Формула n-й производной: как вывести для любой функции

Когда нужно найти не вторую и не третью, а сразу n-ю производную функции, считать каждый шаг подряд неудобно и долго. Вместо этого для большинства элементарных функций существует готовая замкнутая формула: посчитав первые две-три производные и заметив в них закономерность, можно сразу записать выражение для производной любого порядка. Ниже разберём формулу n-й производной для степенной, показательной, тригонометрических функций и логарифма, а также формулу Лейбница для производной произведения. Чтобы увидеть, как меняется формула и её числовое значение при разных функциях и порядках, покрути калькулятор ниже.

Как вообще ищут формулу n-й производной

Общий приём один и тот же для любой функции: считаем несколько первых производных вручную, ищем в них общую структуру и записываем её через порядок $n$. Например, для $f(x) = x^5$ первые производные равны $5x^4$, $20x^3$, $60x^2$ - коэффициенты $5$, $5\cdot4=20$, $5\cdot4\cdot3=60$ образуют произведение убывающих множителей. Заметив это, можно сразу записать формулу для любого порядка, не вычисляя промежуточные шаги. Именно эта закономерность и называется формулой n-й производной: доказывается она обычно методом математической индукции, но для практики достаточно уметь её применять.

Формула n-й производной степенной функции

Для степенной функции $f(x) = x^m$ с целым положительным $m$ каждое дифференцирование сносит одну степень и добавляет множитель, равный прежнему показателю:

$f^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)\,x^{m-n}, \qquad n \le m.$

Произведение $m(m-1)\cdots(m-n+1)$ называется падающим факториалом и его удобно записывать через обычный факториал:

$f^{(n)}(x) = \frac{m!}{(m-n)!}\,x^{m-n}.$

Как только порядок производной превышает степень многочлена, то есть $n > m$, производная тождественно обращается в нуль: у многочлена степени $m$ не может быть больше $m$ ненулевых последовательных производных. Это самое частое наблюдение, которое проверяют в задачах на производные высших порядков.

Рассчитать для своей задачи

Для многочлена, состоящего из нескольких слагаемых, формула применяется к каждому слагаемому отдельно, а результаты складываются, потому что операция дифференцирования линейна: $(af + bg)^{(n)} = a f^{(n)} + b g^{(n)}$.

Показательная функция: производная любого порядка не меняет вид

Показательная функция $f(x) = e^{kx}$ устроена принципиально иначе: она воспроизводит саму себя при каждом дифференцировании, лишь домножаясь на коэффициент $k$. Формула n-й производной здесь предельно простая:

$f^{(n)}(x) = k^n e^{kx}.$

Проверить это легко по индукции: $f'(x) = k e^{kx}$, $f''(x) = k^2 e^{kx}$ и так далее, множитель $k$ накапливается на каждом шаге. При $k = 1$ функция $e^x$ - единственная элементарная функция, у которой все производные в точности совпадают с самой функцией. Если $|k| > 1$, последовательные производные растут по модулю геометрически, а при $|k| < 1$ убывают - это видно на калькуляторе выше, если увеличить коэффициент k и посмотреть на столбцы для разных порядков.

Синус и косинус: сдвиг фазы на пи пополам

У тригонометрических функций закономерность прячется не в коэффициенте, а в фазе. Возьмём $f(x) = \sin(kx)$ и посчитаем несколько производных: $f'(x) = k\cos(kx)$, $f''(x) = -k^2\sin(kx)$, $f'''(x) = -k^3\cos(kx)$, $f^{(4)}(x) = k^4\sin(kx)$ - функция вернулась к исходному виду. Чтобы не перечислять четыре отдельных случая, формулу n-й производной синуса записывают через сдвиг аргумента на $n\pi/2$:

$f^{(n)}(x) = k^n \sin\!\left(kx + \frac{n\pi}{2}\right).$

Для косинуса действует та же идея с другой стартовой фазой:

$\big(\cos(kx)\big)^{(n)} = k^n \cos\!\left(kx + \frac{n\pi}{2}\right).$

Формула работает, потому что прибавление $\pi/2$ к аргументу синуса или косинуса - это ровно то же самое, что взять от него производную: $\sin(x + \pi/2) = \cos x$, а $\cos(x+\pi/2) = -\sin x$. Каждое дифференцирование сдвигает фазу ещё на четверть периода, и после четырёх шагов узор повторяется.

Рассчитать для своей задачи

Логарифм и функция 1 делить на x: факториальный рост со знакочередованием

У логарифма $f(x) = \ln x$ первая производная уже степенная: $f'(x) = 1/x$. Дальше действует формула для степенной функции с отрицательным показателем, поэтому для $n \ge 1$:

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}\,\frac{(n-1)!}{x^n}.$

Похожая формула получается и для функции $f(x) = 1/x$, только счёт факториала начинается сразу с нулевого порядка:

$f^{(n)}(x) = (-1)^n\,\frac{n!}{x^{n+1}}.$

В обеих формулах знак чередуется через один порядок, а числитель растёт как факториал - гораздо быстрее, чем линейный рост коэффициента у степенной функции. Именно поэтому уже к пятому-шестому порядку значения этих производных в фиксированной точке становятся заметно больше, чем у показательной функции с тем же аргументом - это видно, если переключить калькулятор между вариантами ln x и 1/x при одинаковой точке $x_0$.

