Теорема Лебега о мажорируемой сходимости: DCT и применения

Теорема Лебега о мажорируемой сходимости (Dominated Convergence Theorem, DCT) - один из самых полезных результатов теории меры. Она отвечает на вопрос «когда можно вносить предел под знак интеграла» и используется везде: от дифференцирования параметрических интегралов до обоснования преобразования Фурье. Сильная сторона DCT - простое и проверяемое условие: достаточно подобрать одну интегрируемую функцию $g$, мажорирующую всю последовательность. Ниже - формулировка, доказательство через лемму Фату, сравнение с теоремами Леви и Фату, применения, контрпример и обобщения.

Формулировка теоремы Лебега

Пусть $(X, \mathcal{A}, \mu)$ - пространство с мерой и $f_n : X \to \mathbb{R}$ (или $\mathbb{C}$) - последовательность измеримых функций. Предположим:

1. $f_n(x) \to f(x)$ для почти всех $x \in X$ (поточечная сходимость почти всюду);
2. существует измеримая функция $g : X \to [0, \infty]$ такая, что $|f_n(x)| \le g(x)$ для почти всех $x$ и всех $n$, причём $\int_X g \, d\mu < \infty$.

Тогда $f$ интегрируема, и выполнено

$$\lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu = \int_X f \, d\mu, \qquad \lim_{n \to \infty} \int_X |f_n - f| \, d\mu = 0.$$

Второе соотношение сильнее первого: сходимость в $L^1$-норме. Из него автоматически вытекает первое - по неравенству $|\int f_n - \int f| \le \int |f_n - f|$. Условие мажоранты $|f_n| \le g$ с интегрируемой $g$ - единственное «нетривиальное» требование теоремы; всё остальное либо измеримость, либо сходимость почти всюду.

Подставь свою последовательность $f_n$ ниже - соберём задачу и в чате проверим, существует ли мажоранта, посчитаем предел интегралов и при необходимости перейдём к альтернативной теореме.

Набросок доказательства через лемму Фату

Стандартное доказательство DCT - двойное применение леммы Фату к функциям $g - f_n$ и $g + f_n$, которые неотрицательны почти всюду в силу $|f_n| \le g$.

Шаг 1. Применяем Фату к $g - f_n \ge 0$:

$$\int (g - f) \, d\mu = \int \liminf (g - f_n) \, d\mu \le \liminf \int (g - f_n) \, d\mu = \int g \, d\mu - \limsup \int f_n \, d\mu.$$

Сокращая $\int g$ (он конечен), получаем $\limsup \int f_n \le \int f$.

Шаг 2. Применяем Фату к $g + f_n \ge 0$:

$$\int (g + f) \, d\mu \le \liminf \int (g + f_n) \, d\mu = \int g \, d\mu + \liminf \int f_n \, d\mu.$$

Аналогично получаем $\int f \le \liminf \int f_n$. Объединяя оба неравенства: $\int f \le \liminf \int f_n \le \limsup \int f_n \le \int f$, то есть предел существует и равен $\int f$.

Для $L^1$-сходимости применяют тот же трюк к $2g - |f_n - f| \ge 0$. Конечность $\int g$ здесь критична: без неё нельзя «сокращать» $\int g$ в неравенствах.

Сравнение с теоремами Леви и Фату

Три классических теоремы перехода к пределу под знаком интеграла образуют связку:

Теорема Леви о монотонной сходимости (MCT). Если $0 \le f_1 \le f_2 \le \dots$ и $f_n \to f$ почти всюду, то $\int f_n \to \int f$. Не требует мажоранты - её роль играет сам предел. Работает при монотонном возрастании.

Лемма Фату. Для $f_n \ge 0$ выполнено $\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n$. Не требует ни сходимости, ни мажоранты - только неотрицательность. Даёт лишь неравенство.

Теорема Лебега (DCT). Требует мажоранту и сходимость почти всюду - взамен даёт равенство пределов и $L^1$-сходимость без условия монотонности.

На практике: монотонная неотрицательная последовательность - Леви; только неотрицательность и нужно неравенство - Фату; произвольный знак с оценкой $|f_n| \le g$, $g \in L^1$ - Лебег.

Классические применения

Дифференцирование интеграла по параметру. Пусть $F(t) = \int_X f(x, t) \, d\mu(x)$. Формальное дифференцирование $F'(t) = \int \partial_t f(x, t) \, d\mu$ обосновывается DCT: разностные отношения $f_n(x) = (f(x, t + h_n) - f(x, t))/h_n$ оцениваются по теореме о среднем как $|f_n(x)| \le \sup_s |\partial_t f(x, s)|$ - это и есть мажоранта $g$.

Ряды интегралов. Если $\sum_n \int |f_n| < \infty$, ряд $\sum f_n$ можно интегрировать почленно: $\int \sum f_n = \sum \int f_n$. Доказательство - DCT к частичным суммам $S_N$ с мажорантой $g = \sum_n |f_n|$.

Преобразование Фурье. Непрерывность $\hat{f}(\xi) = \int f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx$ по $\xi$ для $f \in L^1$ - прямое применение DCT с мажорантой $g(x) = |f(x)|$, так как $|e^{-2\pi i x \xi}| = 1$. Тот же приём обосновывает непрерывность характеристической функции в теории вероятностей.

