Теорема Тейлора: остаточный член Лагранжа и погрешность

Теорема Тейлора утверждает, что достаточно гладкую функцию вблизи точки можно заменить многочленом, а возникающую при этом ошибку - записать явной формулой. Остаточный член Лагранжа - самая удобная из таких формул: он выражает погрешность через производную порядка $n+1$, вычисленную в некоторой промежуточной точке $\xi$. Именно эта запись позволяет не только понять, что приближение многочленом Тейлора работает, но и численно оценить, насколько оно точно. Ниже разберём формулировку, вывод и практическое применение остаточного члена в форме Лагранжа.

Многочлен Тейлора и постановка задачи

Пусть функция $f$ имеет в точке $a$ производные до порядка $n$ включительно. Многочленом Тейлора порядка $n$ называют

$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.$

Этот многочлен «склеен» с функцией в точке $a$: их значения и все производные до порядка $n$ там совпадают. Поэтому вблизи $a$ график $P_n$ прижимается к графику $f$. Но при $x \neq a$ совпадение нарушается, и разность

$R_n(x) = f(x) - P_n(x)$

называют остаточным членом. Вся теорема Тейлора - это утверждение о том, как устроен $R_n(x)$. Существует несколько эквивалентных форм записи остатка (Пеано, Лагранжа, Коши, интегральная); форма Лагранжа выделяется тем, что даёт пригодную для вычислений мажоранту погрешности.

Tool: оценка остаточного члена Лагранжа

Подставить функцию, точку разложения, порядок $n$ и нужное $x$ в формулу Лагранжа и аккуратно оценить $|R_n|$ вручную - задача, где легко ошибиться в факториале или в границе для $(n+1)$-й производной. Форма ниже собирает корректную постановку: выбираешь функцию (или вписываешь свою), точку $a$, порядок $n$ и точку $x$ - и получаешь разбор с формулой остаточного члена Лагранжа, оценкой $|R_n(x)|$ и сравнением с фактической ошибкой.

Формулировка: остаточный член в форме Лагранжа

Пусть $f$ имеет на отрезке между $a$ и $x$ непрерывную производную порядка $n$, а на интервале - производную порядка $n+1$. Тогда найдётся точка $\xi$, лежащая строго между $a$ и $x$, такая что

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}.$

Это и есть теорема Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Слагаемое выглядит как «следующий, $(n+1)$-й член» разложения, но с одним отличием: производная берётся не в точке $a$, а в неизвестной промежуточной точке $\xi$. Положение $\xi$ зависит и от $x$, и от $n$, и в общем случае его явно не найти - но для оценки погрешности это и не требуется. Полная формула Тейлора принимает вид

$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.$

Частный случай $n = 0$ - это в точности теорема Лагранжа о среднем (формула конечных приращений): $f(x) = f(a) + f'(\xi)(x-a)$. Поэтому остаточный член Лагранжа естественно считать обобщением теоремы о среднем на многочлен Тейлора любого порядка. Если разложение ведут в окрестности нуля ($a = 0$), его называют формулой Маклорена, а $\xi$ записывают как $\theta x$ при $0 < \theta < 1$.

Вывод через теорему Коши о среднем

Остаточный член Лагранжа выводится из теоремы Коши о среднем (или, эквивалентно, через повторное применение теоремы Ролля). Зафиксируем $x$ и рассмотрим вспомогательную функцию аргумента $t$:

$g(t) = f(x) - \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k.$

Прямое дифференцирование даёт телескопическое сокращение: $g'(t) = -\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n$. Вместе со второй функцией $h(t) = (x-t)^{n+1}$ применяем теорему Коши на отрезке $[a, x]$. Поскольку $g(x) = 0$, а $g(a) = R_n(x)$, и $h(x) = 0$, $h(a) = (x-a)^{n+1}$, получаем равенство отношений приращений отношению производных в некоторой точке $\xi$. После подстановки $g'$ и $h'(t) = -(n+1)(x-t)^n$ множители $(x-\xi)^n$ сокращаются - и остаётся ровно лагранжева форма. Именно сокращение степени $(x-\xi)^n$ объясняет, почему в ответе нет неизвестной $\xi$ в показателе: она входит только через производную $f^{(n+1)}(\xi)$.

