Интегральный косинус Ci(x): формула и вычисление

Интегральный косинус $\mathrm{Ci}(x)$ - одна из классических специальных функций, которая появляется всюду, где нужно проинтегрировать $\cos t / t$: в теории антенн, в дифракции волн, в асимптотическом анализе рядов Фурье. В отличие от обычного косинуса, у неё нет элементарной первообразной - интеграл $\int \cos t / t\, dt$ не выражается через привычные функции, поэтому саму функцию вводят как самостоятельный объект и табулируют её значения. Ниже разберём точное определение, ряд Тейлора для вычисления, поведение графика возле нуля и на бесконечности. Чтобы сразу увидеть, как ведёт себя функция, покрути калькулятор ниже: он показывает график $\mathrm{Ci}(x)$ с текущей точкой и параллельно - как частичная сумма ряда Тейлора приближается к точному значению с ростом числа членов.

Что такое интегральный косинус Ci(x)

Интегральный косинус определяется как несобственный интеграл:

$\mathrm{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos t - 1}{t}\, dt, \qquad x > 0,$

где $\gamma \approx 0{,}5772156649$ - постоянная Эйлера-Маскерони. Подынтегральное выражение $(\cos t - 1)/t$ выглядит пугающе из-за деления на $t$, но особенность в точке $t=0$ устранимая: по разложению $\cos t \approx 1 - t^2/2$ отношение стремится к $0$, а не к бесконечности. Именно поэтому интеграл вообще существует и функция $\mathrm{Ci}(x)$ определена корректно для любого $x > 0$. При $x \to 0^+$ слагаемое $\ln x$ ничем не компенсируется, поэтому $\mathrm{Ci}(x) \to -\infty$ - это единственная особенность функции, и она логарифмическая, а не степенная.

Определение через несобственный интеграл и предел на бесконечности

Есть и вторая, эквивалентная запись, которая явно показывает связь с обычным косинусом:

$\mathrm{Ci}(x) = -\int_x^{\infty} \frac{\cos t}{t}\, dt.$

Рассчитать для своей задачи

Эта форма читается так: значение $\mathrm{Ci}(x)$ с обратным знаком равно площади под колеблющейся кривой $\cos t / t$ на хвосте от $x$ до бесконечности. Интеграл сходится не абсолютно (сама $|\cos t/t|$ не интегрируема на бесконечности), а условно - по признаку Дирихле: множитель $\cos t$ имеет ограниченную первообразную $\sin t$, а $1/t$ монотонно убывает к нулю. Тот же приём лежит в основе признака Абеля для несобственных интегралов - соседнего инструмента для доказательства сходимости знакопеременных интегралов. С ростом $x$ область интегрирования хвоста сдвигается вправо, положительные и отрицательные полуволны косинуса всё сильнее гасят друг друга, и хвост стремится к нулю - отсюда следует, что $\mathrm{Ci}(x) \to 0$ при $x \to \infty$, но не монотонно, а через затухающие колебания.

Ряд Тейлора: как вычислить Ci(x) вручную

Для практического счёта удобнее разложение в степенной ряд, которое получают почленным интегрированием ряда для $\cos t$:

$\mathrm{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{2n \cdot (2n)!}.$

Рассчитать для своей задачи

Ряд знакочередующийся и сходится для любого $x$ (радиус сходимости бесконечен, как и у ряда для $\cos t$), но скорость сходимости зависит от $x$: чем больше аргумент, тем больше членов нужно взять, чтобы попасть в заданную точность, потому что члены ряда сначала растут по модулю (пока $x^{2n}$ обгоняет факториал в знаменателе) и лишь потом начинают убывать. Для знакочередующегося ряда с убывающими по модулю членами погрешность частичной суммы не превышает модуля первого отброшенного члена - это удобный практический критерий остановки. На калькуляторе выше правая диаграмма как раз показывает эту сходимость: при малом $x$ уже 3-4 члена дают четыре верных знака, а при $x$ около 10 частичные суммы заметно «блуждают», прежде чем осесть у точного значения.

Первый нуль и поведение графика

Рассчитать для своей задачи

Поскольку $\mathrm{Ci}(x)$ монотонно растёт от $-\infty$ (при $x \to 0^+$) и затем начинает колебаться около нуля, у неё обязан быть первый положительный корень. Численно он равен $x_0 \approx 0{,}6165054856$. Это единственный ноль на промежутке $(0, \pi)$: производная $\mathrm{Ci}'(x) = \cos x / x$ положительна на всём $(0, \pi/2)$, значит, до этой точки функция строго возрастает и пересекает ноль ровно один раз. После $x_0$ знак $\mathrm{Ci}(x)$ чередуется на каждом следующем полупериоде, а амплитуда колебаний убывает - это видно и на графике, и в калькуляторе, если двигать ползунок аргумента дальше первого нуля.

