Сумма арктангенсов: формула и поправка на π

Формула суммы арктангенсов выглядит обманчиво простой: кажется, что $\operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b$ должно сразу сворачиваться в один арктангенс дроби $(a+b)/(1-ab)$ - и в большинстве учебных примеров так и есть. Но у формулы есть подвох: арктангенс всегда возвращает угол из интервала $(-90°, 90°)$, а сумма двух таких углов может выйти за эти границы. Тогда дробь даёт правильное значение тангенса, но неверный угол, и приходится добавлять или вычитать целое число $\pi$. Ниже разберём, откуда берётся сама формула, когда нужна поправка и как её определить, не гадая. Чтобы сразу увидеть, где именно дробь «промахивается» мимо истинной суммы, покрутите калькулятор ниже - он строит обе кривые сразу и показывает разрыв.

Что такое сумма арктангенсов и почему её нельзя складывать напрямую

Арктангенс - функция, обратная тангенсу, определённая на всей числовой прямой, но с ограниченной областью значений: $\operatorname{arctg} x \in (-90°, 90°)$ для любого $x$. Если взять два числа $a$ и $b$, то $\alpha = \operatorname{arctg} a$ и $\beta = \operatorname{arctg} b$ - это конкретные углы из этого интервала. Их сумма $\alpha + \beta$ уже не обязана укладываться в $(-90°, 90°)$: например, при $a = 2$, $b = 3$ каждое слагаемое даёт около $63°$ и $72°$, а сумма - $135°$, что выходит за границы одного арктангенса. Поэтому нельзя просто написать $\operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg}(\text{что-то})$ и не думать о диапазоне - правая часть физически не может принять значение больше $90°$ по модулю, а левая часто может.

Вывод формулы через тангенс суммы

Формула суммы арктангенсов получается из тождества тангенса суммы углов. Обозначим $\alpha = \operatorname{arctg} a$, $\beta = \operatorname{arctg} b$, тогда $\operatorname{tg}\alpha = a$, $\operatorname{tg}\beta = b$, и

$\operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} = \frac{a+b}{1-ab}.$

Рассчитать для своей задачи

Геометрически это можно представить как два прямоугольных треугольника с общим катетом длины 1: у одного противолежащий катет равен $a$, у другого - $b$, а их острые углы - это как раз $\alpha$ и $\beta$. Приложив треугольники друг к другу, получаем угол $\alpha+\beta$, и тангенс этого суммарного угла считается по формуле выше. Отсюда напрашивается вывод: $\alpha+\beta = \operatorname{arctg}\dfrac{a+b}{1-ab}$. Это верно, но только пока сумма $\alpha+\beta$ сама лежит в интервале $(-90°, 90°)$ - иначе арктангенс справа «срежет» угол до этого интервала, и потребуется поправка.

Поправка на π: когда дробь обманывает

Рассчитать для своей задачи

Полная формула суммы арктангенсов записывается так:

$\operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg}\frac{a+b}{1-ab} + k\pi,$

где целое число $k$ зависит от знака произведения $ab$ и знаков самих $a$ и $b$:

$k = \begin{cases} 0, & ab < 1, \\ 1, & ab > 1,\ a>0,\ b>0, \\ -1, & ab > 1,\ a<0,\ b<0. \end{cases}$

Логика такая: пока $ab < 1$, знаменатель $1-ab$ положителен, дробь ведёт себя обычным образом, и сумма $\alpha+\beta$ не выходит за пределы одного арктангенса - поправка не нужна. Как только $ab$ переходит через единицу, знаменатель меняет знак, дробь «перескакивает» с одного края интервала $(-90°,90°)$ на другой, хотя истинная сумма $\alpha+\beta$ при этом растёт непрерывно. Чтобы компенсировать этот скачок ровно на $180°$, к результату добавляют (или отнимают) $\pi$.

Как определить знак поправки, не гадая

Проще всего свериться с самими числами $a$ и $b$, а не запоминать формулу для $k$ механически:

• Если оба числа малы по модулю или разного знака, $ab$ почти наверняка меньше 1 - поправка не нужна.
• Если оба числа положительны и их произведение больше 1 (например, $a=2$, $b=3$: $\alpha\approx63°$, $\beta\approx72°$, сумма $135° > 90°$), дробь даст отрицательный угол, а истинная сумма - положительная и большая $90°$: нужно прибавить $\pi$.
• Если оба числа отрицательны и $ab>1$, симметрично: дробь даст положительный угол, а истинная сумма отрицательна и меньше $-90°$ - нужно вычесть $\pi$.
• Особый случай $ab=1$ (например, $a=b=1$): знаменатель дроби обращается в ноль, формула через дробь не работает вовсе. Тогда сумму находят напрямую: она равна ровно $90°$, если оба числа положительны, и $-90°$, если оба отрицательны.

