Начальные и центральные моменты случайной величины: формулы

Моменты случайной величины - универсальный язык теории вероятностей: одни и те же числовые характеристики (среднее, разброс, скошенность, «остроту» пика) можно получить из единой формулы, меняя только порядок $k$ и точку отсчёта. Начальные моменты $\nu_k$ считают отклонение от нуля, центральные моменты $\mu_k$ - от математического ожидания, и именно вторая пара учитывает форму распределения, а не его положение на числовой оси. Ниже разберём точные определения, формулы перехода между $\nu_k$ и $\mu_k$, смысл дисперсии, асимметрии и эксцесса как моментов конкретного порядка и решим типовую задачу для дискретной величины. Чтобы сразу увидеть, как вероятности исходов превращаются в набор моментов, покрутите калькулятор ниже - он пересчитывает всё мгновенно.

Что такое начальный момент случайной величины

Начальным моментом $k$-го порядка случайной величины $X$ называют математическое ожидание её $k$-й степени:

$\nu_k = M[X^k].$

Для дискретной случайной величины с исходами $x_i$ и вероятностями $p_i$ сумма считается напрямую:

$\nu_k = \sum_i x_i^k \, p_i,$

а для непрерывной величины с плотностью $f(x)$ - интегрированием:

$\nu_k = \int_{-\infty}^{\infty} x^k f(x)\,dx.$

Первый начальный момент - это и есть математическое ожидание, $\nu_1 = M[X]$. Второй, третий и четвёртый начальные моменты сами по себе не так информативны: они смешивают положение величины на оси (через $\nu_1$) и её разброс относительно среднего. Поэтому для описания формы распределения переходят к центральным моментам.

Что такое центральный момент случайной величины

Центральный момент $k$-го порядка - это начальный момент отклонения $X$ от собственного среднего:

$\mu_k = M\big[(X - M[X])^k\big] = \sum_i (x_i - \nu_1)^k \, p_i.$

Ключевое отличие от начального момента - точка отсчёта. Начальный момент меряет отклонения от нуля, центральный - от математического ожидания $\nu_1$. Отсюда сразу следует тождество, которое стоит запомнить: первый центральный момент всегда равен нулю,

$\mu_1 = M[X - M[X]] = M[X] - M[X] = 0,$

потому что среднее отклонение величины от собственного среднего обязано быть нулевым - иначе это среднее было бы посчитано неверно. Это не частный случай, а тождество для любой случайной величины любого распределения.

Формулы перехода между начальными и центральными моментами

Раскрывая скобку $(X - \nu_1)^k$ по биному Ньютона и применяя линейность математического ожидания, центральные моменты выражают через начальные:

$$\begin{aligned} \mu_2 &= \nu_2 - \nu_1^2, \\ \mu_3 &= \nu_3 - 3\nu_1 \nu_2 + 2\nu_1^3, \\ \mu_4 &= \nu_4 - 4\nu_1 \nu_3 + 6\nu_1^2 \nu_2 - 3\nu_1^4. \end{aligned}$$

В общем виде для любого порядка $k$ формула перехода записывается через биномиальные коэффициенты:

$\mu_k = \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} \nu_1^{\,i} \, \nu_{k-i}.$

На практике эти формулы избавляют от необходимости заново вычислять отклонения от среднего для каждой степени: достаточно один раз найти начальные моменты $\nu_1,\dots,\nu_k$, а дальше подставить их в готовые выражения выше.

Рассчитать для своей задачи

Дисперсия как второй центральный момент

Самый узнаваемый центральный момент - это дисперсия. По определению дисперсия $D[X]$ - это в точности второй центральный момент:

$D[X] = \mu_2 = M\big[(X - M[X])^2\big] = \nu_2 - \nu_1^2.$

Последнее равенство - та самая «рабочая» формула дисперсии через начальные моменты, которую обычно используют в задачах: находят $\nu_1 = M[X]$ и $\nu_2 = M[X^2]$, а дисперсию получают вычитанием квадрата среднего. Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{\mu_2}$ измеряется в тех же единицах, что и сама величина $X$, и именно через него нормируют моменты более высокого порядка, чтобы избавиться от масштаба.

Асимметрия и эксцесс: моменты третьего и четвёртого порядка

Третий и четвёртый центральные моменты описывают форму распределения, но напрямую их сравнивать нельзя - они зависят от единиц измерения $X$. Поэтому их нормируют степенями стандартного отклонения $\sigma$.

Коэффициент асимметрии (skewness) - это нормированный третий центральный момент:

$A_s = \frac{\mu_3}{\sigma^3}.$

Если $A_s > 0$, у распределения более длинный правый хвост (типичные значения меньше среднего, редкие - сильно больше); если $A_s < 0$ - длиннее левый хвост. Для симметричного распределения $A_s = 0$, а третий центральный момент обращается в ноль тождественно.

Эксцесс (kurtosis) - нормированный четвёртый центральный момент, из которого дополнительно вычитают 3:

$E_k = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3.$

Вычитание тройки - это калибровка относительно нормального распределения, для которого $\mu_4/\sigma^4 = 3$, поэтому у нормального распределения $E_k = 0$. Положительный эксцесс означает более острый пик и более тяжёлые хвосты по сравнению с нормальным распределением, отрицательный - более плоскую, «размазанную» форму.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно главное отличие двух семейств моментов: начальный момент всегда меряет расстояние от нуля на оси, центральный - от среднего значения самой величины. Для второго порядка это разница между $M[X^2]$ (сумма квадратов расстояний до нуля) и $D[X]$ (сумма квадратов расстояний до среднего) - второе число всегда не больше первого.

