Интегральная теорема Коши: формулировка, формула и следствия

Интегральная теорема Коши - стартовый результат всего комплексного анализа. Она утверждает простую вещь: интеграл от голоморфной функции по замкнутому контуру в односвязной области равен нулю. Из этого одного факта дальше вытекает почти всё содержание курса: интегральная формула Коши, бесконечная дифференцируемость голоморфных функций, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры, принцип максимума модуля и, в конечном счёте, теорема о вычетах. Доказана Огюстеном Луи Коши в 1825 году в работе о определённых интегралах между мнимыми пределами; современную форму без условия $C^1$ дал Эдуард Гурса в 1900 году.

Постановка

Пусть $D \subset \mathbb{C}$ - односвязная область, $f \colon D \to \mathbb{C}$ - голоморфная функция, $\gamma \subset D$ - замкнутый кусочно-гладкий контур (положительной ориентации). Утверждение теоремы:

$$\oint_\gamma f(z)\, dz = 0$$

Голоморфность означает существование комплексной производной $f'(z)$ в каждой точке $D$ - это требование сильнее обычной дифференцируемости в $\mathbb{R}^2$, потому что предел отношения $(f(z+h) - f(z))/h$ не должен зависеть от направления $h$. Эквивалентная форма - выполнение уравнений Коши-Римана для $f = u + iv$:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Односвязность области означает, что любой замкнутый контур в ней можно стянуть в точку без выхода из $D$. Без этого условия теорема ломается - классический контрпример $f(z) = 1/z$ на кольце $0 < |z| < 2$ показывает, что интеграл по окружности $|z| = 1$ равен $2\pi i \neq 0$.

Доказательство через теорему Гурса

Историческое доказательство Коши опиралось на формулу Грина и неявно требовало $f' \in C^1$. Гурса показал, что условия $C^1$ можно не требовать: одной голоморфности достаточно. План - индукция по разбиению треугольника.

Шаг 1. Достаточно доказать $\oint_T f(z)\, dz = 0$ для произвольного треугольника $T \subset D$. Любой кусочно-гладкий контур аппроксимируется ломаной, а ломаная триангулируется.

Шаг 2. Разбиваем треугольник $T$ на четыре подобных треугольника $T_1, T_2, T_3, T_4$ (соединяем середины сторон). Интеграл по $\partial T$ равен сумме интегралов по $\partial T_k$ - внутренние стороны проходятся дважды в противоположных направлениях и сокращаются. Хотя бы один из четырёх по модулю не меньше $|I|/4$, где $I = \oint_T f\, dz$. Берём его, обозначаем $T^{(1)}$, повторяем процедуру.

Шаг 3. Получаем вложенную последовательность треугольников $T \supset T^{(1)} \supset T^{(2)} \supset \dots$ с диаметрами $d_n = d_0 / 2^n$ и периметрами $L_n = L_0 / 2^n$. По теореме о вложенных компактах есть общая точка $z_0$. В ней используем голоморфность:

$$f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + \varepsilon(z)\, (z - z_0), \qquad \varepsilon(z) \to 0.$$

Линейная часть имеет первообразную, её интеграл по замкнутому контуру равен нулю. Остаётся хвост: $\bigl|\oint_{T^{(n)}} \varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\bigr| \le \max|\varepsilon| \cdot d_n \cdot L_n = \max|\varepsilon| \cdot d_0 L_0 / 4^n$. С другой стороны, $|I| \le 4^n |I_n|$, то есть $|I| \le \max|\varepsilon| \cdot d_0 L_0$. Устремляем $n \to \infty$, $\max|\varepsilon| \to 0$, получаем $I = 0$.

Доказательство Гурса важно тем, что не привлекает ни формулы Грина, ни оператора Лапласа, ни предположения $f' \in C^1$ - пользуется только определением голоморфности. Из теоремы потом автоматически следует, что $f$ бесконечно гладкая (см. ниже), и круг замыкается. Обратное утверждение - если интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то функция голоморфна - даёт теорема Морера.

Подставь свою функцию и контур ниже - соберём задачу и проверим: голоморфна ли $f$ в нужной области, односвязна ли область, чему равен интеграл, какое следствие нужно применить.

Интегральная формула Коши

Из основной теоремы выводится её главное прикладное следствие - формула, выражающая значение голоморфной функции внутри контура через её значения на самом контуре.

