Мультипликативная модель временного ряда: формула и расчёт

Мультипликативная модель временного ряда раскладывает наблюдаемый показатель на множители: трендовую компоненту, сезонную и случайную. Её применяют, когда амплитуда сезонных колебаний растёт вместе с уровнем ряда - например, продажи зимой и летом отличаются не на фиксированную величину, а в несколько раз, и этот разрыв увеличивается год от года. Ниже разберём, из чего складывается модель, как выделить тренд скользящей средней, как посчитать сезонные индексы и построить прогноз, и где студенты чаще всего теряют баллы. Чтобы сразу почувствовать связь тренда, сезона и прогноза, покрутите калькулятор ниже: он показывает ряд, линию тренда и прогноз на следующий год, а дальше мы разберём каждый шаг строго.

Из чего состоит мультипликативная модель

Любой временной ряд $Y_t$ в классической декомпозиции представляют как комбинацию трёх компонент:

• Тренд $T_t$ - долгосрочное направление: ряд в среднем растёт, падает или стоит на месте.
• Сезонная компонента $S_t$ - регулярные колебания с фиксированным периодом (четыре квартала, двенадцать месяцев, семь дней).
• Случайная компонента $E_t$ - нерегулярный остаток, который модель не объясняет.

В мультипликативной модели эти компоненты перемножаются:

$Y_t = T_t \cdot S_t \cdot E_t.$

В этом её отличие от аддитивной модели $Y_t = T_t + S_t + E_t$, где компоненты складываются. Перемножение означает, что сезон выражается не в абсолютных единицах, а в долях от тренда: сезонный индекс $S_t = 1{,}3$ читается как «в этом квартале значение на 30 процентов выше трендового уровня», и чем выше сам тренд, тем больше абсолютный сезонный размах. Именно поэтому мультипликативную модель выбирают для рядов с расширяющимся «веером» сезонных колебаний.

Рассчитать для своей задачи

Как выбрать между аддитивной и мультипликативной моделью

Главный признак - поведение амплитуды сезонных колебаний во времени. Если размах колебаний примерно постоянен и не зависит от уровня ряда, подходит аддитивная модель. Если же амплитуда растёт пропорционально тренду (пики становятся всё выше, провалы всё глубже в абсолютном выражении), берут мультипликативную. На графике это видно как расширяющийся веер: расстояние между сезонными максимумами и минимумами увеличивается слева направо. В калькуляторе выше это управляется ползунком размаха сезонности - при большом размахе и растущем тренде колебания заметно разъезжаются.

Шаг 1. Выделение тренда скользящей средней

Чтобы оценить тренд, сезон сначала «сглаживают». Для квартальных данных берут центрированную скользящую среднюю за период $L = 4$: усреднение по полному году убирает сезонную волну, потому что за четыре квартала пики и провалы взаимно гасятся. Поскольку период чётный, среднюю дополнительно центрируют - усредняют две соседние четырёхквартальные средние, чтобы значение пришлось точно на квартал:

$T_t = \frac{0{,}5\,Y_{t-2} + Y_{t-1} + Y_t + Y_{t+1} + 0{,}5\,Y_{t+2}}{4}.$

Полученный сглаженный ряд $T_t$ и есть оценка тренда: в нём сезонные колебания уже погашены, остаётся плавная линия. Чаще тренд затем аппроксимируют простой функцией - линейной $T_t = a + b\,t$ или параболической - методом наименьших квадратов, чтобы можно было продолжить её в будущее для прогноза.

Рассчитать для своей задачи

Шаг 2. Расчёт сезонных индексов

Когда тренд известен, сезонную компоненту выделяют делением: в мультипликативной модели каждое наблюдение делят на соответствующее значение тренда:

$S_t \cdot E_t = \frac{Y_t}{T_t}.$

Эти отношения группируют по одноимённым кварталам (все первые кварталы вместе, все вторые и так далее) и усредняют - случайная компонента $E_t$ при усреднении гасится, остаётся оценка сезонного индекса для каждого квартала. Последний шаг - нормировка. Сумма сезонных индексов по всем кварталам периода должна равняться числу периодов: для квартальных данных - четырём, для месячных - двенадцати. Если предварительные оценки в сумме дают не ровно 4, их домножают на поправочный коэффициент:

$S_q^{\text{норм}} = S_q \cdot \frac{4}{\sum_{q=1}^{4} S_q}.$

Нормировка гарантирует, что среднегодовой сезонный множитель равен единице, то есть сезон только перераспределяет объём внутри года, не меняя средний уровень ряда. В калькуляторе нижний график показывает эти нормированные индексы: столбики выше единицы - кварталы-пики, ниже - кварталы-спады, а пунктир на уровне 1,0 - среднегодовая норма.