Пример вычисления моментов дискретной величины

Пусть дискретная случайная величина $X$ принимает три значения: $x_1 = -1$ с вероятностью $p_1 = 0{,}2$, $x_2 = 0$ с вероятностью $p_2 = 0{,}5$ и $x_3 = 2$ с вероятностью $p_3 = 0{,}3$. Проверим, что вероятности в сумме дают единицу: $0{,}2+0{,}5+0{,}3=1$ - да.

Сначала находим начальные моменты по определению:

$$\begin{aligned} \nu_1 &= (-1)\cdot 0{,}2 + 0\cdot 0{,}5 + 2\cdot 0{,}3 = 0{,}4, \\ \nu_2 &= 1\cdot 0{,}2 + 0\cdot 0{,}5 + 4\cdot 0{,}3 = 1{,}4, \\ \nu_3 &= (-1)\cdot 0{,}2 + 0\cdot 0{,}5 + 8\cdot 0{,}3 = 2{,}2, \\ \nu_4 &= 1\cdot 0{,}2 + 0\cdot 0{,}5 + 16\cdot 0{,}3 = 5{,}0. \end{aligned}$$

Теперь по формулам перехода находим центральные моменты:

$$\begin{aligned} \mu_2 &= 1{,}4 - 0{,}4^2 = 1{,}24, \\ \mu_3 &= 2{,}2 - 3\cdot 0{,}4\cdot 1{,}4 + 2\cdot 0{,}4^3 = 0{,}648, \\ \mu_4 &= 5{,}0 - 4\cdot 0{,}4\cdot 2{,}2 + 6\cdot 0{,}4^2\cdot 1{,}4 - 3\cdot 0{,}4^4 = 2{,}7472. \end{aligned}$$

Отсюда дисперсия $D[X] = \mu_2 = 1{,}24$, стандартное отклонение $\sigma \approx 1{,}114$. Асимметрия и эксцесс:

$A_s = \frac{0{,}648}{1{,}114^3} \approx 0{,}469, \qquad E_k = \frac{2{,}7472}{1{,}114^4} - 3 \approx -1{,}213.$

Положительная асимметрия согласуется с картиной: правый исход $x_3 = 2$ дальше от среднего, чем левый $x_1 = -1$, а значит правый хвост распределения тяжелее. Отрицательный эксцесс говорит, что пик у этого распределения более плоский, чем у нормального с той же дисперсией - три сосредоточенных исхода дают более «прямоугольную» форму, чем колокол Гаусса. Калькулятор выше меняет $x_3$ и вероятности и сразу пересчитывает обе характеристики - удобно проверить себя на своих числах.

Частые ошибки

• Путают точку отсчёта. Начальный момент - от нуля, центральный - от среднего. Формула $\mu_2 = \nu_2 - \nu_1^2$ работает только в одну сторону: из начальных моментов получают центральные, а не наоборот без учёта знаков в биномиальном разложении.
• Забывают вычесть тройку в эксцессе. Формула $E_k = \mu_4/\sigma^4 - 3$ без вычитания даёт не эксцесс, а просто нормированный четвёртый момент; у нормального распределения он равен трём, а не нулю.
• Считают, что $\mu_1 = 0$ - это совпадение для конкретной задачи. На самом деле первый центральный момент тождественно равен нулю для любой случайной величины: это следствие определения математического ожидания, а не свойство конкретного распределения.
• Путают знак асимметрии с направлением хвоста. Положительная асимметрия означает удлинённый правый хвост, а не то, что справа больше вероятностной массы - масса как раз может быть сосредоточена слева, а хвост тянуться вправо.
• Забывают проверить сумму вероятностей. Если $\sum p_i \neq 1$, все последующие моменты автоматически неверны - эту проверку стоит делать первой, до вычисления $\nu_k$.

FAQ

Чем начальный момент отличается от центрального? Начальный момент $\nu_k = M[X^k]$ считает отклонения от нуля, центральный момент $\mu_k = M[(X-M[X])^k]$ - от математического ожидания самой величины. Для $k=1$ это различие даёт $\nu_1 = M[X]$, но $\mu_1 = 0$ всегда.

Почему дисперсию называют вторым центральным моментом? Потому что по определению $D[X] = M[(X-M[X])^2]$ - это в точности формула центрального момента при $k=2$. Рабочая формула через начальные моменты $D[X] = \nu_2 - \nu_1^2$ получается прямой подстановкой в формулу перехода.

Как найти асимметрию и эксцесс, если известны только начальные моменты? Сначала по формулам перехода находят центральные моменты $\mu_2, \mu_3, \mu_4$ через $\nu_1,\nu_2,\nu_3,\nu_4$, затем делят $\mu_3$ на $\sigma^3$ для асимметрии и $\mu_4$ на $\sigma^4$ с вычитанием 3 для эксцесса, где $\sigma = \sqrt{\mu_2}$.

Коротко

Начальный момент $\nu_k = M[X^k]$ отсчитывается от нуля, центральный момент $\mu_k = M[(X-M[X])^k]$ - от математического ожидания, и между ними есть точные формулы перехода через биномиальные коэффициенты. Второй центральный момент - это дисперсия $D[X] = \nu_2 - \nu_1^2$, третий и четвёртый, нормированные степенями $\sigma$, дают коэффициент асимметрии $A_s = \mu_3/\sigma^3$ и эксцесс $E_k = \mu_4/\sigma^4 - 3$. Первый центральный момент тождественно равен нулю для любой случайной величины - это не совпадение, а прямое следствие определения среднего.