Серия Пашена: спектральные линии атома водорода

Спектр атома водорода состоит из узких линий, сгруппированных в серии: каждая серия отвечает переходам электрона на один и тот же нижний уровень. Серия Пашена это переходы на третий уровень, $m = 3$, поэтому её фотоны заметно слабее фотонов серий Лаймана и Бальмера, а все линии лежат в инфракрасной области, невидимой глазу. Ниже разберём, как устроена серия, как по формуле Ридберга посчитать длину волны и энергию каждой линии, где находится граница серии и какие ошибки чаще всего портят расчёт. Чтобы сразу увидеть связь номера уровня, длины волны и энергии фотона, покрутите калькулятор ниже: он считает линию по формуле Ридберга и подсвечивает её разом в спектре и на диаграмме уровней.

Что такое серия Пашена

В атоме водорода электрон может находиться только на дискретных уровнях энергии, пронумерованных целым числом $n = 1, 2, 3, \ldots$ Когда электрон с верхнего уровня перескакивает на нижний, атом испускает фотон, энергия которого точно равна разности энергий уровней. Если конечным уровнем всегда служит третий, $n = 3$, набор испущенных линий и называется серией Пашена, по имени немецкого физика Фридриха Пашена, обнаружившего её в 1908 году.

Поскольку переход идёт не на самый глубокий уровень, а на третий, перепад энергий здесь заметно меньше, чем в сериях Лаймана ($m = 1$) и Бальмера ($m = 2$). Из-за этого фотоны серии Пашена сравнительно маломощные, а их длины волн попадают целиком в инфракрасный диапазон, примерно от 820 нм до почти 1900 нм. Такое излучение глаз не воспринимает, зато его хорошо ловят ИК-детекторы, поэтому серия Пашена важна в инфракрасной спектроскопии и астрономии.

Рассчитать для своей задачи

Формула Ридберга для серии Пашена

Положение каждой линии задаёт формула Ридберга. В общем виде она связывает обратную длину волны с номерами уровней:

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right),$

где $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7$ м⁻¹ это постоянная Ридберга, $m$ номер нижнего уровня, $n$ номер верхнего. Для серии Пашена нижний уровень всегда $n = 3$, поэтому $m = 3$ и формула принимает вид:

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{n^2} \right), \qquad n = 4, 5, 6, \ldots$

Длину волны отсюда находим как $\lambda = 1 / \left[ R_H (1/9 - 1/n^2) \right]$. Чем больше $n$, тем ближе скобка к $1/9$, тем короче волна, и тем теснее линии прижимаются друг к другу у границы серии. Головная линия $P_\alpha$ (переход $4 \to 3$) самая длинноволновая и самая яркая в серии, её длина волны около 1875 нм.

Рассчитать для своей задачи

Энергия и частота фотона

Удобно считать линию не только через длину волны, но и через энергию. Энергия уровня водорода равна $E_n = -13{,}6 / n^2$ эВ, поэтому при переходе $n \to 3$ испускается фотон с энергией, равной разности уровней:

$E = E_n - E_3 = 13{,}6\ \text{эВ} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{n^2} \right).$

Эта же энергия связана с длиной волны и частотой через соотношения $E = h\nu = hc/\lambda$. На практике быстрый перевод даёт формула $E\,[\text{эВ}] = 1240 / \lambda\,[\text{нм}]$. Например, для головной линии $P_\alpha$ длина волны 1874,6 нм даёт $E = 1240 / 1874{,}6 \approx 0{,}66$ эВ, и тот же результат получается прямо из энергетической формулы: $13{,}6 \cdot (1/9 - 1/16) \approx 0{,}66$ эВ. Частоту берём как $\nu = c / \lambda$: для $P_\alpha$ это около 160 ТГц. Калькулятор выше показывает все три величины сразу для выбранного перехода.

Где находится граница серии

При $n \to \infty$ электрон уходит на бесконечность, и скобка $1/9 - 1/n^2$ стремится к $1/9$. Длина волны при этом достигает наименьшего возможного значения:

$\lambda_{min} = \frac{9}{R_H} \approx 820\ \text{нм}.$

Это и есть граница серии Пашена. Соответствующая энергия фотона равна $E = 13{,}6 / 9 \approx 1{,}51$ эВ, то есть энергии, которая требуется, чтобы забросить электрон с уровня $n = 3$ на бесконечность (ионизация с этого уровня). За границей серии, на волнах короче 820 нм, спектр становится сплошным: свободный электрон может иметь любую кинетическую энергию, поэтому отдельные линии сливаются в непрерывный континуум. На шкале калькулятора граница отмечена пунктиром, и видно, как линии серии сгущаются именно к ней.