Классический пример: сумма трёх арктангенсов

Рассчитать для своей задачи

Формула суммы арктангенсов красиво работает и для трёх слагаемых, если применить её дважды. Возьмём знаменитое тождество $\operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 2 + \operatorname{arctg} 3 = \pi$. Сначала сложим первые два: $1\cdot2=2>1$, оба числа положительны, значит нужна поправка $+\pi$:

$\operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 2 = \operatorname{arctg}\frac{1+2}{1-1\cdot2} + \pi = \operatorname{arctg}(-3) + \pi.$

Теперь прибавим $\operatorname{arctg} 3$. Удобнее сначала убедиться в другом полезном тождестве: $\operatorname{arctg}\frac12 + \operatorname{arctg}\frac13 = \dfrac{\pi}{4}$ - здесь $ab = \frac16 < 1$, поправка не нужна, и это легко проверить численно (обе части дают ровно $45°$). Возвращаясь к исходной тройке: подставив численные значения всех трёх арктангенсов ($\approx 45°, 63{,}43°, 71{,}57°$), получаем сумму ровно $180°=\pi$ - раскладка через попарное применение формулы с правильными поправками даёт тот же результат, что и прямое сложение градусов.

Разность арктангенсов: похожая формула без ловушки со знаком

У суммы есть парная формула для разности:

$\operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg}\frac{a-b}{1+ab} + k\pi,$

но здесь в знаменателе стоит $1+ab$, а не $1-ab$, поэтому разрыв возникает при $ab=-1$, а не при $ab=1$. На практике разность арктангенсов в учебных задачах требует поправки заметно реже, чем сумма: если оба числа одного знака и не слишком велики, $ab$ обычно остаётся больше $-1$.

Где формула суммы арктангенсов используется на практике

Формула суммы арктангенсов регулярно встречается в трёх типах задач. Во-первых, в тождествах и упрощении выражений - как в примере с тройкой $1,2,3$ выше. Во-вторых, в уравнениях вида $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}(kx) = c$: формула сводит их к рациональному уравнению относительно $x$, но при этом обязательно нужно проверять полученные корни подстановкой - именно из-за возможной поправки $k\pi$ формула может «потерять» знак ответа. В-третьих, формула используется при доказательстве более общих тригонометрических тождеств и при вычислении пределов и рядов, где сумма арктангенсов телескопически сворачивается (классический пример - сумма $\sum \operatorname{arctg}\frac{1}{n^2+n+1}$, которая через ту же формулу сводится к разности соседних слагаемых).

Частые ошибки

• Забыть про поправку $k\pi$ вовсе. Формула $\operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg}\dfrac{a+b}{1-ab}$ без поправки верна только при $ab<1$; в остальных случаях ответ окажется меньше или больше истинного ровно на $180°$.
• Перепутать знак поправки. Знак $k$ зависит от знака самих $a$ и $b$, а не от знака дроби $(a+b)/(1-ab)$ - проверяйте именно исходные числа.
• Подставить $ab=1$ в формулу буквально. Знаменатель обращается в ноль, деление некорректно; в этом случае сумма находится напрямую как $\pm90°$.
• Забыть проверить корни уравнения. После сведения уравнения с арктангенсами к рациональному, полученные корни нужно подставить обратно в исходное уравнение - рациональное уравнение может дать лишние корни, не удовлетворяющие исходному из-за той же поправки.
• Путать формулу суммы с формулой разности. У разности в знаменателе $1+ab$, разрыв - при $ab=-1$, а не при $ab=1$.

FAQ

Когда в формуле суммы арктангенсов нужна поправка $\pi$? Поправка нужна, если произведение $ab$ больше 1. Тогда добавляется $+\pi$ при положительных $a$ и $b$, и вычитается $\pi$ (то есть добавляется $-\pi$) при отрицательных.

Чему равна сумма $\operatorname{arctg} 1 + \operatorname{arctg} 2 + \operatorname{arctg} 3$? Она равна $\pi$ (180°). Это классическое тождество, которое удобно проверять именно через формулу суммы, применённую дважды с учётом нужных поправок.

Что делать, если $ab$ равно ровно 1? Формула через дробь неприменима - знаменатель $1-ab$ равен нулю. В этом случае сумма арктангенсов равна $90°$, если оба числа положительны, и $-90°$, если оба отрицательны.

Коротко

Формула суммы арктангенсов $\operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg}\dfrac{a+b}{1-ab} + k\pi$ выводится из тангенса суммы углов, но требует поправки $k\pi$, потому что арктангенс всегда возвращает угол из интервала $(-90°,90°)$, а истинная сумма может выйти за эти границы. Поправка $k=0$ работает при $ab<1$; $k=+1$ и $k=-1$ - при $ab>1$ и одинаковом знаке $a$, $b$ (положительном и отрицательном соответственно); особый случай $ab=1$ считается напрямую как $\pm90°$. Эта же логика лежит в основе похожей формулы разности арктангенсов и используется при упрощении тождеств, решении уравнений и вычислении сумм рядов.