Теорема о неявной функции: доказательство по шагам

Уравнение $F(x,y)=0$ редко удаётся разрешить относительно $y$ в явном виде, но это и не всегда нужно: теорема о неявной функции гарантирует, что вблизи подходящей точки такая зависимость $y=f(x)$ существует, единственна и гладкая, даже если выписать её формулой невозможно. Ниже разбираем условия применимости, аккуратное доказательство теоремы о неявной функции и формулу производной неявно заданной функции - так, чтобы было видно, откуда берётся каждое требование.

Что утверждает теорема о неявной функции

Пусть $F:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ непрерывно дифференцируема в окрестности точки $(x_0,y_0)$, причём $F(x_0,y_0)=0$ и $\dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$. Тогда существуют окрестность $U\ni x_0$ и единственная функция $f:U\to\mathbb{R}$ класса $C^1$ такие, что $f(x_0)=y_0$ и $F\big(x,f(x)\big)=0$ для всех $x\in U$.

Ключевое условие - необращение в нуль частной производной по «выражаемой» переменной. В общем многомерном случае $F:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{m}$ это условие превращается в требование обратимости якобиана $\dfrac{\partial F}{\partial y}$, то есть $\det\dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$. Именно невырожденность якобиана отвечает за то, что уравнение локально однозначно разрешимо.

Обратите внимание на слово «локально»: теорема - утверждение об окрестности конкретной точки, а не обо всей области определения. Она ничего не говорит ни о размере окрестности $U$, ни о том, как продолжить $f$ за её пределы; гарантируется лишь существование, единственность и гладкость ветви рядом с $(x_0,y_0)$. Этой осторожной формулировке мы обязаны тем, что теорема о неявной функции вообще работает для произвольных гладких $F$, а не только для тех, что разрешаются явной формулой.

Прежде чем доказывать общий случай, полезно прочувствовать механику на конкретном уравнении - соберите $F$, точку и переменную в форме ниже, и разберём, выполнены ли условия и чему равна производная.

Геометрический смысл условия на якобиан

Уравнение $F(x,y)=0$ задаёт линию (или поверхность) уровня функции $F$. Градиент $\nabla F$ в каждой точке этой линии перпендикулярен ей. Условие $\dfrac{\partial F}{\partial y}\neq 0$ означает, что касательная к линии уровня не вертикальна, то есть линию локально можно спроектировать на ось $x$ взаимно однозначно - а это ровно то, что нужно для графика функции $y=f(x)$.

Классический пример - окружность $F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0$. Здесь $\dfrac{\partial F}{\partial y}=2y$ обращается в нуль в точках $(\pm 1,0)$: именно там касательная вертикальна, и около них $y$ нельзя выразить однозначно (две ветви $\pm\sqrt{1-x^{2}}$ сливаются). Во всех остальных точках условие выполнено, и локально однозначная ветвь существует. Этот же геометрический язык лежит в основе метода множителей Лагранжа, где связь $g(x,y)=0$ как раз и есть неявно заданное многообразие.

Идея доказательства: переход к неподвижной точке

Доказательство теоремы о неявной функции опирается на принцип сжимающих отображений (теорему Банаха о неподвижной точке). Идея: переписать уравнение $F(x,y)=0$ как задачу о неподвижной точке $y=\Phi_x(y)$, где при каждом фиксированном $x$ оператор $\Phi_x$ оказывается сжатием, а его единственная неподвижная точка и даёт значение $f(x)$.

Введём вспомогательное отображение, «гасящее» производную по $y$:

$\Phi_x(y) = y - \frac{1}{F_y(x_0,y_0)}\,F(x,y).$

Если $F(x,y)=0$, то $\Phi_x(y)=y$ - и обратно: неподвижная точка $\Phi_x$ есть в точности решение уравнения. Деление на постоянный множитель $F_y(x_0,y_0)\neq 0$ корректно благодаря условию теоремы.

Почему берут именно постоянный множитель, а не саму производную $F_y(x,y)$? Чтобы оператор $\Phi_x$ оставался хорошо определённым и достаточно «послушным» во всей окрестности, не требуя обратимости $F_y$ в каждой точке заранее. Это упрощённый вариант метода Ньютона: один и тот же «жёсткий» множитель вместо пересчёта производной на каждом шаге. Метод Ньютона сошёлся бы быстрее, но для доказательства существования важнее не скорость, а гарантированное сжатие - а его даёт непрерывность $F_y$ около точки.