Шаг 3. Восстановление модели и прогноз

Имея уравнение тренда $T_t = a + b\,t$ и сезонные индексы $S_q$, расчётные значения ряда получают обратным перемножением:

$\hat{Y}_t = T_t \cdot S_q.$

Прогноз на будущие периоды строят так же: продолжают линию тренда на нужное число шагов вперёд, вычисляют $T_t$ для будущих кварталов и домножают на сезонный индекс соответствующего квартала. Например, чтобы дать прогноз на весь следующий год, считают тренд для четырёх будущих кварталов и каждый умножают на свой $S_q$. Качество модели оценивают по остаткам $E_t = Y_t / \hat{Y}_t$: чем ближе они к единице, тем точнее модель описывает данные. В калькуляторе прогноз на следующий год показан зелёными ромбами - видно, что сезонная волна продолжается, но смещена вверх или вниз по тренду.

Пример решения типовой задачи

Пусть линейный тренд квартального ряда оценён как $T_t = 100 + 5\,t$, где $t$ - порядковый номер квартала, а нормированные сезонные индексы равны $S_I = 0{,}70$, $S_{II} = 1{,}00$, $S_{III} = 1{,}30$, $S_{IV} = 1{,}00$ (их сумма $0{,}70 + 1{,}00 + 1{,}30 + 1{,}00 = 4{,}00$ - условие нормировки выполнено). Нужно построить прогноз на четыре квартала следующего, четвёртого года, если наблюдения шли три года ($12$ кварталов).

Прогнозные кварталы имеют номера $t = 13, 14, 15, 16$. Считаем тренд для каждого:

$T_{13} = 100 + 5 \cdot 13 = 165, \quad T_{14} = 170, \quad T_{15} = 175, \quad T_{16} = 180.$

Теперь домножаем каждый тренд на сезонный индекс соответствующего квартала:

$\hat{Y}_{13} = 165 \cdot 0{,}70 = 115{,}5; \quad \hat{Y}_{14} = 170 \cdot 1{,}00 = 170;$

$\hat{Y}_{15} = 175 \cdot 1{,}30 = 227{,}5; \quad \hat{Y}_{16} = 180 \cdot 1{,}00 = 180.$

Суммарный прогноз на год равен $115{,}5 + 170 + 227{,}5 + 180 = 693$. Проверка согласованности: средний сезонный множитель прогноза равен $693 / (165 + 170 + 175 + 180) = 693 / 690 \approx 1{,}004$, то есть близок к единице, как и требует нормировка (небольшое отклонение возникает из-за роста тренда внутри года). Калькулятор выше собирает ровно такую цепочку: продолжает тренд, умножает на сезон и показывает прогнозные точки.

Частые ошибки

• Выбор не той модели. Если амплитуда сезона растёт с уровнем ряда, аддитивная модель даст систематически смещённый прогноз. Сначала посмотрите на веер колебаний, потом выбирайте модель.
• Пропуск нормировки сезонных индексов. Сумма индексов по периоду обязана равняться числу сезонов (4 для кварталов, 12 для месяцев). Без поправочного коэффициента средний уровень ряда исказится.
• Сезон в абсолютных единицах. В мультипликативной модели сезонный индекс - безразмерный множитель около единицы, а не прибавка в рублях или штуках. Записывать $S$ в единицах ряда - типичная ошибка.
• Сложение вместо умножения при прогнозе. Прогноз получают как $T_t \cdot S_q$, а не $T_t + S_q$. Сложение - это уже другая, аддитивная модель.
• Нецентрированная скользящая средняя. Для чётного периода (4 или 12) среднюю нужно центрировать, иначе тренд сдвинется на полквартала и сезонные индексы поплывут.

FAQ

Чем мультипликативная модель отличается от аддитивной? В аддитивной компоненты складываются ($Y = T + S + E$), сезон измеряется в единицах ряда и имеет постоянную амплитуду. В мультипликативной компоненты перемножаются ($Y = T \cdot S \cdot E$), сезон - это безразмерный множитель, а абсолютная амплитуда колебаний растёт вместе с трендом.

Почему сумма сезонных индексов должна быть равна 4? Для квартальных данных среднегодовой сезонный множитель обязан равняться единице, иначе сезон смещал бы средний уровень ряда. Сумма четырёх индексов, дающих в среднем 1, равна 4. Для месячных данных по той же логике сумма равна 12.

Как сделать прогноз по мультипликативной модели? Продлите уравнение тренда на нужное число периодов вперёд, вычислите трендовое значение каждого будущего квартала и умножьте его на сезонный индекс соответствующего квартала. Произведение и есть прогноз.

Коротко

Мультипликативная модель временного ряда раскладывает показатель на произведение тренда, сезона и случайного остатка: $Y_t = T_t \cdot S_t \cdot E_t$. Тренд выделяют центрированной скользящей средней, сезонные индексы находят делением ряда на тренд и нормируют к сумме, равной числу сезонов, а прогноз строят как произведение продолженного тренда на сезонный индекс нужного квартала. Эту модель выбирают, когда амплитуда сезонных колебаний растёт вместе с уровнем ряда.