Формула Лейбница: производная произведения любого порядка

Обычное правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ работает только для первого порядка. Для n-й производной произведения двух функций используют формулу Лейбница, которая обобщает бином Ньютона на дифференцирование:

$(uv)^{(n)} = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} u^{(i)} v^{(n-i)},$

где $\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!(n-i)!}$ - обычные биномиальные коэффициенты, те же самые, что в треугольнике Паскаля. Формула удобна, когда одна из функций после нескольких дифференцирований обнуляется - тогда в сумме остаётся всего несколько ненулевых слагаемых. Например, для произведения многочлена степени $m$ на показательную функцию $x^m e^{kx}$ производные многочлена выше порядка $m$ равны нулю, и в формуле Лейбница автоматически отбрасываются все члены с $i > m$.

Разберём конкретный пример: третья производная произведения $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$. Возьмём $n = 3$ и распишем сумму по формуле Лейбница:

$(uv)^{(3)} = \binom{3}{0}u\,v''' + \binom{3}{1}u'v'' + \binom{3}{2}u''v' + \binom{3}{3}u'''v.$

Поскольку $u = x^2$ - многочлен второй степени, его третья производная $u''' = 0$, и последнее слагаемое сразу исчезает. Подставив оставшиеся производные $u = x^2$, $u' = 2x$, $u'' = 2$ и производные синуса $v = \sin x$, $v' = \cos x$, $v'' = -\sin x$, $v''' = -\cos x$, получаем:

$(uv)^{(3)} = -x^2\cos x + 3\cdot 2x\cdot(-\sin x) + 3\cdot 2\cdot\cos x = -x^2\cos x - 6x\sin x + 6\cos x.$

Результат совпадает с тем, что даёт прямое трёхкратное дифференцирование произведения, но формула Лейбница получает его за одну сумму вместо трёх последовательных применений правила производной произведения.

Рассчитать для своей задачи

Частые ошибки

• Путают падающий факториал с обычным. Коэффициент степенной функции - это $m(m-1)\cdots(m-n+1)$, а не $m!$ целиком; полный факториал получается только при $n = m$.
• Забывают про знакочередование в формулах для логарифма и функции $1/x$ - теряют минус при нечётном порядке или, наоборот, ставят его там, где не нужно.
• Не проверяют, что производная многочлена может тождественно обнулиться. После порядка $n > m$ у $f(x) = x^m$ производная равна нулю, а не «очень маленькому числу».
• Путают сдвиг фазы у синуса и косинуса. У $\sin$ и $\cos$ сдвиг на $n\pi/2$ одинаковый по формуле, но стартовая точка разная - проще всего свериться по первым двум производным.
• Применяют формулу Лейбница без биномиальных коэффициентов, складывая производные напрямую вместо взвешенной суммы - тогда результат не совпадает с прямым многократным дифференцированием.

FAQ

Как доказать формулу n-й производной? Обычно методом математической индукции: проверяют базу при $n=1$ (это обычная первая производная), а затем показывают, что если формула верна для порядка $n$, то дифференцирование даёт формулу для порядка $n+1$. Для степенной, показательной и тригонометрических функций такой переход занимает пару строк.

Можно ли ввести нецелый порядок производной? Формулы выше написаны для целых $n$, но существует раздел математики, дробное исчисление, где падающий факториал степенной функции обобщают через гамма-функцию: $f^{(n)}(x) = \dfrac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-n+1)}x^{m-n}$ и в неё можно подставлять любое действительное $n$. В обычном курсе матанализа это не требуется, но объясняет, откуда берётся факториальная запись.

Зачем нужна формула Лейбница, если можно продифференцировать произведение по очереди n раз? Прямое дифференцирование требует пересчитывать произведение на каждом шаге и быстро превращается в длинную и запутанную выкладку. Формула Лейбница сразу даёт готовую сумму с биномиальными коэффициентами, и если одна из функций - многочлен, большая часть слагаемых обнуляется, а расчёт сокращается до нескольких строк.

Коротко

Для основных элементарных функций производную n-го порядка не нужно считать шаг за шагом: степенная функция даёт падающий факториал и обнуление после порядка $m$, показательная функция домножается на $k^n$ и не меняет вид, синус и косинус сдвигают фазу на $n\pi/2$ по циклу из четырёх состояний, а логарифм и функция $1/x$ растут факториально со знакочередованием знака. Для производной произведения двух функций эти закономерности объединяет формула Лейбница с биномиальными коэффициентами. Зная эти шесть формул, n-ю производную большинства функций, которые встречаются в задачах, можно записать сразу, без промежуточных вычислений.