Асимптотика при больших x: затухающие колебания

Для больших $x$ интегрированием по частям хвостового интеграла получают асимптотическое разложение:

$\mathrm{Ci}(x) \approx \frac{\sin x}{x} - \frac{\cos x}{x^2} + O\!\left(\frac{1}{x^3}\right), \qquad x \to \infty.$

Главный член $\sin x / x$ показывает, что огибающая колебаний убывает как $1/x$ - заметно медленнее, чем убывают, скажем, коэффициенты гладкого ряда Фурье, потому что источник колебаний здесь один и тот же множитель $\cos t/t$, а не сумма гармоник. Экстремумы $\mathrm{Ci}(x)$ (точки, где производная $\cos x / x$ обращается в ноль) расположены примерно в точках $x = \pi/2 + n\pi$ - с точностью до поправки более высокого порядка. Практически это означает: чтобы определить знак и порядок величины $\mathrm{Ci}(x)$ при большом $x$, достаточно посмотреть, в какой четверти находится $x$ по модулю $2\pi$, и разделить на $x$.

Где встречается интегральный косинус на практике

Интегральный косинус - не абстрактная головоломка курса матанализа. Он напрямую входит в формулу активного сопротивления излучения тонкого линейного вибратора в антенной технике вместе со своим «братом» - интегральным синусом $\mathrm{Si}(x)$; подробный вывод для полуволнового диполя разобран в статье про входное сопротивление антенны. Та же пара функций возникает в задачах дифракции на щели, в спектральном анализе прямоугольных импульсов и при вычислении интеграла синусоидального импульса конечной длительности. Во всех этих случаях причина одна: интеграл вида $\int \cos(\omega t)/t\, dt$ не берётся в элементарных функциях, и вместо того чтобы каждый раз решать его заново, инженеры и физики один раз протабулировали $\mathrm{Ci}(x)$ и пользуются готовыми значениями или рядом.

Частые ошибки

• Забыть слагаемое $\gamma + \ln x$. Студенты иногда путают $\mathrm{Ci}(x)$ с самим интегралом $\int_0^x (\cos t - 1)/t\, dt$ - это только часть формулы, без постоянной Эйлера-Маскерони и логарифма значение будет неверным для любого конкретного $x$.
• Считать интеграл $\int_x^{\infty} \cos t/t\, dt$ абсолютно сходящимся. Модуль подынтегральной функции $|\cos t/t|$ не интегрируем на бесконечности (по гармоническому ряду), сходимость только условная - доказывается признаком Дирихле, а не признаком сравнения.
• Обрывать ряд Тейлора без проверки, что члены уже убывают. При больших $x$ первые несколько членов ряда растут по модулю; взять там же 2-3 члена и остановиться - грубая ошибка, оценка погрешности через первый отброшенный член работает только после того, как члены пошли на убыль.
• Путать Ci(x) с интегральным синусом Si(x). У $\mathrm{Si}(x)$ подынтегральная функция $\sin t/t$ не имеет особенности вовсе (предел в нуле равен 1), а сама $\mathrm{Si}(0) = 0$; у $\mathrm{Ci}(x)$, наоборот, особенность в нуле логарифмическая, и в нуле функция не определена.
• Искать элементарную первообразную. $\int \cos t/t\, dt$ принципиально не выражается через элементарные функции - это доказуемый факт, а не вопрос недостаточной сноровки в интегрировании.

FAQ

Чему равен интегральный косинус в нуле? Строго говоря, $\mathrm{Ci}(0)$ не определён: при $x \to 0^+$ функция уходит в $-\infty$ из-за слагаемого $\ln x$. Иногда в задачах спрашивают предел, а не значение - тогда ответ именно $-\infty$.

При каком x интегральный косинус впервые обращается в ноль? При $x_0 \approx 0{,}6165054856$. Это единственный корень на промежутке $(0, \pi)$, дальше знак чередуется на каждом следующем полупериоде с убывающей амплитудой.

Как быстро сходится ряд Тейлора для Ci(x)? Ряд сходится при любом $x$, но для больших $x$ члены сначала растут по модулю и лишь потом начинают убывать, поэтому нужно больше членов. Погрешность частичной суммы оценивается модулем первого члена, следующего за уже убывающими.

Коротко

Интегральный косинус $\mathrm{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x (\cos t - 1)/t\, dt = -\int_x^{\infty} \cos t/t\, dt$ - специальная функция без элементарной первообразной у $\cos t/t$. У неё логарифмическая особенность при $x \to 0^+$, первый ноль при $x_0 \approx 0{,}6165$ и затухающие колебания с огибающей порядка $1/x$ при $x \to \infty$. Вычисляют её либо численным интегрированием, либо рядом Тейлора $\gamma + \ln x + \sum (-1)^n x^{2n}/(2n\,(2n)!)$, который сходится при любом аргументе, но требует тем больше членов, чем больше x.