Локон Аньези: уравнение кривой и точки перегиба

Локон Аньези - одна из самых изящных кривых аналитической геометрии: она строится через обычную окружность, но при этом обладает горизонтальной асимптотой и конечной площадью под бесконечной по протяжённости ветвью. Кривую в 1748 году подробно разобрала итальянский математик Мария Гаэтана Аньези в своём учебнике анализа, и с тех пор она носит её имя (хотя сама конструкция была известна раньше). Ниже разберём, как локон строится геометрически через окружность и секущую прямую, как вывести его уравнение, где расположены вершина и точки перегиба и почему площадь между кривой и асимптотой оказывается конечной и связанной с площадью самой окружности. Чтобы сразу увидеть, как окружность превращается в кривую, покрути калькулятор ниже: он показывает локон и схему его построения одновременно, а дальше мы разберём каждый шаг строго.

Как строится локон Аньези

Возьмём окружность радиуса $a$ с центром в точке $(0, a)$ - она касается оси $Ox$ в начале координат, а прямая $y = 2a$ касается её сверху. Из начала координат проведём произвольную секущую под углом $\theta$ к оси $Oy$. Она пересекает окружность в точке $A$, а прямую $y = 2a$ - в точке $B$. Точка $P$ самого локона получается так: её абсцисса берётся от точки $B$, а ордината - от точки $A$.

Рассчитать для своей задачи

Если обозначить угол секущей как $\theta$, координаты точек находятся из простой тригонометрии. Точка $B$ на касательной: $B = (2a\operatorname{tg}\theta,\, 2a)$. Точка $A$ на окружности лежит на той же секущей на расстоянии хорды $OA = 2a\cos\theta$ от начала координат, откуда $A = (a\sin 2\theta,\, a(1+\cos 2\theta))$. Точка кривой берёт абсциссу от $B$ и ординату от $A$:

$P = \bigl(2a\operatorname{tg}\theta,\; 2a\cos^2\theta\bigr).$

Когда $\theta$ пробегает от $0$ почти до $90°$, точка $P$ вычерчивает правую половину локона; левая получается симметрично при отрицательных углах. При $\theta = 0$ секущая совпадает с осью $Oy$, и обе точки $A$, $B$ совпадают с верхней точкой окружности - это и есть вершина кривой.

Уравнение локона Аньези

Чтобы получить явную зависимость $y(x)$, исключим параметр $\theta$. Из $x = 2a\operatorname{tg}\theta$ следует $\operatorname{tg}\theta = x/(2a)$, а значит

$\cos^2\theta = \frac{1}{1+\operatorname{tg}^2\theta} = \frac{4a^2}{4a^2+x^2}.$

Подставляя это в $y = 2a\cos^2\theta$, получаем главное уравнение локона Аньези:

$y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}.$

Здесь $a$ - радиус образующей окружности, то есть параметр масштаба всей кривой. Уравнение задаёт чётную функцию: график симметричен относительно оси $Oy$, а знаменатель никогда не обращается в ноль, поэтому область определения - вся числовая прямая. При $x=0$ функция достигает максимума $y=2a$ - это высота окружности, а при $x\to\pm\infty$ значение $y$ стремится к нулю, но никогда его не достигает: горизонтальная прямая $y=0$ служит асимптотой кривой.

Вершина и точки перегиба

Вершина локона - точка $(0,\,2a)$, самая высокая точка кривой и одновременно верхняя точка образующей окружности. Чтобы найти точки перегиба, нужно исследовать вторую производную. Дифференцируя $y = 8a^3(x^2+4a^2)^{-1}$ дважды, получаем

$y''(x) = \frac{16a^3\,(3x^2-4a^2)}{(x^2+4a^2)^3}.$

Знаменатель всегда положителен, поэтому знак $y''$ определяется числителем $3x^2-4a^2$. Он обращается в ноль при

$x = \pm\frac{2a}{\sqrt3}, \qquad y = \frac{3a}{2}.$

Рассчитать для своей задачи

Левее $-2a/\sqrt3$ и правее $2a/\sqrt3$ кривая выпукла вниз (числитель $3x^2-4a^2$ положителен), а между этими точками - выпукла вверх, огибая вершину. Именно там, где выпуклость меняется, и находятся точки перегиба - они лежат на высоте $3a/2$, то есть на $3/4$ от максимальной высоты вершины $2a$. Симметрия относительно оси $Oy$ означает, что обе точки перегиба находятся на одинаковой высоте, зеркально по разные стороны от вершины.

Площадь между кривой и асимптотой

Хотя ветви локона тянутся до бесконечности, площадь между кривой и её асимптотой $y=0$ оказывается конечной - это несобственный интеграл, который сходится:

$S = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{8a^3}{x^2+4a^2}\,dx = 8a^3\cdot\left[\frac{1}{2a}\operatorname{arctg}\frac{x}{2a}\right]_{-\infty}^{\infty} = 8a^3\cdot\frac{\pi}{2a} = 4\pi a^2.$

Результат удивительно красив: площадь под бесконечным локоном равна ровно четырём площадям образующей окружности ($\pi a^2$ - площадь круга радиуса $a$). Это классический пример того, как бесконечная по протяжённости фигура может иметь конечную и притом элегантно выражаемую площадь - похожий эффект встречается и у других кривых с горизонтальной асимптотой, но не у каждой результат получается таким простым кратным числом $\pi$.

