Характеристическое уравнение: кратные корни ОДУ

11 июня 2026Время чтения: 9 минут

#характеристическое уравнение#кратные корни#дифференциальные уравнения#общее решение ОДУ

При решении линейного однородного ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами первым делом составляют характеристическое уравнение - обычную квадратную запись с одной неизвестной $\lambda$ . Если его дискриминант равен нулю, оба корня совпадают, и стандартная подстановка $y = e^{\lambda x}$ отдаёт только одну функцию вместо двух, необходимых для общего решения. Именно этот случай - кратный корень - чаще всего сбивает студентов: откуда взять вторую, линейно независимую часть решения? Ниже разберём, при каком условии корень становится кратным, почему решение обязательно содержит множитель $x$ , и как кратность обобщается на уравнения высших порядков. Чтобы сразу увидеть, как кратный корень возникает из слияния двух других корней, покрутите калькулятор ниже - он показывает карту корней и график решения одновременно.

Когда характеристическое уравнение даёт кратный корень

Рассмотрим однородное линейное ОДУ второго порядка:

$y'' + py' + qy = 0.$

Подставив $y = e^{\lambda x}$ и сократив на $e^{\lambda x} \neq 0$ , получаем характеристическое уравнение:

$\lambda^2 + p\lambda + q = 0.$

Это обычное квадратное уравнение относительно $\lambda$ , и его дискриминант $D = p^2 - 4q$ определяет тип корней:

$D > 0$	два различных вещественных корня	$y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$
$D = 0$	один вещественный кратный корень	$y = (C_1 + C_2 x)\,e^{\lambda x}$
$D < 0$	два комплексно-сопряжённых корня	$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

Нас интересует средняя строка. Условие $D = 0$ равносильно $q = p^2/4$ - «возвращающая сила» $q$ ровно уравновешивает квадрат «затухания» $p$ . Тогда оба корня квадратного уравнения совпадают:

$\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\frac{p}{2}.$

Такой случай называют критическим не просто по аналогии - он ровно разделяет колебательное поведение решения (при $D < 0$ ) и апериодическое (при $D > 0$ ). Про случай с двумя комплексно-сопряжёнными корнями подробно рассказано в статье про комплексные корни характеристического уравнения.

Общее решение при кратном корне: откуда берётся x·e^λx

Если подставить $y = e^{\lambda x}$ в исходное уравнение при кратном корне, получим лишь одно частное решение - $e^{\lambda x}$ . Но линейное ОДУ второго порядка требует ДВУХ линейно независимых решений. Продифференцировав $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$ по $\lambda$ , замечаем: при кратном корне в нуль обращается не только само уравнение, но и его производная $2\lambda + p = 0$ - то же самое $\lambda = -p/2$ . Это формальный признак кратности, и он же подсказывает вторую функцию: продифференцировав тождество $e^{\lambda x}(\lambda^2 + p\lambda + q) = 0$ по параметру $\lambda$ , получаем выражение, которое при $\lambda = -p/2$ тоже обращается в решение уравнения, и один из его членов - в точности $x\,e^{\lambda x}$ . Поэтому второе решение ищут именно в этом виде, и общее решение при кратном корне записывают так:

$y(x) = (C_1 + C_2 x)\, e^{\lambda x}.$

Слева два корня на комплексной плоскости движутся вдоль вертикальной линии Re λ = const и сливаются в одну точку; справа синхронно перестраивается график y(x) - два экспоненциальных (или колебательных) слагаемых стягиваются в форму (C1 + C2x)·e^λx

Слагаемое $x\,e^{\lambda x}$ растёт медленнее любой экспоненты с показателем, отличным от $\lambda$ , поэтому при $\lambda < 0$ всё произведение $x\,e^{\lambda x}$ всё равно стремится к нулю при $x \to \infty$ - линейный рост «проигрывает» экспоненциальному затуханию. Убедиться в этом можно по правилу Лопиталя или просто визуально: при отрицательном $\lambda$ кривая решения обычно ведёт себя апериодически - либо монотонно убывает, либо один раз меняет направление и затем спадает, но никогда не колеблется, в отличие от случая $D < 0$ .

Кратный корень как предел слияния корней

Полезно смотреть на кратный корень не как на отдельный частный случай, а как на предельную точку слияния двух других случаев. Введём параметр $\delta = q - p^2/4$ - отклонение от линии кратности (тогда $D = -4\delta$ ). При $\delta < 0$ корни вещественные и различны, $\lambda_{1,2} = \lambda \mp w$ , $w = \sqrt{-\delta}$ ; при $\delta > 0$ корни комплексно-сопряжённые, $\lambda \pm iw$ , $w = \sqrt{\delta}$ . В обоих случаях при $w \to 0$ общее решение сходится к одной и той же формуле кратного корня:

$e^{\lambda x}\Big(C_1 \cosh(wx) + \frac{C_2}{w}\sinh(wx)\Big) \;\xrightarrow[w \to 0]{}\; (C_1 + C_2 x)\,e^{\lambda x},$

$e^{\lambda x}\Big(C_1 \cos(wx) + \frac{C_2}{w}\sin(wx)\Big) \;\xrightarrow[w \to 0]{}\; (C_1 + C_2 x)\,e^{\lambda x}.$

Оба предела верны, потому что $\cosh(wx) \to 1$ и $\sinh(wx)/w \to x$ (аналогично для $\cos$ и $\sin$ ) при $w \to 0$ . Именно это и показывает карта корней в калькуляторе выше: два вещественных корня разъезжаются или два комплексно-сопряжённых корня расходятся по мнимой оси вокруг одного и того же центра $\lambda = -p/2$ , и лишь в момент $\delta = 0$ они совпадают в одной точке.

