Ряд Дайсона: разложение оператора эволюции по порядкам

Ряд Дайсона - это разложение оператора эволюции квантовой системы в бесконечную сумму по числу актов взаимодействия: нулевой член ничего не меняет, первый учитывает однократное взаимодействие, второй двукратное и так далее. Именно этот ряд стоит за диаграммами Фейнмана и теорией возмущений в квантовой теории поля: любая амплитуда процесса вычисляется как сумма его членов. Ниже разберём точную формулу с Т-упорядочением, объясним, куда пропадает множитель $1/n!$, и на игрушечной модели с постоянным возмущением явно посчитаем, как быстро частичные суммы ряда сходятся к точному ответу. Чтобы увидеть сходимость своими глазами, покрути калькулятор ниже: он строит путь частичных сумм на комплексной плоскости и график ошибки сразу для выбранных силы взаимодействия и времени.

Общая формула ряда Дайсона

В картине взаимодействия эволюция системы от момента $t_0$ до момента $t$ задаётся оператором $U(t,t_0)$, который удовлетворяет уравнению Шрёдингера с гамильтонианом взаимодействия $H_I(t)$. Формальное решение записывается через Т-экспоненту:

$U(t,t_0) = T\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} H_I(t')\,dt'\right].$

Символ $T$ означает хронологическое упорядочение: операторы в разные моменты времени, вообще говоря, не коммутируют, и просто раскрыть экспоненту в ряд Тейлора нельзя. Дайсон показал, что упорядоченную экспоненту всё равно можно разложить в сумму по числу вставленных операторов взаимодействия:

$U(t,t_0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n \int_{t_0}^{t}\!dt_1 \cdots \int_{t_0}^{t}\!dt_n\, T\big[H_I(t_1)\cdots H_I(t_n)\big].$

Это и есть ряд Дайсона: нулевой член равен единичному оператору, первый линеен по $H_I$, второй квадратичен, и каждый следующий член учитывает на одно взаимодействие больше.

Т-упорядочение и почему исчезает 1/n!

Множитель $1/n!$ в формуле выглядит как обычный коэффициент ряда Тейлора, но у него другая природа. Интеграл по всему кубу $[t_0,t]^n$ можно разбить на $n!$ областей, по числу перестановок моментов времени $t_1,\dots,t_n$. Т-упорядочение в каждой из них расставляет операторы в хронологическом порядке, и по симметрии подынтегральное выражение во всех $n!$ областях даёт одинаковый вклад. Поэтому сумму по перестановкам можно заменить на $n!$ одинаковых слагаемых, взятых по одной единственной области, там, где моменты времени уже упорядочены: $t_0 \le t_n \le \dots \le t_1 \le t$. Множитель $n!$ из знаменателя сокращается с числом областей, и ряд Дайсона переписывается без факториала:

$U(t,t_0) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n \int_{t_0}^{t}\!dt_1\int_{t_0}^{t_1}\!dt_2\cdots\int_{t_0}^{t_{n-1}}\!dt_n\, H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_n).$

Здесь операторы уже стоят в правильном порядке по построению, символ $T$ больше не нужен, а верхние пределы интегралов вложены друг в друга: второй интеграл идёт только до $t_1$, третий только до $t_2$, и так далее. Именно эта вложенная область (симплекс упорядоченных моментов времени) является геометрическим образом Т-упорядочения.

Игрушечная модель: постоянное возмущение

Общий ряд с произвольным $H_I(t)$ трудно посчитать руками, зато его удобно разобрать на упрощённом случае, постоянном возмущении $H_I(t)=V$, которое не меняется со временем. Тогда оператор коммутирует сам с собой в любые два момента, Т-упорядочение становится не нужным, и ряд Дайсона превращается в обычный ряд для экспоненты (в единицах $\hbar=1$):

$U_N(t) = \sum_{n=0}^{N} \frac{(-iVt)^n}{n!}, \qquad U(t) = \lim_{N\to\infty} U_N(t) = e^{-iVt} = \cos(Vt) - i\sin(Vt).$

Частичные суммы $U_N(t)$, комплексные числа, при увеличении $N$ приближаются к точке на единичной окружности $e^{-iVt}$.

Рассчитать для своей задачи

Например, при $V=1$ и $t=2$ точный ответ $e^{-2i} \approx -0{,}416 - 0{,}909i$ лежит на единичной окружности. Уже частичная сумма шестого порядка $U_6 \approx -0{,}422 - 0{,}933i$ отличается от точного значения меньше чем на $0{,}025$, а десятого порядка отличается меньше чем на $0{,}00005$: ряд сходится очень быстро.

