Коэффициенты ряда Фурье: как вывести формулы a0, an, bn

Формулы коэффициентов ряда Фурье $a_0$, $a_n$, $b_n$ выглядят как готовый рецепт: взял интеграл функции с косинусом или синусом, поделил на длину полупериода - и коэффициент найден. Но за этим рецептом стоит одна простая идея - ортогональность синусов и косинусов друг другу, - и если её понять, формулы перестают быть набором значков для запоминания. Ниже разберём, откуда берутся все три формулы, почему у $a_0$ отдельная нормировка, и применим их к двум разным функциям - прямоугольному сигналу (меандру) и параболе - чтобы увидеть общий рецепт в работе. Калькулятор ниже считает эти коэффициенты по общей формуле для обеих функций сразу и рисует, как частичная сумма ряда собирает исходную кривую.

Общий вид ряда Фурье

Пусть функция $f(x)$ задана на отрезке длиной $2l$ и периодически продолжена на всю числовую ось. Тогда её ряд Фурье записывается как разложение по постоянному слагаемому и бесконечному набору косинусов и синусов кратных частот:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{n\pi x}{l} + b_n \sin\frac{n\pi x}{l} \right).$

Слагаемое $a_0/2$ - это постоянная составляющая, среднее значение функции за период. Каждая пара $a_n \cos(n\pi x/l)$ и $b_n \sin(n\pi x/l)$ - это гармоника номер $n$: чем больше $n$, тем чаще она колеблется на том же отрезке. Задача - найти явные формулы для $a_0$, $a_n$ и $b_n$ через саму функцию $f$, не подбирая коэффициенты вручную.

Откуда берутся формулы коэффициентов

Ключевое свойство системы функций $\{1, \cos(n\pi x/l), \sin(n\pi x/l)\}$ - их взаимная ортогональность на отрезке $(-l, l)$: интеграл произведения двух разных гармоник равен нулю, а интеграл квадрата одной и той же гармоники - конечному ненулевому числу.

Рассчитать для своей задачи

Формально при $n \ne m$:

$\int_{-l}^{l} \cos\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{m\pi x}{l}\,dx = 0, \qquad \int_{-l}^{l} \sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}\,dx = 0,$

а произведение синуса и косинуса любых номеров даёт ноль всегда (это нечётная функция на симметричном отрезке). При $n = m$ те же интегралы равны $l$. Идея вывода формул - умножить обе части ряда на нужную гармонику и проинтегрировать почленно: все слагаемые справа занулятся из-за ортогональности, кроме одного, которое и даст искомый коэффициент.

Формула a0: среднее значение функции

Чтобы найти $a_0$, умножаем обе части ряда на $1$ (то есть просто интегрируем как есть) по отрезку $(-l, l)$. Справа выживает только слагаемое с $a_0/2$, потому что интеграл любого $\cos(n\pi x/l)$ и $\sin(n\pi x/l)$ по полному периоду равен нулю:

$\int_{-l}^{l} f(x)\,dx = \frac{a_0}{2}\cdot 2l \quad\Longrightarrow\quad a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\,dx.$

Это в точности удвоенное среднее значение функции за период. Деление именно на $l$, а не на $2l$, и появление множителя $1/2$ перед $a_0$ в самом ряде - не случайность, а следствие того, что интеграл единицы по $(-l,l)$ равен $2l$: так формула $a_0/2$ оказывается ровно средним значением $f$.

Формулы an и bn: проекции на гармоники

Чтобы найти $a_n$ при фиксированном $n$, умножаем обе части ряда на $\cos(n\pi x/l)$ и интегрируем. Справа из-за ортогональности выживает единственное слагаемое - то, где стоит $\cos(n\pi x/l)$ в квадрате, а его интеграл равен $l$:

$\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx = a_n \cdot l \quad\Longrightarrow\quad a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx.$

Точно так же, умножив на $\sin(n\pi x/l)$, получаем коэффициент при синусе:

$b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx.$

Обе формулы - это, по сути, проекция функции $f$ на соответствующую гармонику: чем больше $f$ похожа по форме на $\cos(n\pi x/l)$ (или на $\sin(n\pi x/l)$), тем больше окажется коэффициент. Один и тот же приём - умножить и проинтегрировать - работает для любого $n$ и для $a_0$, только для $a_0$ роль «гармоники» играет константа $1$.

Важное упрощение до вычислений: если $f$ - чётная функция, произведение $f(x)\sin(n\pi x/l)$ нечётно, и его интеграл по симметричному отрезку сразу равен нулю - все $b_n = 0$, считать их не нужно. Если $f$ нечётна, наоборот, обнуляются все $a_n$. Оба примера ниже выбраны специально так, чтобы показать обе ситуации.