Контрпример без мажоранты

Рассмотрим $f_n(x) = n \cdot \mathbb{1}_{[0, 1/n]}(x)$ на $[0, 1]$ с мерой Лебега. Поточечно $f_n(x) \to 0$ для всех $x > 0$, и $f_n(0) = n \to \infty$, но множество $\{0\}$ имеет меру ноль - значит, $f_n \to 0$ почти всюду. При этом

$$\int_0^1 f_n \, dx = n \cdot \frac{1}{n} = 1 \not\to 0 = \int_0^1 0 \, dx.$$

DCT не применима, потому что любая мажоранта $g$ должна удовлетворять $g(x) \ge n$ для $x \in [0, 1/n]$, то есть $g(x) \ge \lfloor 1/x \rfloor$ при $x > 0$, что неинтегрируемо. Без мажоранты предел интегралов отличается от интеграла предела - характерный «бугорок, уезжающий в бесконечность».

Аналогичный контрпример - $f_n(x) = (1/n) \mathbb{1}_{[0, n]}(x)$ на $[0, \infty)$. Поточечно $f_n \to 0$, но $\int f_n = 1$ для всех $n$. Мажоранта тоже не существует.

Теорема Витали и равномерная интегрируемость

Обобщение DCT, которое заменяет существование мажоранты на более слабое условие - равномерную интегрируемость. Семейство $\{f_n\}$ называется равномерно интегрируемым, если

$$\lim_{c \to \infty} \sup_n \int_{\{|f_n| > c\}} |f_n| \, d\mu = 0.$$

Теорема Витали о сходимости. Если $\mu(X) < \infty$, $f_n \to f$ по мере и $\{f_n\}$ равномерно интегрируемо, то $f_n \to f$ в $L^1$. Для бесконечной меры добавляют условие «равномерная плотность» - отсутствие «утечки массы на бесконечность».

DCT - частный случай: если $|f_n| \le g$ с $g \in L^1$, то семейство автоматически равномерно интегрируемо. Витали покрывает ситуации, где общей мажоранты нет, но каждое отдельное $f_n$ хорошо контролируется. Используется, например, в доказательстве сходимости мартингалов и в эргодической теории.

Типовые задачи

Тип 1: вычислить $\lim_n \int f_n$. Найти поточечный предел $f$, подобрать мажоранту $g$, проверить $\int g < \infty$ - ответ $\int f$.

Тип 2: обосновать $\frac{d}{dt} \int f(x, t) \, dx = \int \partial_t f(x, t) \, dx$. Оценить $|\partial_t f(x, t)|$ интегрируемой функцией в окрестности $t$, применить DCT к разностным отношениям.

Тип 3: построить контрпример к перестановке предела и интеграла. Стандартные кандидаты - «уезжающий бугорок» $n \mathbb{1}_{[0, 1/n]}$ или «расплывающаяся ступенька» $(1/n) \mathbb{1}_{[0, n]}$.

Частые ошибки

• Применяют DCT, не проверив существование мажоранты. Сходимости почти всюду недостаточно - нужна именно общая интегрируемая $g$, мажорирующая все $|f_n|$. Без этого предел может вообще не существовать или отличаться от $\int f$.
• Используют разные мажоранты для разных $n$. Условие требует одной функции $g$, общей для всей последовательности. Если для каждого $n$ есть своя $g_n$, но $\sup_n g_n$ неинтегрируема - DCT не применима.
• Забывают проверить $\int g < \infty$. Мажоранта без условия интегрируемости бесполезна. Часто $g$ оказывается «почти $1/x$» вблизи нуля или константой на $\mathbb{R}$ - оба случая дают $\int g = \infty$.
• Путают $L^1$-сходимость и поточечную. DCT даёт $\int |f_n - f| \to 0$, но не обещает равномерной сходимости. Поточечная сходимость почти всюду - это вход, $L^1$-сходимость - выход.
• Применяют DCT к $f_n \ge 0$ без необходимости. Если последовательность монотонна, проще теорема Леви - она не требует мажоранты вообще. DCT уместен, когда знак $f_n$ произвольный.

FAQ

Чем DCT отличается от теоремы Леви о монотонной сходимости? Леви требует монотонности $f_n$ (неубывающая последовательность неотрицательных функций), но не требует мажоранты. DCT не требует монотонности, но требует общую интегрируемую мажоранту $g$. Леви даёт результат и для $\int f = \infty$, DCT - только для конечных интегралов.

Можно ли заменить «почти всюду» на «по мере»? Да, существует версия DCT для сходимости по мере: если $f_n \to f$ по мере и $|f_n| \le g$ с $g \in L^1$, то $\int |f_n - f| \to 0$. Доказательство - переход к подпоследовательности, сходящейся почти всюду, и применение классической DCT с аргументом «у любой подпоследовательности есть подподпоследовательность, сходящаяся к одному пределу».

Что делать, если мажоранты нет, а посчитать $\lim \int f_n$ нужно? Варианты: (а) проверить равномерную интегрируемость и применить теорему Витали; (б) применить лемму Фату для одностороннего неравенства; (в) если ничего не выходит - предел интегралов действительно может отличаться от интеграла предела (как в контрпримере с $n \mathbb{1}_{[0,1/n]}$).

Коротко

Теорема Лебега о мажорируемой сходимости - критерий перенесения предела под знак интеграла. Условия: $f_n \to f$ почти всюду и существует общая интегрируемая мажоранта $|f_n| \le g$, $\int g < \infty$. Тогда $f \in L^1$ и $\int f_n \to \int f$, причём в $L^1$-норме. Доказательство - двойное применение леммы Фату к $g \pm f_n$. В связке с теоремой Леви (монотонная сходимость) и леммой Фату (одностороннее неравенство для неотрицательных) DCT закрывает большинство практических ситуаций: дифференцирование параметрических интегралов, почленное интегрирование рядов, непрерывность характеристических функций и преобразования Фурье. Контрпример без мажоранты - $f_n = n \mathbb{1}_{[0, 1/n]}$: поточечно к 0, но $\int = 1$. Обобщение через равномерную интегрируемость - теорема Витали.