Обобщённые координаты и обобщённые силы: как найти

В теоретической механике декартовы координаты неудобны почти всегда: связи (нити, стержни, поверхности) добавляют уравнения, которые нужно решать вместе с уравнениями движения. Обобщённые координаты снимают эту проблему, а обобщённые силы позволяют работать с реальными силами системы, не расписывая их проекции на оси x и y. Ниже разберём, что такое обобщённая координата, как по принципу виртуальных перемещений находится обобщённая сила, как её проверить через производную потенциальной энергии и как всё это применяется в типовой задаче с грузом на наклонной плоскости. Чтобы сразу увидеть, как меняется обобщённая сила при разных параметрах системы, покрутите калькулятор ниже: он показывает линию Q(x) и параболу потенциальной энергии одновременно.

Что такое обобщённая координата

Обобщённые координаты $q_1, q_2, \dots, q_s$ - это независимые параметры, которые однозначно задают положение (конфигурацию) механической системы с $s$ степенями свободы. В отличие от декартовых координат каждой точки системы, обобщённые координаты выбираются так, чтобы связи выполнялись автоматически: например, для груза, скользящего по наклонной плоскости, достаточно одного числа x - расстояния вдоль плоскости, а не пары чисел x и y с уравнением связи между ними.

Число обобщённых координат всегда равно числу степеней свободы системы. Если тело может свободно двигаться в пространстве, у него шесть степеней свободы (три координаты центра масс и три угла поворота); если оно закреплено на наклонной плоскости и может двигаться только вдоль неё - одна степень свободы, и обобщённая координата тоже одна.

Принцип виртуальных перемещений и обобщённая сила

Обобщённая сила $Q_i$, соответствующая координате $q_i$, определяется через работу реальных сил системы на виртуальном перемещении. Виртуальное перемещение $\delta q_i$ - это воображаемое, бесконечно малое смещение координаты, совместимое со связями и не требующее времени (в отличие от настоящего перемещения за $dt$). Суммарная виртуальная работа всех активных сил записывается через обобщённые координаты так:

$$\delta A = \sum_{i=1}^{s} Q_i \, \delta q_i.$$

Формула читается просто: обобщённая сила $Q_i$ - это коэффициент при $\delta q_i$ в разложении полной виртуальной работы. Если в системе всего одна степень свободы, обобщённая сила находится ещё проще - нужно вычислить виртуальную работу всех сил при смещении $\delta q$ и разделить на само смещение:

$$Q = \frac{\delta A}{\delta q}.$$

Это и есть рабочий рецепт: задайте виртуальное перемещение обобщённой координаты, распишите работу каждой реальной силы (тяжести, пружины, приложенной внешней силы) на этом перемещении, сложите вклады и поделите на $\delta q$.

Рассчитать для своей задачи

Важно: обобщённая сила не обязана быть силой в ньютоновском смысле (в ньютонах). Если обобщённая координата - угол, то соответствующая ей обобщённая сила имеет размерность момента силы (Н·м); размерность $Q_i$ всегда такая, что произведение $Q_i \, \delta q_i$ даёт энергию (Дж).

Пример: груз на наклонной плоскости с пружиной

Возьмём груз массой $m$ на наклонной плоскости с углом $\alpha$. К грузу прикреплена пружина жёсткостью $k$, второй конец которой закреплён в верхней части плоскости; пружина не деформирована в точке $x = 0$. Кроме того, вдоль плоскости к грузу приложена внешняя сила $F$ (направление вниз по плоскости считаем положительным). Обобщённая координата - смещение $x$ груза от точки, где пружина имеет естественную длину.

Дадим координате виртуальное приращение $\delta x$ вниз по плоскости. Работу совершают три силы:

• составляющая силы тяжести вдоль плоскости $mg\sin\alpha$ - работа $mg\sin\alpha \cdot \delta x$;
• сила пружины $-kx$ (пружина тянет назад, к $x = 0$) - работа $-kx \cdot \delta x$;
• внешняя сила $F$ - работа $F \cdot \delta x$.

Складывая и деля на $\delta x$, получаем обобщённую силу:

$$Q(x) = F + mg\sin\alpha - kx.$$

Обобщённая координата здесь одна, поэтому обобщённая сила - не вектор, а обычное скалярное число ньютонов, зависящее от текущего $x$. При $x = 0$ (пружина не растянута) обобщённая сила равна сумме внешней силы и составляющей веса; по мере смещения груза вниз растёт растяжение пружины, и слагаемое $-kx$ всё сильнее тянет систему обратно.