Чем серия Пашена отличается от других серий водорода

Все серии водорода описываются одной формулой Ридберга, различаясь только номером нижнего уровня $m$. Серия Лаймана ($m = 1$) самая высокоэнергичная и целиком ультрафиолетовая. Серия Бальмера ($m = 2$) частично попадает в видимый диапазон, и именно её линии окрашивают свечение водорода. Серия Пашена ($m = 3$) уходит в ближнюю инфракрасную область, а следующие за ней серии Брэкета ($m = 4$) и Пфунда ($m = 5$) лежат ещё дальше в ИК. Зная это правило, легко не перепутать серии в задаче: смотрите, на какой уровень падает электрон, и сразу понятно, о какой серии идёт речь и в каком диапазоне ждать линию.

Из-за небольшой энергии фотонов серия Пашена слабее заметна в лабораторных спектрах видимого света, зато востребована в инфракрасной спектроскопии плазмы и в астрофизике, где линии этой серии помогают оценивать температуру и состав водородных облаков.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: найти длину волны и энергию фотона для линии серии Пашена, отвечающей переходу с уровня $n = 5$ на уровень $n = 3$. Постоянная Ридберга $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7$ м⁻¹.

Сначала подставляем $n = 5$ в формулу Ридберга для серии Пашена:

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = 1{,}097 \cdot 10^7 \cdot \frac{16}{225} \approx 7{,}80 \cdot 10^5\ \text{м}^{-1}.$

Отсюда длина волны:

$\lambda = \frac{1}{7{,}80 \cdot 10^5} \approx 1{,}281 \cdot 10^{-6}\ \text{м} = 1281{,}5\ \text{нм}.$

Энергию фотона удобнее найти из энергетической формулы, не возвращаясь к длине волны:

$E = 13{,}6\ \text{эВ} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = 13{,}6 \cdot \frac{16}{225} \approx 0{,}97\ \text{эВ}.$

Проверка согласованности: $1240 / 1281{,}5 \approx 0{,}97$ эВ, что совпадает с прямым расчётом. Это линия $P_\beta$ серии Пашена. Если ваши числа эту проверку не проходят, ищите ошибку в подстановке номера уровня или в переводе единиц. Калькулятор выше собирает ровно такую цепочку и подсвечивает найденную линию в спектре, оставляя вам контроль над формулой.

Частые ошибки

• Путаница нижнего уровня серии. Для серии Пашена нижний уровень всегда $n = 3$. Если подставить $m = 1$ или $m = 2$, получится уже серия Лаймана или Бальмера, и длина волны выйдет совсем другой.
• Какое число в каком квадрате. В скобке $1/3^2 - 1/n^2$ из $1/9$ вычитается дробь с верхним уровнем. Перестановка членов даёт отрицательную обратную длину волны.
• Неверная постоянная Ридберга. В формуле для $1/\lambda$ используют $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7$ м⁻¹. Не путайте её с энергией ионизации основного уровня (13,6 эВ) или с частотой.
• Забытый перевод единиц. Если $R_H$ задана в м⁻¹, то $\lambda$ получится в метрах. Чтобы получить нанометры, умножьте на $10^9$.
• Ожидание видимого света. Вся серия Пашена лежит в инфракрасном диапазоне (примерно от 820 до 1900 нм). Если в ответе вышла длина волны видимого диапазона, вероятно, перепутана серия или уровень.

FAQ

Какая длина волны у головной линии серии Пашена? Головная линия $P_\alpha$ это переход $4 \to 3$. По формуле Ридберга $1/\lambda = R_H (1/9 - 1/16)$, откуда $\lambda \approx 1875$ нм, а энергия фотона около 0,66 эВ. Это самая длинноволновая и самая яркая линия серии.

Почему серия Пашена не видна глазом? Потому что переходы идут на третий уровень $n = 3$, а не на основной, и перепад энергий небольшой. Фотоны получаются относительно слабыми, их длины волн (820 до 1900 нм) попадают в инфракрасную область, которую глаз не воспринимает.

Где граница серии Пашена и что она означает? Граница лежит на $\lambda_{min} = 9/R_H \approx 820$ нм и соответствует переходу с бесконечно высокого уровня, то есть ионизации атома с уровня $n = 3$. Энергия такого фотона равна примерно 1,51 эВ. За границей спектр становится сплошным.

Коротко

Серия Пашена это переходы электрона в атоме водорода на третий уровень $n = 3$, поэтому все её линии лежат в инфракрасном диапазоне. Положение линий задаёт формула Ридберга $1/\lambda = R_H (1/9 - 1/n^2)$ с $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7$ м⁻¹, а энергию фотона удобно считать как $E = 13{,}6\,\text{эВ}\,(1/9 - 1/n^2)$. Головная линия $P_\alpha$ имеет длину волны около 1875 нм, а граница серии при $n \to \infty$ приходится на 820 нм и отвечает ионизации с уровня $n = 3$.