Теорема (интегральная формула Коши). Пусть $f$ голоморфна в области $D$, $\gamma \subset D$ - замкнутый кусочно-гладкий контур, $z_0$ - точка внутри $\gamma$. Тогда

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z - z_0}\, dz.$$

Идея вывода. Рассмотрим $\dfrac{f(z)}{z - z_0}$ - она голоморфна везде в $D$, кроме точки $z_0$. Окружим $z_0$ малой окружностью $C_\rho$ радиуса $\rho$. По интегральной теореме Коши, применённой к области между $\gamma$ и $C_\rho$ (срезанной разрезом), интеграл по $\gamma$ равен интегралу по $C_\rho$. На малой окружности $f(z) \approx f(z_0)$, и прямое вычисление $\oint_{C_\rho} \frac{dz}{z - z_0} = 2\pi i$ даёт нужное равенство при $\rho \to 0$.

Смысл формулы: голоморфная функция полностью определяется своими значениями на границе. Это резкий контраст с вещественным анализом, где значения функции внутри и на границе связаны слабо. В $\mathbb{C}$ нет «свободы» - задал значения на контуре, получил всё внутри.

Производные любого порядка

Дифференцируя формулу Коши по $z_0$ под знаком интеграла (это можно делать, потому что подынтегральное выражение гладко зависит от параметра), получаем формулу для производных:

$$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\, dz.$$

Это и есть знаменитое следствие: всякая голоморфная функция бесконечно дифференцируема в комплексном смысле. В вещественном анализе $C^1 \neq C^2 \neq C^\infty$ - это разные классы. В комплексном анализе $C^1$-голоморфная функция автоматически $C^\infty$-голоморфна, и больше того - аналитична (раскладывается в локальный степенной ряд $\sum a_n (z - z_0)^n$). Получаем равенство классов: голоморфная = бесконечно дифференцируемая комплексная = аналитическая.

Из формулы для $f^{(n)}$ выводятся неравенства Коши для коэффициентов разложения. Если $f$ голоморфна в круге $|z - z_0| < R$ и $|f| \le M$ на $|z - z_0| = r < R$, то

$$|f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n!\, M}{r^n}.$$

Эти неравенства - рабочий инструмент для оценок поведения голоморфных функций.

Теорема Лиувилля

Теорема Лиувилля. Ограниченная целая функция (голоморфная во всей плоскости $\mathbb{C}$ и $|f| \le M$) постоянна.

Доказательство в одну строку. Берём неравенство Коши для первой производной: $|f'(z_0)| \le M/r$ при любом $r > 0$. Устремляем $r \to \infty$ - получаем $f'(z_0) = 0$ в каждой точке. Значит $f$ постоянна.

В вещественном анализе аналог откровенно ложный: $\sin x$ ограничен и бесконечно дифференцируем, но не постоянен. Голоморфность даёт настолько жёсткие связи между значениями функции в разных точках, что глобальная ограниченность форсирует константу.

Основная теорема алгебры

Теорема. Всякий многочлен $P(z) = a_n z^n + \dots + a_0$ с $a_n \neq 0$, $n \ge 1$, имеет хотя бы один корень в $\mathbb{C}$.

Доказательство. Пусть $P$ корней не имеет. Тогда $f(z) = 1/P(z)$ - целая функция (голоморфна везде). Ограниченность: при $|z| \to \infty$ имеем $|P(z)| \to \infty$, значит $|f(z)| \to 0$, то есть $f$ ограничена в окрестности бесконечности. На любом компакте $f$ непрерывна и ограничена. Итого $f$ - ограниченная целая. По теореме Лиувилля $f \equiv \text{const}$, значит и $P \equiv \text{const}$. Противоречие с $n \ge 1$.

Это самое короткое из известных доказательств основной теоремы алгебры - и одно из тех мест, где комплексный анализ резко превосходит чисто алгебраические методы. Для подсчёта количества нулей в заданной области применяется родственный инструмент - теорема Руше.

Принцип максимума модуля

Теорема. Если $f$ голоморфна и непостоянна в области $D$, то $|f(z)|$ не может достигать локального максимума во внутренней точке $D$. Максимум по замкнутой области достигается на границе.

Идея: если $|f|$ имеет локальный максимум в $z_0$, то применяем формулу Коши на малой окружности вокруг $z_0$ - получаем, что $f(z_0)$ есть среднее значений $f$ по окружности; если все они по модулю $\le |f(z_0)|$, то и среднее не может быть больше, а если оно строго равно - все значения совпадают с $f(z_0)$.

Связь с вычетами и многосвязные области

Теорема о вычетах (Cauchy residue theorem). Если $f$ голоморфна в области $D$ за исключением конечного числа изолированных особых точек $z_1, \dots, z_k$, лежащих внутри замкнутого контура $\gamma \subset D$, то

$$\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{k} \operatorname{res}_{z_j} f.$$

Это прямое обобщение интегральной теоремы Коши: если особых точек нет, правая часть равна нулю - получаем исходную теорему. Если внутри одна точка $z_0$ и $f(z) = g(z)/(z - z_0)$ с голоморфной $g$, то $\operatorname{res}_{z_0} f = g(z_0)$ - получается интегральная формула Коши.

