Прецессия перигелия Меркурия: формула ОТО

Орбита Меркурия по Ньютону должна быть неподвижным эллипсом: планета раз за разом проходит через одну и ту же точку максимального сближения со звездой, перигелий. На деле перигелий Меркурия медленно смещается вперёд по ходу орбитального движения, и часть этого смещения долгое время не поддавалась объяснению никакими комбинациями возмущений от других планет. Именно эта скромная невязка, около 43 угловых секунд за столетие, стала одним из первых количественных подтверждений общей теории относительности. Ниже разберём, откуда берётся аномалия, как из уравнений Эйнштейна выводится формула прецессии и как её посчитать для конкретных параметров орбиты. Калькулятор ниже уже считает эту формулу: задай большую полуось, эксцентриситет и массу звезды, и увидишь угол сдвига перигелия за оборот и за столетие сразу на схеме орбиты и на шкале.

Что такое прецессия перигелия

В задаче двух тел с чисто ньютоновским законом тяготения $F = GMm/r^2$ орбита планеты представляет собой замкнутый эллипс: большая ось эллипса не меняет направление от оборота к обороту, а перигелий каждый раз оказывается в одной и той же точке пространства. Прецессия перигелия - это отклонение от этой идеальной картины: линия апсид (прямая через перигелий и афелий) медленно поворачивается в плоскости орбиты, и с каждым оборотом перигелий сдвигается на небольшой угол $\Delta\varphi$ в направлении движения планеты. Такой сдвиг накапливается год за годом, и за достаточно долгое время его можно измерить с высокой точностью, даже если за один оборот он исчезающе мал.

Аномалия Леверье: 5600 против 5557 угловых секунд

Наблюдаемая скорость прецессии перигелия Меркурия составляет около 5600 угловых секунд за столетие. Подавляющая часть этой величины, примерно 5557 угловых секунд, прекрасно объясняется чисто ньютоновской механикой: другие планеты, прежде всего массивный Юпитер, гравитационно возмущают орбиту Меркурия и заставляют её медленно поворачиваться. В 1859 году французский астроном Урбен Леверье, уже прославившийся предсказанием Нептуна по возмущениям орбиты Урана, тщательно пересчитал все известные возмущения и обнаружил остаток около 38-43 угловых секунд за век, который не укладывался ни в одну ньютоновскую схему. Леверье предположил, что причина в неизвестной планете внутри орбиты Меркурия, гипотетическом Вулкане, но никаких надёжных наблюдений такого тела так и не нашли.

Как Эйнштейн объяснил необъяснённый остаток

Решение пришло только в 1915 году, когда Альберт Эйнштейн применил свою только что завершённую общую теорию относительности к задаче о движении планеты в поле тяготения звезды. Оказалось, что уравнения ОТО в первом приближении по слабости поля дают орбиту, которая остаётся почти эллиптической, но с дополнительным членом в эффективном потенциале, который и заставляет перигелий смещаться на строго определённый угол за оборот. Подставив параметры орбиты Меркурия, Эйнштейн получил около 43 угловых секунд за столетие, ровно ту величину, которую не могла объяснить ньютоновская механика. Это совпадение было не подгонкой: формула не содержала ни одного свободного параметра, подобранного под ответ, и стала одной из трёх классических проверок общей теории относительности наряду с отклонением света у Солнца и гравитационным красным смещением.

Формула прецессии перигелия

Релятивистская добавка к углу поворота перигелия за один оборот вычисляется по формуле:

$\Delta\varphi = \frac{6\pi G M}{c^2 a (1-e^2)},$

где $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса центрального тела (звезды), $c$ - скорость света, $a$ - большая полуось орбиты, $e$ - эксцентриситет орбиты. Формула получается из решения Шварцшильда для движения пробного тела в поле точечной массы: релятивистская поправка к ньютоновскому потенциалу $-GM/r$ добавляет слагаемое порядка $1/r^3$, из-за которого орбита перестаёт быть замкнутым эллипсом и превращается в медленно вращающуюся розетку. Обратите внимание, что угол не зависит ни от массы самой планеты, ни от направления её движения: только от массы центрального тела и геометрии орбиты.

Рассчитать для своей задачи

Период обращения и переход к секундам за столетие

Формула выше даёт угол за один оборот, а исторически и в задачах прецессию принято измерять в угловых секундах за столетие. Чтобы перейти от одного к другому, нужен период обращения планеты $T$, который для орбиты вокруг звезды массой $M$ находится из третьего закона Кеплера:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}.$

Зная период в сутках, легко посчитать, сколько оборотов планета совершает за 100 юлианских лет (36525 суток), и умножить на сдвиг за один оборот:

$\Delta\varphi_{100} = \Delta\varphi \cdot \frac{36525}{T}.$

Для Меркурия при $a = 0{,}387$ а.е., $e = 0{,}2056$ и массе Солнца период составляет около 88 суток, то есть за столетие планета успевает сделать порядка 415 оборотов. Именно поэтому даже крошечный угол в 0,1 угловой секунды за оборот превращается в заметные и измеримые 43 секунды за век.

