Уравнение кардиоиды: полярная и декартова форма

Кардиоида - плоская кривая, которая получается, если отметить точку на окружности и прокатить эту окружность без проскальзывания по внешней стороне неподвижной окружности того же радиуса: след отмеченной точки по форме напоминает сердце, отсюда и название (от греческого kardia - сердце). У кардиоиды есть три равносильных описания - полярное уравнение, параметрические уравнения и декартово уравнение четвёртой степени, - и почти любая учебная задача требует перехода между ними: вывести декартову форму из полярной, найти координаты точки по заданному углу или, наоборот, определить угол по известным координатам. Ниже разберём все три формы записи, ключевые точки кривой и типичные ошибки; а чтобы сразу увидеть, как параметр $a$ и угол $\theta$ управляют положением точки на кривой, покрутите калькулятор.

Геометрическое происхождение кардиоиды

Кардиоида - частный случай эпициклоиды: кривой, которую вычерчивает точка на окружности, катящейся снаружи по неподвижной окружности. Если радиусы обеих окружностей равны $a/2$, след отмеченной точки задаёт ровно ту кардиоиду, с которой мы работаем ниже, - с полюсом в центре неподвижной окружности и уравнением $r = a(1+\cos\theta)$.

Рассчитать для своей задачи

Пока подвижная окружность делает один полный оборот вокруг неподвижной, отмеченная точка один раз удаляется от полюса на максимальное расстояние и один раз возвращается точно в полюс - это и есть та самая точка возврата, из-за которой у кривой характерное «острие» со стороны, обращённой к центру.

Полярное уравнение кардиоиды

Кардиоида в полярных координатах $(r, \theta)$ с полюсом в начале координат и полярной осью вдоль $Ox$ задаётся уравнением:

$$r(\theta) = a(1 + \cos\theta), \qquad \theta \in [0,\, 2\pi).$$

Параметр $a > 0$ задаёт масштаб кривой: чем он больше, тем дальше вершина кардиоиды от полюса. Заметьте, что $1 + \cos\theta \ge 0$ при любом $\theta$, поэтому $r \ge 0$ всегда - кривая ни разу не «переходит» на отрицательные радиусы, в отличие от некоторых других улиток Паскаля. Именно этим кардиоида отличается от общего уравнения улитки $r = b + a\cos\theta$: у кардиоиды свободный член и коэффициент при косинусе строго равны ($b = a$), и только при таком соотношении на кривой появляется настоящая точка возврата, а не просто внутренняя петля.

Параметрические уравнения кардиоиды

Переходя от полярных координат к декартовым по стандартным формулам $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, получаем параметрические уравнения кардиоиды с параметром $\theta$:

$$x(\theta) = a(1+\cos\theta)\cos\theta, \qquad y(\theta) = a(1+\cos\theta)\sin\theta.$$

Эта форма удобна, когда нужно найти координаты конкретной точки по известному углу. Возьмём $a = 2$ и $\theta = 120°$: тогда $\cos\theta = -0{,}5$, $\sin\theta \approx 0{,}866$, поэтому $r = 2(1 - 0{,}5) = 1$, а координаты точки - $x = 1 \cdot (-0{,}5) = -0{,}5$ и $y = 1 \cdot 0{,}866 \approx 0{,}866$. Заметьте: для этой точки $x^2+y^2 = 0{,}25+0{,}75 = 1$, то есть при таком угле точка попадает ровно на единичную окружность - совпадение, которое легко проверить и вручную.

Декартово уравнение: как исключить угол тета

Чтобы получить декартово уравнение, угол $\theta$ нужно исключить из полярного уравнения. Из $x = r\cos\theta$ следует $\cos\theta = x/r$, и полярное уравнение переписывается как:

$$r = a + a\cos\theta = a + \frac{ax}{r}.$$

Домножим обе части на $r$ и подставим $r^2 = x^2+y^2$:

$$r^2 = ar + ax \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2 - ax = ar.$$

Осталось выразить $r = \sqrt{x^2+y^2}$ и возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$(x^2+y^2-ax)^2 = a^2(x^2+y^2).$$

Рассчитать для своей задачи

Это уравнение четвёртой степени относительно $x$ и $y$ - типичный результат для кривых, заданных через $r = f(\theta)$ с тригонометрической функцией внутри: возведение в квадрат при исключении корня $r = \sqrt{x^2+y^2}$ повышает степень уравнения. Проверить его легко на любой точке кривой: возьмём вершину $(2a, 0)$, тогда левая часть $(4a^2 - 2a^2)^2 = 4a^4$, а правая $a^2 \cdot 4a^2 = 4a^4$ - равенство выполняется.

