / 2$.
• $SU(3)$: фундаментальное представление трёхмерно, $V = \mathbb{C}^3$. В квантовой хромодинамике это триплет цвета кварка (красный, зелёный, синий). Генераторы - матрицы Гелл-Манна, делённые на два: $T^a = \lambda^a / 2$.

Генераторы фундаментального представления нормируют условием

$$\mathrm{Tr}\,(T^a T^b) = \tfrac{1}{2}\,\delta^{ab},$$

а индекс Дынкина фундаментального представления при такой нормировке равен $1/2$. Эти числа потом всплывают в расчётах вероятностей в физике частиц.

Рассчитать для своей задачи

Дуальное (антифундаментальное) представление

У каждого представления $\rho$ есть дуальное (сопряжённое) $\bar\rho$, заданное формулой

$$\bar\rho(g) = \rho(g^{-1})^{T} = \rho(g)^{*}$$

для унитарных $\rho$. Дуальное к фундаментальному называют антифундаментальным и обозначают $\bar N$.

Ключевой вопрос - эквивалентны ли $N$ и $\bar N$. Для $SU(2)$ да: двумерное представление псевдовещественно, и $2 \cong \bar 2$. А вот для $SU(3)$ нет: $3$ и $\bar 3$ неэквивалентны - именно поэтому кварк ($3$) и антикварк ($\bar 3$) различимы по цвету. Это различие - не формальность, а физический факт: антифундаментальное представление несёт противоположный цветовой заряд.

Присоединённое представление: для сравнения

Чтобы фундаментальное не казалось единственным «важным», стоит поставить рядом присоединённое представление. Оно действует на самой алгебре Ли $\mathfrak{g}$ через коммутатор:

$$\mathrm{ad}(X)\,Y = [X, Y].$$

Его размерность равна числу генераторов группы: для $SU(N)$ это $N^2 - 1$. Так, у $SU(3)$ присоединённое представление восьмимерно ($8$) - это октет глюонов в КХД. Калибровочные бозоны живут именно в присоединённом представлении, а вещество (кварки, лептоны) - в фундаментальном. Разделение «материя в фундаментальном, переносчики в присоединённом» - один из организующих принципов калибровочных теорий.

Рассчитать для своей задачи

Сборка остальных представлений

Главная причина, по которой фундаментальное называют фундаментальным, - из него тензорными произведениями получаются все прочие. Классический пример для $SU(3)$:

$$3 \otimes \bar 3 = 1 \oplus 8,$$

то есть произведение кварка и антикварка даёт синглет (бесцветный, как $\eta'$-мезон) плюс октет. А три кварка дают барион:

$$3 \otimes 3 \otimes 3 = 1 \oplus 8 \oplus 8 \oplus 10.$$

Декуплет $10$ здесь - это барионы вроде $\Delta$-резонансов. Все эти размерности выводятся комбинаторно из фундаментального представления (через диаграммы Юнга или метод весов), без обращения к более сложным объектам. В этом и состоит «базовость»: знаешь фундаментальное - построишь любое.

Случай U(1) и абелевы группы

Для одномерной группы $U(1)$ (фазовых множителей $e^{i\theta}$) ситуация проще: все неприводимые представления одномерны и помечаются целым числом - зарядом $q$:

$$\rho_q(\theta) = e^{i q \theta}.$$

«Фундаментальным» здесь естественно назвать представление с минимальным ненулевым зарядом $q = 1$. Поскольку группа абелева, понятий «дуальное отличается» почти нет: дуальное к $q$ - это $-q$. Электрический заряд в электродинамике - ровно метка такого $U(1)$-представления. Это показывает, что идея фундаментального представления работает и вне «больших» неабелевых групп, просто там она тривиальнее.

Частые ошибки

• «Фундаментальное представление - это сама группа». Нет: представление - это способ записать группу матрицами на конкретном пространстве. У одной группы много представлений, фундаментальное - лишь одно (определяющее) из них.
• Путать фундаментальное и присоединённое. Фундаментальное у $SU(N)$ имеет размерность $N$, присоединённое - $N^2 - 1$. Для $SU(3)$ это $3$ против $8$.
• Считать, что $N$ и $\bar N$ всегда одно и то же. Для $SU(2)$ - да, для $SU(3)$ и выше - нет. Кварк и антикварк живут в разных представлениях.
• «Старший вес фундаментального всегда один». У группы ранга $r$ есть $r$ фундаментальных представлений со своими старшими весами; в физике обычно берут лишь первое.
• Забывать про нормировку генераторов. Условие $\mathrm{Tr}\,(T^a T^b) = \tfrac12 \delta^{ab}$ фиксирует масштаб; без него индекс Дынкина и константы связи посчитаются с ошибкой.

FAQ

Чем фундаментальное представление отличается от определяющего? Для матричных групп Ли (например, $SU(N)$, $SO(N)$) они совпадают: определяющее - это то, через которое группа задана матрицами, и оно же фундаментальное. Расхождение терминов появляется лишь у абстрактных групп, заданных не матрицами, где определяющего представления попросту нет, а фундаментальные определяются через старшие веса.

Сколько фундаментальных представлений у группы? Столько, каков её ранг $r$ - то есть по числу узлов диаграммы Дынкина. У $SU(N)$ ранг равен $N - 1$, поэтому формально фундаментальных представлений $N - 1$ (это антисимметричные степени основного). В физике словом «фундаментальное» почти всегда называют только первое, $N$-мерное.

Почему вещество в фундаментальном, а калибровочные поля в присоединённом? Так устроена калибровочная теория: материя преобразуется минимальным точным представлением (фундаментальным), а переносчики взаимодействия - это генераторы симметрии, то есть элементы алгебры Ли, и они автоматически живут в присоединённом представлении. Это не выбор, а следствие структуры теории.

Коротко

Фундаментальное представление группы - это её базовое, минимальное точное неприводимое представление: для $SU(N)$ оно совпадает с определяющим $N$-мерным действием на $\mathbb{C}^N$ (дублет $SU(2)$, цветной триплет $SU(3)$). Из него тензорными произведениями собираются все остальные представления, поэтому оно и «фундаментальное». Дуальное к нему - антифундаментальное $\bar N$; для $SU(3)$ оно отличается от $N$ (кварк против антикварка), а присоединённое представление размерности $N^2 - 1$ описывает калибровочные бозоны. Для $U(1)$ роль фундаментального играет представление с единичным зарядом. Строго фундаментальные представления задаются старшими весами, дуальными простым корням, и их ровно столько, каков ранг группы.