Сходимость и оценка остатка

Скорость сходимости определяется величиной отдельного члена ряда:

$|a_n| = \frac{(Vt)^n}{n!}.$

При фиксированных $V$ и $t$ числитель растёт степенным образом, а знаменатель $n!$ убывает факториально, поэтому начиная с некоторого порядка $n \gtrsim Vt$ члены убывают быстрее любой геометрической прогрессии. Именно поэтому ряд для игрушечной модели с постоянным возмущением сходится при любых $V$ и $t$: это разложение целой функции $e^{-iVt}$, у которой нет особых точек на всей комплексной плоскости.

Рассчитать для своей задачи

Важная оговорка: в реальных задачах квантовой теории поля $H_I(t)$ зависит от времени и, как правило, не коммутирует сама с собой в разные моменты, поэтому упрощение до обычной экспоненты не работает. Более того, для взаимодействующих полей (например, в квантовой электродинамике) сам ряд теории возмущений по константе связи оказывается лишь асимптотическим, на это в 1952 году указал сам Фримен Дайсон, показав, что радиус сходимости по заряду равен нулю. Игрушечная модель выше полезна как первый шаг: она показывает механизм сходимости на простом случае, прежде чем разбираться с более тонкими эффектами общего ряда.

Связь с борновским приближением и матрицей рассеяния

Первый член ряда Дайсона,

$U^{(1)}(t,t_0) = -\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} H_I(t')\,dt',$

это в точности борновское приближение теории возмущений: линейный по возмущению вклад в амплитуду перехода. Второй член описывает процессы с промежуточным виртуальным состоянием, третий соответствует диаграммам с двумя промежуточными вершинами, и так далее. При устремлении $t_0\to-\infty$, $t\to+\infty$ оператор $U(t,t_0)$ переходит в матрицу рассеяния $S$, а каждый член ряда Дайсона отвечает своему набору диаграмм Фейнмана фиксированного порядка по константе связи. Поэтому ряд Дайсона - это не просто математический приём, а формальная основа всей диаграммной техники: обрезая сумму на нужном порядке, физики получают конкретное диаграммное разложение амплитуды процесса.

Частые ошибки

• Забывают про Т-упорядочение и переставляют операторы взаимодействия местами: для некоммутирующих $H_I(t_1)$ и $H_I(t_2)$ порядок существенен.
• Путают формулу с факториалом и без него: с $1/n!$ пределы интегрирования одинаковые $[t_0,t]$, без факториала интегралы вложены друг в друга $t_0\le t_n\le\dots\le t_1\le t$. Смешивать эти две формы нельзя.
• Считают, что ряд Дайсона всегда сходится как обычный степенной ряд. Для игрушечной модели с постоянным возмущением это так, но для реального взаимодействующего поля ряд по константе связи, как правило, только асимптотический.
• Путают $U^{(1)}$ (первый член ряда) с полным оператором эволюции: борновское приближение - лишь первое слагаемое, а не вся амплитуда.
• Работают с $\hbar$ не до конца последовательно: если перешли к единицам $\hbar=1$, нельзя оставлять $\hbar$ в части формул - размерности перестанут совпадать.

FAQ

Что такое ряд Дайсона простыми словами? Это способ представить оператор эволюции квантовой системы как сумму членов, каждый из которых учитывает определённое число актов взаимодействия, от нуля до бесконечности.

Почему в формуле ряда Дайсона стоит хронологическое упорядочение T? Потому что гамильтониан взаимодействия в разные моменты времени, вообще говоря, не коммутирует сам с собой, и порядок операторов под интегралом важен: неупорядоченное произведение дало бы другой оператор.

Всегда ли сходится ряд Дайсона? Для упрощённой модели с постоянным возмущением ряд сходится при любых значениях параметров: это разложение обычной экспоненты. Для взаимодействующих квантовых полей ряд по константе связи обычно является лишь асимптотическим, что впервые показал Фримен Дайсон.

Коротко

Ряд Дайсона раскладывает оператор эволюции в сумму по числу актов взаимодействия, а Т-упорядочение позволяет убрать факториал в знаменателе, заменив интеграл по всему кубу временных точек интегралом по единственной вложенной, упорядоченной по времени области. На простой модели с постоянным возмущением ряд сводится к обычной экспоненте и сходится очень быстро: уже несколько первых членов дают точность в доли процента. Первый член ряда - это борновское приближение, а полная сумма при переходе к бесконечным пределам времени превращается в матрицу рассеяния, лежащую в основе диаграмм Фейнмана.