Полный резерв времени работы сетевого графика: формула

Полный резерв времени работы - это запас, на который можно сдвинуть начало или растянуть длительность конкретной работы сетевого графика, не отодвигая при этом срок завершения всего проекта. Понятие возникает в сетевом планировании и управлении (СПУ), когда график уже построен и посчитаны ранние и поздние времена событий: остаётся спросить не «когда наступит событие», а «сколько свободы есть у конкретной работы». Ниже разберём точную формулу полного резерва, отличие от свободного резерва той же работы и разберём числовой пример на сети из шести работ, где у одной из них резерв оказывается неожиданно большим. Чтобы сразу увидеть, как резерв меняется при других длительностях, покрутите калькулятор ниже - он выполняет прямой и обратный проход мгновенно и подставляет числа в формулу для выбранной работы.

Что такое полный резерв времени работы

Каждая работа $(i,j)$ сетевого графика соединяет начальное событие $i$ и конечное событие $j$ и занимает время $t(i,j)$. Раннее время события $i$ - это $t_р(i)$, самый ранний момент, когда все предшествующие работы уже завершены и работа $(i,j)$ может начаться. Позднее время события $j$ - это $t_п(j)$, самый поздний момент, к которому событие $j$ обязано наступить, чтобы не сорвать срок всего проекта.

Полный резерв работы $(i,j)$ отвечает на вопрос: сколько времени есть у этой работы между самым ранним возможным стартом и самым поздним допустимым финишем сверх её собственной длительности. Если этот запас больше нуля, работу можно начать позже расчётного срока, растянуть, или разбить паузой - и на общий срок проекта это не повлияет. Если запас равен нулю, у работы нет свободы вообще: любая задержка немедленно сдвигает финиш проекта. Такие работы образуют критический путь - самую длинную по времени цепочку от старта к финишу.

Формула полного резерва

Полный резерв времени работы $(i,j)$ вычисляется по формуле:

$R_п(i,j) = t_п(j) - t_р(i) - t(i,j),$

где $t_п(j)$ - позднее время конечного события работы, $t_р(i)$ - раннее время её начального события, а $t(i,j)$ - длительность самой работы. Смысл вычитания прозрачен: из всего временного окна, доступного между ранним стартом $t_р(i)$ и поздним финишем $t_п(j)$, вычитается время, которое работа реально занимает, - остаток и есть резерв.

Рассчитать для своей задачи

Прямой проход считает $t_р(i)$ для каждого события от старта к финишу: $t_р(i) = \max$ по всем входящим работам от суммы раннего времени предшественника и длительности этой работы. Обратный проход считает $t_п(j)$ от финиша к старту: $t_п(i) = \min$ по всем исходящим работам от разности позднего времени преемника и длительности работы, ведущей к нему. Оба прохода нужно выполнить один раз для всей сети, а дальше формула резерва подставляет уже готовые числа $t_р$ и $t_п$ для конкретной пары событий.

⚠️ Важное отличие полного резерва работы от резерва события: событие $i$ имеет собственный резерв $R(i) = t_п(i) - t_р(i)$, но обнуление резервов ОБОИХ событий работы не гарантирует, что резерв самой работы тоже нулевой - подробный разбор этого нюанса и полный расчёт критического пути на графике из восьми работ есть в статье про расчёт критического пути сетевого графика. Здесь же формула $R_п(i,j) = 0$, применённая прямо к работе, - точный и достаточный критерий критичности без всяких оговорок.

Числовой пример на сети из шести работ

Возьмём сеть с пятью событиями (0 - старт, 4 - финиш) и шестью работами:

Работа E нарочно проведена «в обход»: она ведёт из события 1 сразу в финишное событие 4, минуя событие 3. Такая диагональ - типичный источник большого резерва: у неё нет обязанности укладываться в цепочку через D и F.

Прямой проход: $t_р(0)=0$, $t_р(1)=5$ (через A), $t_р(2)=3$ (через B), $t_р(3)=\max(5+4,\,3+8)=\max(9,11)=11$ (через D), $t_р(4)=\max(5+6,\,11+5)=\max(11,16)=16$ (через F). Значит, срок проекта $T_{кр}=16$ дней, и на финиш ведёт цепочка B-D-F.

Обратный проход от $t_п(4)=16$: $t_п(3)=16-5=11$, $t_п(1)=\min(11-4,\,16-6)=\min(7,10)=7$, $t_п(2)=11-8=3$, $t_п(0)=\min(7-5,\,3-3)=0$ - совпало с $t_р(0)$, значит расчёт согласован.

Рассчитать для своей задачи

Теперь подставим числа в формулу резерва для работы E: $R_п(E) = t_п(4) - t_р(1) - t(E) = 16 - 5 - 6 = 5$ дней. Для сравнения, у работы A: $R_п(A) = t_п(1) - t_р(0) - t(A) = 7 - 0 - 5 = 2$ дня, у работы C: $R_п(C) = t_п(3) - t_р(1) - t(C) = 11 - 5 - 4 = 2$ дня. А у работ B, D и F резерв равен нулю - это и есть критический путь длиной 16 дней.

