Представление чисел в обратном коде: перевод и формула

Обратный код (ones complement) - один из трёх школьных и вузовских способов хранить знак целого числа в двоичной записи, наряду с прямым и дополнительным кодом. Идея простая: положительные числа записываются как обычно, а у отрицательного числа инвертируют (меняют на противоположные) все разряды, кроме знакового. Это промежуточный шаг к дополнительному коду, которым реально пользуются процессоры, но именно на обратном коде удобнее всего понять, откуда берётся правило «прибавить единицу» и почему у нуля в такой арифметике целых два представления. Ниже разберём точную формулу перевода, диапазон значений и то, как в обратном коде складывают числа - через циклический (end-around) перенос. Покрути калькулятор ниже: он показывает прямой и обратный код по разрядам, а в режиме сложения - сам перенос из знакового разряда обратно в младший.

Зачем нужен обратный код

Самый наивный способ хранить знак - прямой код: взять двоичную запись модуля числа и добавить впереди один разряд-флаг (0 - плюс, 1 - минус). У прямого кода сразу два неудобства. Во-первых, ноль получает два разных представления: $00000000_2$ (+0) и $10000000_2$ (−0), которые формально различаются, хотя по смыслу это одно и то же число. Во-вторых, для сложения разнознаковых чисел в прямом коде нужна отдельная схема вычитания - нельзя просто сложить разряды столбиком, как для положительных чисел.

Обратный код решает вторую проблему лишь частично: сложение уже можно делать обычным двоичным сложением, но с оговоркой про перенос из старшего разряда (см. ниже), а два представления нуля остаются. Именно поэтому в реальных процессорах используется дополнительный код - но обратный код исторически и методически важен: он показывает, что «отрицательное число» - это просто другой двоичный узор, полученный по чёткому правилу, а не какая-то особая сущность.

Как перевести число в обратный код

Правило перевода короткое. Пусть разрядность слова - $N$ бит, старший разряд - знаковый.

• Если число $X \ge 0$, обратный код совпадает с прямым: знаковый разряд 0, а остальные $N-1$ разрядов - обычная двоичная запись $X$.
• Если $X < 0$, знаковый разряд становится 1, а все $N-1$ разрядов модуля инвертируются: каждый 0 меняется на 1, а каждая 1 - на 0.

Рассчитать для своей задачи

Есть и более компактная формулировка того же правила: обратный код отрицательного числа - это дополнение модуля числа до «всех единиц». Если $U$ - то число, которое получится, если прочитать все $N$ разрядов обратного кода как обычное беззнаковое двоичное число, то

$U = (2^N - 1) - |X| \qquad (X < 0).$

Возьмём $X = -47$ при $N = 8$: модуль $|X| = 47$, а $2^8 - 1 = 255$. Тогда $U = 255 - 47 = 208$, что в двоичной записи даёт $11010000_2$ - это и есть обратный код числа $-47$ в 8 битах. Прямой код того же числа - $10101111_2$: сравните разряды и увидите, что все семь младших разрядов действительно инвертированы, а знаковый остался 1.

Диапазон значений и два нуля

Обратный код с $N$-битным словом хранит только $N - 1$ разряд под модуль числа, поэтому диапазон значений симметричный:

$-(2^{N-1} - 1) \;\le\; X \;\le\; 2^{N-1} - 1.$

Для 8 бит это от $-127$ до $+127$, для 4 бит - от $-7$ до $+7$, для 16 бит - от $-32767$ до $+32767$. Симметрия - прямое следствие того, что оба крайних кода, $00\ldots0$ и $11\ldots1$, кодируют одно и то же значение - ноль: «плюс ноль» и «минус ноль».

Рассчитать для своей задачи

Наличие двух нулей - не просто теоретическая странность: при сравнении кодов на равенство нулю схема должна проверять оба варианта, а свободный код $11\ldots1$ означает, что из $2^N$ возможных комбинаций разрядов используется только $2^N - 1$ различное значение. Это одна из причин, по которой обратный код не стал стандартом для процессоров.

Сложение чисел в обратном коде: циклический перенос

Главное практическое умение с обратным кодом - сложение с учётом циклического (по-другому - «сквозного», end-around) переноса. Алгоритм такой:

1. Перевести оба числа в обратный код разрядностью $N$ бит.
2. Сложить оба кода как обычные беззнаковые двоичные числа разрядностью $N$ бит.
3. Если при сложении возник перенос из старшего (знакового) разряда за пределы разрядной сетки - этот перенос не отбрасывается, а прибавляется обратно к младшему разряду результата.
4. Полученные $N$ разрядов - обратный код суммы; декодировать его обратно в десятичное число можно по той же формуле, что и одиночное число.