Карта корней характеристического уравнения на комплексной плоскости: при delta = 0 две точки сливаются в одну с подписью кратности ×2, вертикальная пунктирная линия отмечает Re λ = -p/2

Уравнения высших порядков и кратность больше двух

Идея обобщается на ОДУ порядка $n$ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение тогда - многочлен степени $n$ , и корню $\lambda$ кратности $m$ соответствуют $m$ линейно независимых решений:

$e^{\lambda x},\quad x\,e^{\lambda x},\quad x^2 e^{\lambda x},\quad \dots,\quad x^{m-1} e^{\lambda x}.$

Например, уравнение третьего порядка $y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$ имеет характеристическое уравнение $(\lambda - 1)^3 = 0$ - корень $\lambda = 1$ кратности 3. Общее решение содержит все три степени $x$ :

$y(x) = (C_1 + C_2 x + C_3 x^2)\, e^{x}.$

Правило простое: каждая единица кратности добавляет очередную степень $x$ перед той же экспонентой. Если корней несколько и они разной кратности, решения по каждому складывают, сохраняя структуру «многочлен нужной степени на экспоненту».

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: решить уравнение $y'' + 4y' + 4y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 1$ , $y'(0) = -1$ .

Составляем характеристическое уравнение:

$\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0.$

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$ - корень кратный. Находим его:

$\lambda = -\frac{p}{2} = -\frac{4}{2} = -2.$

Записываем общее решение с двумя произвольными константами:

$y(x) = (C_1 + C_2 x)\, e^{-2x}.$

Подставляем первое начальное условие $y(0) = 1$ : при $x = 0$ экспонента равна единице, поэтому сразу $C_1 = 1$ . Чтобы найти $C_2$ , дифференцируем решение по правилу произведения:

$y'(x) = C_2 e^{-2x} - 2(C_1 + C_2 x)e^{-2x}.$

При $x = 0$ получаем $y'(0) = C_2 - 2C_1$ . Подставляя $y'(0) = -1$ и уже найденное $C_1 = 1$ :

$-1 = C_2 - 2 \cdot 1 \;\Rightarrow\; C_2 = 1.$

Итоговое частное решение:

$y(x) = (1 + x)\, e^{-2x}.$

Проверка правдоподобия: раз корень отрицательный ( $\lambda = -2 < 0$ ), всё решение должно затухать при $x \to \infty$ , несмотря на растущий множитель $(1+x)$ - и график это подтверждает.

Частые ошибки

Записать решение как $y = C_1 e^{\lambda x} + C_2 e^{\lambda x}$ . Это одна и та же функция с точностью до константы, а не два линейно независимых решения - обязательно нужен множитель $x$ у второго слагаемого.
Забыть про $x$ у второй константы. Правильная форма - $(C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}$ , а не $C_1 e^{\lambda x} + C_2 x$ (без общей экспоненты у второго члена).
Перепутать условие кратности. Кратный корень получается ровно при $D = 0$ , то есть $q = p^2/4$ . Если проверка даёт $D$ , отличный от нуля, корни либо различны, либо комплексны - формула с $x$ не применяется.
Неверно продифференцировать произведение при поиске $C_2$ . $y'(x) = C_2 e^{\lambda x} + \lambda(C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}$ - оба слагаемых обязательны, забывать второе (с $\lambda$ ) - частая ошибка.
Считать, что кратный корень всегда даёт затухание. Знак $\lambda$ определяется знаком $p$ : при $p < 0$ корень $\lambda = -p/2$ положителен, и решение $(C_1+C_2x)e^{\lambda x}$ растёт при $x \to \infty$ .

FAQ

Как понять, что характеристическое уравнение имеет кратный корень? Посчитайте дискриминант $D = p^2 - 4q$ квадратного уравнения $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$ . Если $D = 0$ , корень один и кратности 2; его значение равно $\lambda = -p/2$ .

Почему во втором слагаемом общего решения появляется именно $x$ , а не, скажем, $x^2$ ? Кратность корня равна 2, поэтому добавляется ровно одна дополнительная степень $x$ по сравнению с простым корнем. Для кратности 3 добавились бы $x$ и $x^2$ (то есть три решения: $e^{\lambda x}$ , $x e^{\lambda x}$ , $x^2 e^{\lambda x}$ ).

Что произойдёт с решением, если чуть-чуть изменить коэффициент $q$ рядом с точкой кратности? Оно непрерывно превратится либо в сумму двух экспонент с близкими показателями (при $q$ чуть меньше $p^2/4$ ), либо в слабо колебательную функцию с малой частотой (при $q$ чуть больше) - калькулятор выше показывает это на слайдере delta.

Коротко

Кратный корень характеристического уравнения возникает при $D = p^2 - 4q = 0$ и равен $\lambda = -p/2$ . Поскольку подстановка $y = e^{\lambda x}$ в этом случае даёт только одно решение, второе линейно независимое ищут в виде $x\,e^{\lambda x}$ , и общее решение записывается как $y = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}$ . Этот случай - предельный: при малом отклонении от условия кратности решение непрерывно переходит либо в сумму двух вещественных экспонент, либо в слабое затухающее колебание. Для уравнений порядка выше второго правило обобщается - корень кратности $m$ добавляет множители $e^{\lambda x}, x e^{\lambda x}, \dots, x^{m-1} e^{\lambda x}$ .