Проверка через потенциальную энергию

Если все силы, входящие в систему, потенциальны (как здесь - тяжесть, пружина и постоянная внешняя сила), обобщённую силу можно получить вторым, независимым способом - через производную потенциальной энергии:

$$Q_i = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}.$$

Для нашей системы потенциальная энергия (тяжести, пружины и работы внешней силы, взятой с обратным знаком) равна:

$$\Pi(x) = -\bigl(F + mg\sin\alpha\bigr)\,x + \frac{1}{2} k x^2.$$

Рассчитать для своей задачи

Дифференцируя $\Pi(x)$ по $x$ и меняя знак, снова получаем $Q(x) = F + mg\sin\alpha - kx$ - оба метода совпадают, и это хороший способ проверить себя в задаче. Точка равновесия системы находится там, где обобщённая сила обращается в нуль:

$$x_{eq} = \frac{F + mg\sin\alpha}{k}.$$

Геометрически это в точности минимум параболы $\Pi(x)$: наклон касательной к графику потенциальной энергии равен $-Q(x)$, поэтому в точке минимума касательная горизонтальна, а обобщённая сила равна нулю.

Устойчивость равновесия

Найти точку, где $Q = 0$, недостаточно - нужно ещё проверить, устойчиво ли это равновесие. Для этого смотрят на вторую производную потенциальной энергии: если $\Pi''(x_{eq}) > 0$ (минимум параболы, как в нашем примере - коэффициент при $x^2$ равен $k/2 > 0$), равновесие устойчиво: при отклонении от $x_{eq}$ обобщённая сила стремится вернуть систему обратно. Если бы вторая производная была отрицательной (максимум потенциальной энергии), равновесие было бы неустойчивым - сколь угодно малое отклонение уводило бы систему всё дальше.

Рассчитать для своей задачи

Системы с несколькими обобщёнными координатами

Если у системы больше одной степени свободы, обобщённая сила становится набором чисел $Q_1, \dots, Q_s$ - по одному на каждую координату. Находят их поочерёдно: дают виртуальное приращение только одной координате, остальные фиксируют неизменными, считают работу реальных сил на этом единственном перемещении и делят на него. Например, для тележки с маятником обобщёнными координатами обычно берут смещение тележки $x$ и угол отклонения маятника $\theta$; обобщённая сила по $x$ включает внешнюю силу, приложенную к тележке, а обобщённая сила по $\theta$ - только момент силы тяжести маятника, поскольку сила, приложенная к тележке, не совершает работы при повороте маятника с фиксированным $x$. Эта независимость обобщённых сил друг от друга - прямое следствие независимости самих обобщённых координат.

Частые ошибки

• Путают обобщённую силу с проекцией реальной силы на ось. Обобщённая сила - коэффициент при $\delta q_i$ в разложении виртуальной работы, а не проекция вектора силы на направление координатной оси; в общем случае эти величины разные.
• Забывают про силы реакции связей. Если координата выбрана правильно (связь учтена в самом выборе $q_i$), силы реакции идеальных связей не совершают работы на виртуальном перемещении и в обобщённую силу не входят - их не нужно искать отдельно.
• Путают знак составляющей силы тяжести. Направление, в котором считается положительным приращение $\delta q$, нужно фиксировать заранее и последовательно проецировать на него все силы - иначе легко потерять минус.
• Не проверяют результат вторым способом. Если система потенциальна, всегда стоит сверить обобщённую силу, найденную через виртуальную работу, с производной $-\partial \Pi/\partial q_i$ - расхождение сразу указывает на ошибку в одном из выводов.
• Путают размерность обобщённой силы. Для угловой координаты обобщённая сила имеет размерность момента, а не силы в ньютонах - подстановка чисел без учёта размерности даёт бессмысленный результат.

FAQ

Чем обобщённая сила отличается от обычной силы? Обычная сила - вектор в декартовых координатах. Обобщённая сила $Q_i$ - скалярный коэффициент при виртуальном перемещении $\delta q_i$ в выражении для виртуальной работы; она может иметь размерность силы, момента или чего-то ещё, в зависимости от размерности координаты $q_i$.

Как найти обобщённую силу, если система потенциальна? Составьте потенциальную энергию системы как функцию обобщённых координат и возьмите частную производную с обратным знаком: $Q_i = -\partial \Pi/\partial q_i$. Это быстрее, чем расписывать виртуальную работу каждой силы по отдельности.

Может ли обобщённая сила быть равна нулю не только в равновесии? Да, в отдельной точке $Q_i = 0$ может обращаться в ноль и без общего равновесия системы (для одной координаты из нескольких) - устойчивое равновесие всей системы требует одновременного обнуления всех обобщённых сил и положительной определённости второй производной потенциальной энергии.

Коротко

Обобщённые координаты - независимые параметры, задающие конфигурацию системы с учётом связей. Обобщённая сила $Q_i$ находится через принцип виртуальных перемещений как коэффициент при $\delta q_i$ в разложении виртуальной работы реальных сил, а для потенциальных систем - как $-\partial \Pi/\partial q_i$. Точка равновесия соответствует нулю обобщённой силы и экстремуму потенциальной энергии; устойчивость определяется знаком второй производной. В системах с несколькими степенями свободы обобщённые силы находят по очереди, варьируя каждую координату при фиксированных остальных.