Обратное дискретное преобразование Фурье: формула и пример

Обратное дискретное преобразование Фурье (сокращённо ОДПФ, в англоязычной литературе IDFT) решает задачу, обратную обычному ДПФ: по набору спектральных коэффициентов $X_m$ восстановить дискретные отсчёты сигнала $x_n$ во времени. Если прямое ДПФ раскладывает конечную последовательность на сумму гармоник, то обратное собирает её обратно, причём делает это точно, без потерь и округлений, если считать по формуле честно. Ниже разберём саму формулу, зачем в ней нужна нормировка на $N$, почему спектр обязан быть комплексно-сопряжённо симметричным для вещественного сигнала и как эти правила выглядят в конкретных числах. Чтобы сразу увидеть, как спектр из двух-трёх ненулевых бинов превращается в дискретный сигнал, покрутите калькулятор ниже.

Что такое обратное дискретное преобразование Фурье

Прямое ДПФ переводит последовательность из $N$ отсчётов $x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}$ в набор из $N$ комплексных спектральных коэффициентов $X_0, X_1, \ldots, X_{N-1}$:

$$X_m = \sum_{n=0}^{N-1} x_n\, e^{-i \cdot 2\pi m n / N}.$$

Обратное преобразование делает ровно противоположный шаг и восстанавливает исходные отсчёты по спектру:

$$x_n = \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X_m\, e^{i \cdot 2\pi m n / N}, \qquad n = 0, \ldots, N-1.$$

Формулы почти зеркальны: меняется знак в экспоненте (у прямого преобразования минус, у обратного плюс) и появляется множитель $1/N$. Именно этот множитель гарантирует, что если сначала применить прямое ДПФ, а затем обратное, получится исходная последовательность без искажений - операция действительно обратима. Оба преобразования работают с одним и тем же числом точек $N$: спектр обратного ДПФ имеет столько же бинов, сколько отсчётов было у исходного сигнала.

Формула ОДПФ и роль номера гармоники k

Каждое слагаемое суммы $X_m\, e^{i \cdot 2\pi m n / N}$ - это отдельная гармоника: комплексная экспонента, которая за один полный проход $n = 0, \ldots, N-1$ совершает ровно $m$ полных оборотов по единичной окружности. Коэффициент $X_m$ задаёт её вклад - амплитуду и фазу. Если ненулевой всего один бин $m = k$ (и его сопряжённая пара $m = N-k$, о которой ниже), сигнал получается предельно простым: чистое гармоническое колебание с периодом

$$T = \frac{N}{\gcd(N, k)}$$

отсчётов. Чем больше $k$ относительно $N$, тем чаще сигнал успевает колебнуться на одном и том же окне из $N$ точек - ровно та же логика, что и в непрерывном ряде Фурье, только гармоники здесь дискретные и их конечное число.

Рассчитать для своей задачи

Симметрия спектра и почему сигнал остаётся вещественным

Важное правило: если исходный сигнал $x_n$ вещественный (а почти все физические сигналы такие), его спектр обязан быть комплексно-сопряжённо симметричным:

$$X_{N-m} = \overline{X_m}$$

для всех $m$. Смысл в том, что каждая гармоника $X_k\, e^{i \cdot 2\pi k n/N}$ и её пара $X_{N-k}\, e^{i \cdot 2\pi (N-k) n/N} = \overline{X_k}\, e^{-i \cdot 2\pi k n/N}$ при сложении дают удвоенную вещественную часть, а мнимые части этих двух слагаемых взаимно уничтожаются. Если же в спектре заполнить только один бин $X_k$ без его сопряжённой пары, обратное ДПФ честно вернёт результат по формуле - но этот результат окажется комплексным, с ненулевой мнимой частью на каждом отсчёте. Это не ошибка алгоритма, а прямое следствие того, какой спектр был подан на вход: обратное преобразование не проверяет и не навязывает симметрию само, за физическую осмысленность результата отвечает тот, кто строит спектр.

Рассчитать для своей задачи

Как читать спектр: от бинов к отсчётам

Каждый бин спектра $X_m$ - это одно комплексное число, которое обычно удобно представлять парой вещественная-мнимая часть или парой амплитуда-фаза. При восстановлении сигнала подавляющее большинство бинов в учебных задачах равны нулю: ненулевыми оказываются только несколько «рабочих» частот, которые и определяют форму сигнала. Бин $m = 0$ отвечает за постоянную составляющую (среднее значение сигнала по всем $N$ отсчётам) - это единственный бин, у которого экспонента $e^{i \cdot 2\pi \cdot 0 \cdot n/N}$ равна единице при любом $n$, поэтому его вклад в каждый отсчёт одинаков.