Пример: коэффициенты меандра

Меандр - прямоугольный сигнал амплитудой $A$: $f(x) = A$ на $(0, l)$ и $f(x) = -A$ на $(-l, 0)$. Функция нечётна, поэтому сразу известно, что $a_0 = 0$ и все $a_n = 0$ - считать эти интегралы не требуется. Остаётся найти $b_n$ по общей формуле:

$b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx = \frac{2}{l}\int_{0}^{l} A\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx = \frac{2A}{n\pi}\left(1 - \cos(n\pi)\right).$

Поскольку $\cos(n\pi) = (-1)^n$, множитель $1 - (-1)^n$ равен $2$ для нечётных $n$ и $0$ для чётных. Итоговый ряд содержит только нечётные гармоники:

Рассчитать для своей задачи

$f(x) = \frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin\frac{(2k+1)\pi x}{l}}{2k+1}.$

Коэффициент первой гармоники $b_1 = 4A/\pi$ - самый большой; дальше коэффициенты убывают как $1/n$, поэтому меандр «собирается» медленно и с характерной рябью у скачков.

Пример: коэффициенты параболы x²

Возьмём чётную функцию $f(x) = A(x/l)^2$. Здесь, наоборот, сразу ясно, что все $b_n = 0$, а работать нужно с $a_0$ и $a_n$. Среднее значение:

$a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} A\left(\frac{x}{l}\right)^2 dx = \frac{A}{l^3}\int_{-l}^{l} x^2\,dx = \frac{A}{l^3}\cdot\frac{2l^3}{3} = \frac{2A}{3}.$

Коэффициенты при косинусах находятся двукратным интегрированием по частям:

$a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} A\left(\frac{x}{l}\right)^2 \cos\frac{n\pi x}{l}\,dx = \frac{4A(-1)^n}{\pi^2 n^2}.$

Рассчитать для своей задачи

Знак коэффициента чередуется, а модуль убывает как $1/n^2$ - заметно быстрее, чем $1/n$ у меандра. Причина в гладкости: периодическое продолжение параболы непрерывно (в отличие от меандра, у которого есть скачки), поэтому её ряд Фурье сходится быстрее и без ряби Гиббса.

Частые ошибки

• Делят на $2l$ вместо $l$. И для $a_0$, и для $a_n$, $b_n$ нормировка - это $1/l$, а не $1/(2l)$; множитель $2l$ - это длина всего периода, а не полупериода в знаменателе формулы.
• Забывают про $1/2$ у $a_0$ в самом ряде. Формула для $a_0$ даёт удвоенное среднее значение функции; в ряде оно входит как $a_0/2$, а не как $a_0$.
• Считают лишние интегралы. Если функция чётна, $b_n$ заведомо равны нулю; если нечётна - равны нулю все $a_n$. Проверка чётности до вычислений экономит половину работы.
• Путают отрезок интегрирования с периодом. Если $f$ задана не на $(-l, l)$, а на $(0, 2l)$, интегралы всё равно берутся по одному полному периоду длиной $2l$ - просто с другими пределами, ответ не меняется.
• Забывают про периодическое продолжение. Коэффициенты находятся для функции, продолженной периодически на всю ось, а не только там, где она изначально задана; на границах отрезка сумма ряда сходится к среднему скачка продолжения, а не к значению самой функции.

FAQ

Почему в формуле a0 стоит $1/l$, а не $1/(2l)$? Потому что при выводе интеграл по $(-l, l)$ от единицы равен $2l$, и он умножается именно на $a_0/2$, а не на $a_0$. После деления обеих частей на $2l$ и умножения на $2$ остаётся множитель $1/l$ - это не отдельное правило, а прямое следствие вывода через ортогональность.

Как узнать заранее, что часть коэффициентов равна нулю? Проверить чётность функции. У чётной функции все $b_n = 0$, у нечётной - все $a_n = 0$. Если функция ни чётная, ни нечётная (как $f(x) = x$ на $(0, 2\pi)$), нулевых коэффициентов может не быть вовсе, кроме случайных совпадений.

Чем формулы коэффициентов ряда Фурье отличаются для разных функций? Общая формула одна и та же - интеграл функции, умноженной на гармонику, делённый на $l$. Разными оказываются лишь сами интегралы: для меандра они берутся элементарно, для параболы нужен интеграл по частям дважды. Пример разбора конкретной функции - в статье про ряд Фурье функции x на отрезке.

Коротко

Все три формулы ряда Фурье - $a_0$, $a_n$, $b_n$ - выводятся одним и тем же приёмом: умножить обе части ряда на нужную гармонику (или на единицу для $a_0$) и проинтегрировать по периоду $2l$, используя ортогональность синусов и косинусов. Результат - $a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f\,dx$, $a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx$, $b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx$. Чётность функции сразу подсказывает, какая половина коэффициентов обнулится: у меандра (нечётная функция) остаются только $b_n \sim 1/n$, у параболы (чётная функция) - только $a_n \sim 1/n^2$, и это отличие в скорости убывания напрямую связано с наличием или отсутствием разрывов в периодическом продолжении.