Вершина, точка возврата и симметрия кривой

Из полярного уравнения легко выписать координаты характерных точек кривой при базовых углах:

• $\theta = 0$: $r = 2a$, точка $(2a,\, 0)$ - вершина, самая дальняя от полюса точка кривой;
• $\theta = \pi/2$: $r = a$, точка $(0,\, a)$;
• $\theta = \pi$: $r = 0$, точка возврата - сама кривая проходит через полюс $(0,\, 0)$;
• $\theta = 3\pi/2$: $r = a$, точка $(0,\, -a)$.

Рассчитать для своей задачи

Поскольку $\cos(-\theta) = \cos\theta$, функция $r(\theta)$ чётная, а значит кривая симметрична относительно полярной оси $Ox$: точки при $\theta$ и $-\theta$ (то есть $2\pi - \theta$) лежат зеркально друг напротив друга. Это удобный способ проверки построения - если график несимметричен относительно горизонтальной оси, где-то ошибка в вычислении координат.

Касательная в точке возврата

В точке возврата $\theta = \pi$ обе производные $dx/d\theta$ и $dy/d\theta$ обращаются в нуль одновременно - формальный признак особой точки кривой (не просто точки на гладкой дуге). Разложение вблизи $\theta = \pi$ показывает, что при малом отклонении $\varphi$ от этого угла $x \approx -\tfrac{a}{2}\varphi^2$, а $y \approx -\tfrac{a}{2}\varphi^3$, поэтому отношение $y/x$ стремится к нулю быстрее, чем сама $\varphi$. Это означает, что обе ветви кривой подходят к полюсу, касаясь одной и той же прямой - полярной оси $Ox$. Такую особенность называют цуспом (остриём) первого рода: в отличие от обычной точки перегиба, здесь касательная у обеих ветвей общая, а сама кривая образует характерный «клюв».

Частые ошибки

• Путают параметр $a$ формулы и радиус образующей окружности. Если кардиоида построена как эпициклоида, радиус катящейся и неподвижной окружностей равен $a/2$, а не $a$ - иначе вершина окажется вдвое дальше, чем нужно.
• Теряют знак при возведении в квадрат. Переход от $x^2+y^2-ax = ar$ к $(x^2+y^2-ax)^2 = a^2(x^2+y^2)$ добавляет посторонние решения с $r < 0$; для самой кардиоиды это не мешает, но в задачах с ограничением на знак $r$ об этом важно помнить.
• Путают ось симметрии. У кардиоиды $r = a(1+\cos\theta)$ ось симметрии - полярная ось $Ox$, а не $Oy$; с синусом вместо косинуса кривая повернулась бы на 90°.
• Забывают про ограничение $r \ge 0$. В отличие от общей улитки Паскаля, у кардиоиды $r$ никогда не становится отрицательным, поэтому лишних петель на кривой быть не должно - их появление в расчёте сигнализирует об ошибке в знаке параметра $a$.
• Считают точку возврата обычной гладкой точкой. При $\theta=\pi$ производные по $\theta$ обнуляются одновременно - это цусп, а не точка, где можно применять обычную формулу углового коэффициента касательной без дополнительного анализа.

FAQ

Как выглядит уравнение кардиоиды в декартовых координатах? $(x^2+y^2-ax)^2 = a^2(x^2+y^2)$, где $a$ - тот же параметр, что и в полярном уравнении $r = a(1+\cos\theta)$. Уравнение получается исключением угла $\theta$ через $\cos\theta = x/r$.

Чему равен радиус $r$ при $\theta = 180°$? Радиус равен нулю: $r = a(1+\cos 180°) = a(1-1) = 0$. Это точка возврата кардиоиды - кривая проходит через полюс и касается полярной оси обеими ветвями.

Кардиоида и улитка Паскаля (лимасон) - это одно и то же? Кардиоида - частный случай улитки Паскаля $r = b + a\cos\theta$ при условии $b = a$. Если $b \ne a$, кривая либо не доходит до полюса (при $b > a$), либо образует внутреннюю петлю (при $b < a$) - настоящая точка возврата возникает только при точном равенстве коэффициентов.

Коротко

Кардиоида задаётся тремя равносильными формами: полярным уравнением $r = a(1+\cos\theta)$, параметрическими уравнениями $x(\theta) = r(\theta)\cos\theta$, $y(\theta) = r(\theta)\sin\theta$ и декартовым уравнением четвёртой степени $(x^2+y^2-ax)^2 = a^2(x^2+y^2)$. Вершина кривой лежит в точке $(2a, 0)$ при $\theta=0$, точка возврата - в полюсе при $\theta=\pi$, а сама кривая симметрична относительно полярной оси. Переход между формами всегда идёт через подстановку $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ и последующее исключение угла или параметра.