Доказательство: сжатие и существование

Посчитаем производную оператора по $y$:

$\frac{\partial \Phi_x}{\partial y}(y) = 1 - \frac{F_y(x,y)}{F_y(x_0,y_0)}.$

В точке $(x_0,y_0)$ это выражение равно нулю. Поскольку $F_y$ непрерывна, найдётся $r>0$ такое, что в шаре $|y-y_0|\le r$ и при $|x-x_0|\le \delta$ выполнено $\left|\dfrac{\partial \Phi_x}{\partial y}\right|\le \tfrac{1}{2}$. По теореме о среднем отсюда следует оценка сжатия:

$|\Phi_x(y_1)-\Phi_x(y_2)|\le \tfrac{1}{2}\,|y_1-y_2|.$

Осталось проверить, что $\Phi_x$ переводит замкнутый шар $\overline{B}(y_0,r)$ в себя. Из непрерывности $F$ и равенства $F(x_0,y_0)=0$ при достаточно малом $\delta$ имеем $|\Phi_x(y_0)-y_0|=\left|\dfrac{F(x,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}\right|\le \tfrac{r}{2}$, поэтому

$|\Phi_x(y)-y_0|\le |\Phi_x(y)-\Phi_x(y_0)|+|\Phi_x(y_0)-y_0|\le \tfrac{1}{2}r+\tfrac{1}{2}r=r.$

Значит, при каждом $x$ из окрестности $U=\{|x-x_0|<\delta\}$ оператор $\Phi_x$ - сжатие полного метрического пространства $\overline{B}(y_0,r)$ в себя. По принципу Банаха у него ровно одна неподвижная точка; обозначим её $f(x)$. Так доказаны существование и единственность неявной функции.

Доказательство: непрерывность и гладкость f

Непрерывность $f$ вытекает из равномерной по $x$ оценки сжатия: малое изменение $x$ сдвигает неподвижную точку непрерывно. Чтобы получить дифференцируемость, дифференцируем тождество $F\big(x,f(x)\big)\equiv 0$ по $x_i$ по правилу цепочки:

$\frac{\partial F}{\partial x_i} + \frac{\partial F}{\partial y}\cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}=0.$

Поскольку $F_y\neq 0$ в окрестности, отсюда формула производной неявно заданной функции:

$\frac{\partial f}{\partial x_i} = -\frac{F_{x_i}}{F_y}.$

Правая часть составлена из непрерывных функций, значит $f\in C^1$. Если $F\in C^k$, то по индукции и $f\in C^k$ - гладкость передаётся неявной функции. В многомерном случае $y\in\mathbb{R}^{m}$ та же выкладка даёт матричную формулу

$\frac{\partial f}{\partial x} = -\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x},$

где обратимость якобиана $\partial F/\partial y$ - это и есть многомерный аналог условия $F_y\neq 0$.

Связь с теоремой об обратной функции

Теорема о неявной функции и теорема об обратной функции эквивалентны: каждую можно вывести из другой. Чтобы получить обратную функцию для $g:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ с невырожденным якобианом, применяют теорему о неявной функции к $F(x,y)=g(y)-x$: разрешая это уравнение относительно $y$, мы как раз получаем $y=g^{-1}(x)$, а условие $\det\partial F/\partial y=\det g'\neq 0$ совпадает с условием теоремы об обратной функции. И наоборот, доказательство через сжатие, приведённое выше, по сути есть локальная версия теоремы об обратной функции. Поэтому невырожденность якобиана - общий «двигатель» обеих теорем.

Из той же связки вырастает теорема о ранге и язык гладких многообразий: множество решений $F(x,y)=0$ при невырожденном якобиане локально является графиком гладкой функции, а значит - гладким многообразием размерности $n$. Так теорема о неявной функции становится рабочим инструментом дифференциальной геометрии и теории оптимизации с ограничениями, где допустимое множество почти всегда задаётся неявно.

Частые ошибки

• Забывают проверить условие $F_y(x_0,y_0)\neq 0$ (или $\det\partial F/\partial y\neq 0$) - без него теорема ничего не гарантирует, как в точках $(\pm 1,0)$ на окружности.
• Считают теорему глобальной: она даёт лишь локальную окрестность $U$, а не выражение $y=f(x)$ на всей области.
• Путают единственность функции с единственностью решения уравнения: ветвь единственна только в выбранной окрестности точки $(x_0,y_0)$.
• В формуле производной теряют знак минус или делят не на ту частную производную: правильно $f'=-F_x/F_y$.
• Применяют теорему без гладкости: для формулы $f'=-F_x/F_y$ нужна непрерывная дифференцируемость $F$, а не только существование частных производных.

FAQ

Зачем нужен принцип сжимающих отображений? Он превращает «разрешимость уравнения» в существование неподвижной точки и сразу даёт и существование, и единственность, и непрерывную зависимость от параметра $x$.

Что если якобиан вырожден? Теорема неприменима: однозначной гладкой ветви может не быть (точки слияния ветвей, особые точки кривой). Иногда помогает выразить другую переменную или перейти к теореме о ранге.

Можно ли найти $f'$, не выражая саму $f$? Да, в этом сила формулы $f'=-F_x/F_y$: производная неявной функции вычисляется через частные производные $F$ в точке, даже когда явной формулы для $f$ нет.

Коротко

Теорема о неявной функции утверждает, что при $F(x_0,y_0)=0$ и невырожденности якобиана $\partial F/\partial y$ уравнение $F(x,y)=0$ локально задаёт единственную гладкую функцию $y=f(x)$. Доказательство строится на принципе сжимающих отображений: оператор $\Phi_x(y)=y-F(x,y)/F_y(x_0,y_0)$ оказывается сжатием, его неподвижная точка и есть $f(x)$, а дифференцирование тождества $F(x,f(x))\equiv 0$ даёт формулу $f'=-F_x/F_y$.