Рассчитать для своей задачи

Пример полного расчёта

Возьмём $N = 16$ отсчётов и спектр, в котором ненулевые только бины $X_2 = 8$ и $X_{14} = 8$ (напомним, $14 = N - 2$, это ровно сопряжённая пара), постоянная составляющая $X_0 = 0$. По формуле ОДПФ:

$$x_n = \frac{1}{16}\left(X_2\, e^{i \cdot 2\pi \cdot 2 n / 16} + X_{14}\, e^{i \cdot 2\pi \cdot 14 n / 16}\right) = \frac{8}{16}\left(e^{i\pi n/4} + e^{-i\pi n/4}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi n}{4}\right).$$

Мнимые части двух слагаемых сократились, как и требует симметрия спектра, и осталась чистая вещественная косинусоида. Подставляя конкретные $n$, получаем $x_0 = 1$, $x_1 \approx 0{,}7071$, $x_2 = 0$, $x_3 \approx -0{,}7071$, $x_4 = -1$ - и дальше значения повторяются с периодом $T = 16/\gcd(16, 2) = 8$ отсчётов, то есть ровно два полных периода укладываются в окно из 16 точек. Если вместо второго бина взять несимметричный вариант - заполнить только $X_2 = 16$ без пары в $X_{14}$, - тот же расчёт даст $x_n = e^{i\pi n/4}$: те же вещественные части, но с ненулевой мнимой добавкой $\sin(\pi n/4)$ на каждом отсчёте. Оба варианта можно проверить в калькуляторе выше, переключая режим симметрии.

Частые ошибки

• Забыть множитель $1/N$. Без нормировки результат окажется в $N$ раз больше исходного сигнала - это самая частая арифметическая ошибка при расчёте вручную.
• Перепутать знак в экспоненте. У прямого ДПФ в показателе экспоненты стоит минус, у обратного - плюс. Спутать их - значит вместо восстановления сигнала снова получить его спектр (с точностью до масштаба).
• Заполнить спектр без сопряжённой пары. Если ожидается вещественный сигнал, а бин $X_{N-k}$ забыт или обнулён, обратное ДПФ вернёт комплексный результат - и это не баг формулы, а следствие неверно заданного входа.
• Перепутать индекс сопряжённого бина. Сопряжённая пара для $X_k$ - это $X_{N-k}$, а не $X_{-k}$ и не $X_{N-k+1}$: индексы спектра берутся по модулю $N$.
• Путать номер бина $m$ с частотой в герцах. Бин $m$ соответствует физической частоте $f = m \cdot f_s / N$, где $f_s$ - частота дискретизации; без этого пересчёта числа из формулы ОДПФ не переносятся напрямую в физические единицы.

FAQ

Чем обратное ДПФ отличается от прямого по формуле? Знаком в показателе экспоненты (у обратного - плюс, у прямого - минус) и множителем $1/N$, который стоит только в обратном преобразовании. Число слагаемых и диапазон индексов $0, \ldots, N-1$ одинаковы у обеих формул.

Почему после прямого и обратного ДПФ подряд получается исходный сигнал? Потому что суммарный эффект двух преобразований - это умножение на единичную матрицу с точностью до нормировки: экспоненты при прямом и обратном преобразовании взаимно уничтожают вклад всех бинов, кроме совпадающего с исходным индексом, а множитель $1/N$ как раз это уравновешивает.

Может ли обратное ДПФ дать комплексный сигнал? Да, если входной спектр не удовлетворяет условию сопряжённой симметрии $X_{N-m} = \overline{X_m}$. Для реальных задач, где нужен вещественный результат, спектр всегда строят симметричным; в остальных случаях комплексный ответ - ожидаемое, а не ошибочное поведение формулы.

Зависит ли обратное ДПФ от алгоритма БПФ? Нет, БПФ (быстрое преобразование Фурье) - это лишь быстрый способ вычислить ту же сумму за $O(N \log N)$ операций вместо $O(N^2)$ при прямом суммировании. Результат обратного БПФ совпадает с результатом прямого суммирования по формуле ОДПФ с точностью до ошибок округления.

Коротко

Обратное дискретное преобразование Фурье восстанавливает $N$ отсчётов сигнала по $N$ спектральным коэффициентам по формуле $x_n = \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X_m\, e^{i \cdot 2\pi m n/N}$. Номер бина $k$ задаёт период получившегося колебания $T = N/\gcd(N,k)$ отсчётов, а сопряжённая симметрия спектра $X_{N-m} = \overline{X_m}$ - необходимое условие вещественности результата. Забытая нормировка на $N$, перепутанный знак экспоненты и нарушенная симметрия спектра - три самые частые причины, по которым ручной расчёт ОДПФ расходится с ожидаемым ответом.