Для многосвязных областей теорема обобщается через индекс намотки. Если $\gamma$ - замкнутая кривая, не проходящая через $z_0$, то её индекс намотки $\operatorname{Ind}_\gamma(z_0)$ - число оборотов вокруг $z_0$, считая ориентацию:

$$\operatorname{Ind}_\gamma(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{dz}{z - z_0} \in \mathbb{Z}.$$

Общая форма интегральной теоремы Коши: если $f$ голоморфна в $D$, а цикл $\gamma$ гомологичен нулю в $D$ (то есть $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 0$ для всех $z \notin D$), то $\oint_\gamma f\, dz = 0$. Это уже не требует односвязности - нужна только согласованность контура с дырками области.

Частые ошибки

• Применяют теорему без проверки голоморфности. $f(z) = \bar z$ непрерывна и гладкая как функция $(x, y)$, но не голоморфна - уравнения Коши-Римана не выполняются. Интеграл $\oint_{|z|=1} \bar z\, dz = 2\pi i \neq 0$. Голоморфность - обязательное условие, не «достаточно гладкости».
• Путают интегральную теорему Коши и теорему о вычетах. Первая утверждает обнуление интеграла для голоморфной функции в односвязной области; вторая - связывает интеграл с суммой вычетов в особых точках. Эти теоремы - родственники, но решают разные задачи. Если особых точек нет - обе дают $0$, но если особенность есть, работает только теорема о вычетах.
• Применяют в неодносвязной области. Кольцо $\{0 < |z| < 2\}$ не односвязно. Интеграл от $1/z$ по окружности $|z| = 1$ равен $2\pi i$, а не нулю, потому что точка $z = 0$ - особенность, и стянуть контур через неё нельзя.
• Считают, что вещественная гладкость даёт голоморфность. $f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2$ бесконечно гладкая, но не голоморфна - её комплексная производная не существует ни в одной точке, кроме $z = 0$. Условия Коши-Римана надо проверять отдельно.
• Забывают про ориентацию контура. Положительная ориентация - против часовой стрелки. Поменяете знак ориентации - получите $-2\pi i$ вместо $2\pi i$, и формула Коши даст $-f(z_0)$, что обычно интерпретируется как ошибка в знаке.

FAQ

Чем теорема Коши отличается от теоремы Грина? Формально теорема Грина в комплексной форме - это и есть теорема Коши, если $f \in C^1$: $\oint f\, dz = 2i \iint \partial_{\bar z} f\, dA = 0$ при $\partial_{\bar z} f = 0$ (что эквивалентно уравнениям Коши-Римана). Но Грин требует $f' \in C^1$, тогда как Коши-Гурса работает с одной только голоморфностью - это слабее. Это разные теоремы по строгости условий.

Зачем нужна односвязность области? Чтобы любой замкнутый контур можно было стянуть в точку, не натыкаясь на «дырки», где функция может быть не голоморфна (особенности). На кольце или проколотом круге односвязности нет - там голоморфная функция, например $1/z$, даёт ненулевой интеграл по контуру, охватывающему дырку. Многосвязные случаи разбираются через индекс намотки и теорему о вычетах.

Где применяется интегральная формула Коши на практике? Главное применение - вычисление вещественных определённых интегралов через комплексный контур. Интегралы вида $\int_{-\infty}^{\infty} R(x)\, dx$, $\int_0^{2\pi} R(\sin t, \cos t)\, dt$, $\int_0^\infty x^a R(x)\, dx$ сводятся к подсчёту вычетов через теорему о вычетах (которая выводится из формулы Коши). Сходимость самих несобственных интегралов перед применением контурных методов обычно проверяют через признак Абеля. В физике - преобразования Гильберта, дисперсионные соотношения, асимптотические разложения. В численном анализе - оценки полиномиальных и аналитических аппроксимаций через неравенства Коши.

Коротко

Интегральная теорема Коши: голоморфная в односвязной области функция даёт нулевой интеграл по замкнутому контуру, $\oint_\gamma f(z)\, dz = 0$. Доказывается без условия $C^1$ через индукцию Гурса по треугольникам. Следствия каскадом: интегральная формула $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{z - z_0}\, dz$, формула для производных $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\, dz$, бесконечная дифференцируемость голоморфных функций, неравенства Коши, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры, принцип максимума. Обобщение для особенностей - теорема о вычетах; для многосвязных областей - формулировка через индекс намотки $\operatorname{Ind}_\gamma(z_0)$.