Рассчитать для своей задачи

Разберём на числах $A = -5$ и $B = -3$ при $N = 8$. Обратный код $A$ - $11111010_2$, обратный код $B$ - $11111100_2$. Их сумма как беззнаковых 8-битных чисел даёт девять значащих разрядов: $1\,11110110_2$. Девятый (лишний) разряд - это и есть циклический перенос: его отбрасываем из разрядной сетки, но прибавляем единицей к оставшимся восьми разрядам:

$11110110_2 + 1 = 11110111_2.$

Декодируем результат: знаковый разряд 1, значит это отрицательное число, а беззнаковое значение всей строки $11110111_2$ равно $247$. По формуле $X = U - (2^N - 1) = 247 - 255 = -8$ - ровно то, что мы и ожидали от $-5 + (-3)$.

Важная оговорка: если оба слагаемых одного знака, а знак результата после переноса получился другим - это переполнение, а не корректный ответ. Обратный код (как и любой $N$-битный формат) не может представить сумму, которая по модулю превышает $2^{N-1} - 1$.

Точно так же, только по другому правилу переноса, устроено сложение в дополнительном коде - там лишний перенос из старшего разряда просто отбрасывается без обратного прибавления, а диапазон уже несимметричный ($-2^{N-1}$ до $2^{N-1}-1$), потому что у нуля остаётся только одно представление.

Обратный код и дополнительный код: в чём разница

Обратный код и дополнительный код почти всегда путают, потому что дополнительный код получается из обратного добавлением единицы: $X_{доп} = X_{обр} + 1$ (для отрицательных чисел). Из-за этой единицы у дополнительного кода нет второго представления нуля, а перенос из старшего разряда при сложении можно просто отбрасывать - никакого циклического возврата не требуется. Обратный код проще для понимания «инвертировали разряды - и готово», но платит за эту простоту двумя нулями и дополнительным шагом при сложении.

Частые ошибки

• Инвертирование знакового разряда. В обратном коде знаковый разряд отрицательного числа остаётся 1, инвертируются только оставшиеся $N-1$ разрядов модуля.
• Забытый циклический перенос. Если при сложении обратных кодов возник перенос из старшего разряда, его нельзя просто отбросить - он обязан вернуться в младший разряд результата.
• Путаница с дополнительным кодом. Правило переноса разное: в обратном коде перенос прибавляется обратно, в дополнительном - отбрасывается без остатка.
• Игнорирование двух нулей. Код $11\ldots1$ - это тоже ноль (−0), а не «минус самое маленькое число».
• Проверка на переполнение по знакам. Если оба слагаемых одного знака, а знак суммы после переноса получился другим - это переполнение, результат недостоверен.

FAQ

Чем обратный код отличается от прямого? В прямом коде отрицательное число - это просто модуль с флагом знака 1 в старшем разряде, остальные разряды не меняются. В обратном коде дополнительно инвертируются все разряды модуля, кроме знакового.

Как декодировать обратный код без ручного инвертирования битов? Прочитайте все $N$ разрядов как беззнаковое число $U$. Если $U < 2^{N-1}$ - это и есть искомое число. Если $U \ge 2^{N-1}$ - искомое число равно $U - (2^N - 1)$ и оно отрицательное.

Почему у нуля два представления именно в обратном коде? Код из одних нулей даёт $U = 0$, то есть $X = 0$ («плюс ноль»). Код из одних единиц даёт $U = 2^N - 1$, а по формуле $X = U - (2^N-1)$ это тоже $X = 0$ («минус ноль»). Оба кода законны по правилу перевода и оба декодируются в один и тот же ноль - отсюда и двойственность. Дополнительный код убирает её за счёт добавленной единицы.

Коротко

Обратный код хранит отрицательное число как дополнение его модуля до «всех единиц» разрядной сетки: $U = (2^N-1) - |X|$, знаковый разряд при этом равен 1, а остальные разряды модуля инвертированы. Диапазон значений симметричен - от $-(2^{N-1}-1)$ до $2^{N-1}-1$, а ноль представлен двумя разными кодами. При сложении чисел в обратном коде перенос из старшего разряда не отбрасывается, а возвращается в младший разряд - это и называют циклическим переносом. Именно ради избавления от двух нулей и лишнего шага сложения на практике перешли на дополнительный код.