Что означает резерв в 5 дней для работы E

Резерв $R_п(E) = 5$ дней не означает «работа E не важна» - он означает конкретную управленческую свободу: работу E можно начать на 5 дней позже расчётного раннего срока, или растянуть её длительность на те же 5 дней, или разбить паузой суммарно в 5 дней - и ни один из этих вариантов не сдвинет финиш проекта. Это ценный ресурс при нехватке людей или оборудования: если исполнитель работы E нужен ещё где-то, его можно временно перебросить на критическую работу, а к E вернуться позже, оставаясь в пределах резерва.

Рассчитать для своей задачи

Здесь же скрыта ловушка: резерв в 5 дней принадлежит РАБОТЕ E целиком, а не событию 1, из которого она выходит. Из события 1 выходит ещё работа C со своим резервом (2 дня), рассчитанным по той же формуле, но с другим $t_п$ конечного события. Если задержать само событие 1 (а не одну работу), это «съедает» резерв сразу обеих исходящих работ одновременно - за этим нужно следить отдельно.

Полный резерв vs свободный резерв

Полный резерв $R_п(i,j) = t_п(j) - t_р(i) - t(i,j)$ отвечает на вопрос «на сколько можно сдвинуть работу, не срывая срок всего проекта». Рядом с ним существует свободный резерв:

$R_{св}(i,j) = t_р(j) - t_р(i) - t(i,j),$

который использует РАННЕЕ время конечного события $t_р(j)$ вместо позднего $t_п(j)$. Свободный резерв отвечает на более осторожный вопрос: «на сколько можно сдвинуть работу, не сдвигая ранний срок ни одного последующего события». Поскольку $t_р(j) \le t_п(j)$ всегда, свободный резерв никогда не превышает полный: $R_{св}(i,j) \le R_п(i,j)$. Для работы E в нашем примере событие 4 - финишное, поэтому $t_р(4) = t_п(4) = 16$ и оба резерва совпадают: $R_{св}(E) = 16 - 5 - 6 = 5$. А вот для работы C, ведущей в промежуточное событие 3, $R_{св}(C) = t_р(3) - t_р(1) - t(C) = 11 - 5 - 4 = 2$ - тоже совпадает с полным здесь, потому что в событие 3 сходятся C и D, и обе используют его целиком. Расхождение между резервами становится заметным на более разветвлённых сетях - иногда полный резерв большой, а свободный равен нулю, потому что растягивание работы, даже не срывая общий финиш, всё равно сдвигает ранний старт следующей.

Частые ошибки

• Подстановка позднего времени начального события вместо раннего. В формуле $R_п(i,j) = t_п(j) - t_р(i) - t(i,j)$ для события $i$ берётся именно РАННЕЕ время $t_р(i)$, а не позднее $t_п(i)$ - перепутав их, получите заниженный или отрицательный резерв.
• Путаница полного резерва со свободным. Полный резерв использует $t_п(j)$ конечного события, свободный - $t_р(j)$. Это разные числа и разный управленческий смысл, подменять одно другим нельзя.
• Резерв работы через резервы обоих её событий. Обнуление резервов событий $i$ и $j$ - необходимое, но не всегда достаточное условие критичности самой работы; надёжнее считать $R_п(i,j)$ напрямую по формуле, а не выводить его из резервов событий.
• Забытый обратный проход. Без вычисленного $t_п(j)$ полный резерв найти невозможно - обратный проход от финишного события к стартовому обязателен, даже если интересует только одна работа в середине сети.
• Отрицательный резерв как «нормальный» результат. Если расчёт даёт $R_п(i,j) < 0$, это признак ошибки в построении сети или в длительностях, а не законный случай - при корректных данных полный резерв не бывает отрицательным.

FAQ

Может ли полный резерв работы быть больше резерва события, из которого она выходит? Нет, для работы, выходящей из события $i$, резерв работы ограничен резервом события: $R_п(i,j) \le R(i) + (t_п(j) - t_п(i))$, а на практике полный резерв работы всегда согласован с резервами обоих её событий - он не может «превысить» свободу, доступную сети в целом.

Что происходит с полным резервом при увеличении длительности критической работы? Ничего не остаётся нулевым - весь проект удлиняется на ту же величину, потому что у критической работы $R_п = 0$ и расти ей некуда: любое увеличение $t(i,j)$ немедленно сдвигает $t_р$ следующих событий и финишный срок.

Зачем вообще считать полный резерв, если известен критический путь? Критический путь показывает, ГДЕ нет свободы, а полный резерв - ЧТО делать с оставшимся временем: перераспределять ресурсы между некритическими работами, сдвигать их без риска для срока и находить дополнительный запас на случай накладок.

Коротко

Полный резерв времени работы сетевого графика вычисляется по формуле $R_п(i,j) = t_п(j) - t_р(i) - t(i,j)$: из окна между ранним стартом и поздним финишем работы вычитается её собственная длительность. Резерв, равный нулю, означает критическую работу без права на задержку; резерв больше нуля - управленческий запас, который можно расходовать на сдвиг сроков или перераспределение ресурсов. Полный резерв отличается от свободного тем, что использует позднее, а не раннее время конечного события, и потому никогда не меньше свободного резерва той же работы.