Рассчитать для своей задачи

Сравнение с другими планетами Солнечной системы

Формула прецессии зависит от большой полуоси в знаменателе, поэтому эффект быстро убывает с удалением от Солнца: чем дальше планета, тем слабее релятивистская добавка и тем реже она успевает накопиться за век из-за большего периода обращения. У Меркурия, самой близкой к Солнцу и одной из самых эксцентричных орбит среди больших планет, оба фактора работают на увеличение эффекта, поэтому именно на нём аномалия впервые была замечена.

Рассчитать для своей задачи

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: планета обращается вокруг звезды массой $M = 1{,}989 \cdot 10^{30}$ кг (масса Солнца) по орбите с большой полуосью $a = 5{,}79 \cdot 10^{10}$ м и эксцентриситетом $e = 0{,}2056$. Найдите угол релятивистской прецессии перигелия за один оборот и за столетие.

Сначала считаем произведение $GM$:

$GM = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{,}989 \cdot 10^{30} \approx 1{,}327 \cdot 10^{20}\ \text{м}^3/\text{с}^2.$

Подставляем в формулу прецессии:

$\Delta\varphi = \frac{6\pi \cdot 1{,}327 \cdot 10^{20}}{(3 \cdot 10^8)^2 \cdot 5{,}79 \cdot 10^{10} \cdot (1 - 0{,}2056^2)} \approx 5{,}02 \cdot 10^{-7}\ \text{рад}.$

Переводим радианы в угловые секунды (1 рад = 206264,8″):

$\Delta\varphi \approx 5{,}02\cdot10^{-7} \cdot 206264{,}8 \approx 0{,}1035$

Это 0,1035 угловой секунды за один оборот.

Теперь находим период обращения по третьему закону Кеплера и число оборотов за 100 лет:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}} \approx 87{,}97\ \text{сут}, \qquad \frac{36525}{87{,}97} \approx 415{,}2\ \text{оборота}.$

Итоговая прецессия за столетие:

$\Delta\varphi_{100} \approx 0{,}1035 \cdot 415{,}2 \approx 42{,}98$

То есть около 42,98″ за столетие (при более точных константах формула даёт стандартное значение 42,98″/век).

Это и есть та самая величина, которая замкнула аномалию Леверье: 5557 угловых секунд от возмущений других планет плюс 43 угловых секунды от общей теории относительности дают наблюдаемые 5600 угловых секунд за столетие.

Частые ошибки

• Подстановка радиуса вместо большой полуоси. В формулу входит именно большая полуось эллипса $a$, а не мгновенное расстояние до звезды и не радиус круговой орбиты.
• Забытый множитель $(1-e^2)$ в знаменателе. Для круговой орбиты ($e = 0$) он равен единице, но для эксцентричной орбиты Меркурия он заметно меньше единицы и увеличивает эффект.
• Путаница между углом за оборот и углом за столетие. Формула $\Delta\varphi = 6\pi GM / (c^2 a(1-e^2))$ даёт сдвиг именно за один оборот; для перевода в секунды за век обязательно нужен период обращения.
• Смешивание релятивистской и ньютоновской частей прецессии. Возмущения от других планет (около 5557″/век для Меркурия) считаются отдельно, методами небесной механики, и не выводятся из формулы ОТО.
• Забытая единица измерения массы. Масса центрального тела должна быть в килограммах при использовании $G$ в системе СИ, а не в массах Солнца, если это явно не учтено в формуле.

FAQ

Почему прецессия перигелия Меркурия так важна для проверки общей теории относительности? Потому что это был первый количественный тест ОТО на реальных астрономических данных: формула без подгоночных параметров дала именно ту величину (около 43 угловых секунд за век), которая оставалась необъяснённой в рамках ньютоновской механики почти 60 лет.

Зависит ли релятивистская прецессия от массы самой планеты? Нет. Формула $\Delta\varphi = 6\pi GM/(c^2 a(1-e^2))$ содержит только массу центрального тела, большую полуось и эксцентриситет орбиты; масса обращающегося тела в неё не входит, как и в задаче Кеплера.

Почему у Меркурия прецессия больше, чем у других планет Солнечной системы? Потому что Меркурий ближе всего к Солнцу (малая большая полуось увеличивает эффект через знаменатель формулы) и имеет один из самых больших эксцентриситетов среди больших планет, а короткий период обращения даёт много оборотов за столетие, за которые эффект успевает накопиться.

Коротко

Прецессия перигелия Меркурия, около 5600 угловых секунд за столетие по наблюдениям, на 5557 угловых секунд объясняется ньютоновскими возмущениями от других планет, а оставшиеся примерно 43 угловые секунды даёт релятивистская добавка $\Delta\varphi = 6\pi GM/(c^2 a(1-e^2))$ за оборот, помноженная на число оборотов за век. Это один из первых и самых красивых количественных тестов общей теории относительности: формула без подгоночных параметров точно закрыла давнюю астрономическую загадку.