Асимптотическое поведение

Асимптота $y=0$ - прямое следствие построения. Когда угол секущей $\theta$ приближается к $90°$, точка $A$ на окружности стягивается к началу координат (хорда $OA=2a\cos\theta\to0$), а точка $B$ на касательной уходит всё дальше по горизонтали. В результате ордината $P$, равная ординате $A$, стремится к нулю, а абсцисса неограниченно растёт. Это геометрическое объяснение того же факта, который следует и из формулы: при больших $|x|$ слагаемое $x^2$ в знаменателе доминирует над $4a^2$, и $y\approx 8a^3/x^2\to0$. Скорость убывания - квадратичная, поэтому вдали от вершины кривая заметно «прижимается» к оси $Ox$ быстрее, чем линейно.

Пример решения типовой задачи

Пусть радиус образующей окружности $a = 2$ см. Найдём вершину, точки перегиба и площадь под кривой.

Вершина сразу получается из формулы $(0,\,2a)$:

$(0,\;2\cdot 2) = (0,\;4)\ \text{см}.$

Точки перегиба - по выведенной формуле $x=\pm2a/\sqrt3$, $y=3a/2$:

$x = \pm\frac{2\cdot 2}{\sqrt3} = \pm\frac{4}{\sqrt3} \approx \pm 2{,}31\ \text{см}, \qquad y = \frac{3\cdot 2}{2} = 3\ \text{см}.$

Площадь между кривой и асимптотой:

$S = 4\pi a^2 = 4\pi\cdot 2^2 = 16\pi \approx 50{,}27\ \text{см}^2.$

Проверка размерности полезна: площадь под кривой $y(x)$ имеет размерность (длина)², и $4\pi a^2$ действительно масштабируется как квадрат радиуса - при удвоении $a$ площадь вырастет в четыре раза, что и наблюдается в калькуляторе выше при изменении ползунка.

Частые ошибки

• Путают роль радиуса и диаметра. В формуле $y = 8a^3/(x^2+4a^2)$ параметр $a$ - это радиус образующей окружности, а не её диаметр. Высота вершины при этом равна $2a$ - диаметру окружности, что легко перепутать местами.
• Забывают о симметрии точек перегиба. Точек перегиба две, а не одна - они расположены зеркально относительно оси $Oy$ на одинаковой высоте $3a/2$. В ответе нужно указывать обе координаты $x$.
• Считают асимптоту недостижимой линией пересечения. Кривая не пересекает асимптоту $y=0$ ни при каком конечном $x$, а лишь неограниченно к ней приближается - это стоит явно проговаривать в решении.
• Пропускают проверку на несобственный интеграл. При вычислении площади $S=\int y\,dx$ по всей прямой нужно явно писать предел при $x\to\pm\infty$, а не подставлять «бесконечность» напрямую в первообразную.
• Путают локон Аньези с другими кривыми третьего порядка. Несмотря на кубический член в числителе исходной параметризации, итоговая функция $y(x)$ - рациональная дробь, а не кубическая парабола; их графики визуально похожи только вблизи вершины.

FAQ

Чему равна высота вершины локона Аньези при радиусе окружности 5 см? Высота вершины равна диаметру образующей окружности: $2a = 2\cdot5=10$ см. Это максимальное значение функции $y(x)$, достигаемое при $x=0$.

Почему у локона Аньези горизонтальная асимптота, а не вертикальная? Функция $y=8a^3/(x^2+4a^2)$ определена при всех $x$ (знаменатель никогда не равен нулю), поэтому вертикальных асимптот нет. А при $x\to\pm\infty$ значение $y$ стремится к нулю - это и даёт горизонтальную асимптоту $y=0$.

Как локон Аньези связан с образующей окружностью на практике? Каждая точка кривой строится геометрически: секущая из начала координат берёт ординату от точки пересечения с окружностью и абсциссу от точки пересечения с касательной прямой $y=2a$. Меняя угол секущей от $0$ до $90°$, получают всю правую половину кривой.

Коротко

Локон Аньези строится через окружность радиуса $a$, касающуюся оси $Ox$, и касательную прямую $y=2a$: секущая под углом $\theta$ даёт точку кривой $(2a\operatorname{tg}\theta,\,2a\cos^2\theta)$, что после исключения параметра превращается в уравнение $y=8a^3/(x^2+4a^2)$. Вершина кривой - $(0,2a)$, точки перегиба - $(\pm 2a/\sqrt3,\,3a/2)$, а площадь между кривой и горизонтальной асимптотой $y=0$ равна $4\pi a^2$ - ровно четырём площадям образующей окружности.