Оценка погрешности приближения

Практическая ценность формы Лагранжа - в оценке погрешности. Хотя $\xi$ неизвестна, она заперта между $a$ и $x$. Если на этом отрезке $\bigl|f^{(n+1)}(t)\bigr| \le M_{n+1}$, то

$|R_n(x)| \le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\,|x-a|^{n+1}.$

Это и есть рабочая мажоранта: верхняя оценка ошибки приближения функции многочленом Тейлора. Чтобы ею воспользоваться, достаточно найти границу $(n+1)$-й производной на отрезке - точное значение $\xi$ не нужно. Например, для $f(x) = e^x$ все производные равны $e^x$, и на отрезке $[0, x]$ при $x > 0$ имеем $M_{n+1} = e^x$, откуда $|R_n(x)| \le \dfrac{e^x}{(n+1)!}x^{n+1}$. Факториал в знаменателе растёт быстрее любой степени, поэтому при фиксированном $x$ оценка стремится к нулю с ростом $n$ - это и доказывает сходимость ряда Тейлора экспоненты к самой функции.

Из формулы видно и качественное правило: ошибка ведёт себя как $O\bigl((x-a)^{n+1}\bigr)$. Поэтому многочлен Тейлора тем точнее, чем ближе $x$ к точке разложения и чем выше порядок $n$ (при условии, что производные не растут слишком быстро).

Связь с остаточным членом Пеано

Форму Лагранжа полезно отличать от формы Пеано $R_n(x) = o\bigl((x-a)^n\bigr)$ при $x \to a$. Пеано - асимптотическое утверждение: оно описывает поведение остатка только в пределе при $x \to a$ и требует лишь существования $f^{(n)}(a)$. Форма Лагранжа сильнее: она даёт равенство при любом фиксированном $x$ из окрестности, но требует существования производной порядка $n+1$ на интервале. Грубо: Пеано отвечает на вопрос «как быстро ошибка убывает вблизи точки» (нужна для пределов и асимптотик), а Лагранж - «насколько велика ошибка при конкретном $x$» (нужна для численных оценок). Третья распространённая запись - интегральный остаток $R_n(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)\,dt$, из которого по теореме о среднем тоже получается лагранжева форма.

Пример: приближение синуса

Возьмём $f(x) = \sin x$, разложение в нуле ($a = 0$), и оценим точность многочлена $P_3(x) = x - \dfrac{x^3}{6}$ при $x = 0{,}5$. Здесь $n = 3$, а четвёртая производная - $f^{(4)}(x) = \sin x$, так что $\bigl|f^{(4)}(\xi)\bigr| \le 1$ для любой $\xi$. По формуле Лагранжа

$|R_3(0{,}5)| \le \frac{1}{4!}\,(0{,}5)^4 = \frac{0{,}0625}{24} \approx 0{,}0026.$

Фактическая ошибка $|\sin 0{,}5 - P_3(0{,}5)| \approx 0{,}00026$ - на порядок меньше оценки, и это нормально: мажоранта намеренно завышена, ведь мы заменили $\sin\xi$ на единицу. Для синуса оценку легко улучшить, заметив, что чётные члены Маклорена нулевые, поэтому $P_3 = P_4$ и реально работает остаток порядка $n = 4$ с границей $(0{,}5)^5/5!$. Этот приём - учитывать обнуляющиеся члены - типичен при оценках через остаточный член Лагранжа.

Частые ошибки

• Считают $\xi$ известной или равной $a$. Точка $\xi$ - промежуточная и в общем случае неизвестна; в производной $(n+1)$-го порядка стоит именно $\xi$, а не $a$. Подстановка $a$ превращает остаток в обычный «следующий член» и портит равенство.
• Путают порядок производной в остатке. В $R_n$ стоит производная порядка $n+1$ и факториал $(n+1)!$, а не $n$ и $n!$. Многочлен обрывается на $n$-м члене, остаток начинается со следующего.
• Берут оценку $M_{n+1}$ не на том отрезке. Границу $(n+1)$-й производной нужно искать на всём отрезке между $a$ и $x$, а не только в точке $a$ или $x$ - иначе мажоранта может оказаться заниженной и неверной.
• Применяют форму Лагранжа без нужной гладкости. Формула требует существования производной порядка $n+1$ на интервале; для менее гладких функций пригодна только форма Пеано.
• Смешивают Лагранжа и Пеано. Запись $o((x-a)^n)$ нельзя использовать для численной оценки при фиксированном $x$ - это утверждение о пределе, а не о конкретной величине ошибки.

FAQ

Чем форма Лагранжа лучше формы Пеано? Лагранж даёт явную, вычислимую верхнюю границу погрешности при любом фиксированном $x$, тогда как Пеано описывает лишь асимптотику остатка при $x \to a$. Для численных оценок ошибки нужна именно форма Лагранжа.

Как найти промежуточную точку $\xi$? В общем случае её не находят и не требуется: для оценки погрешности достаточно знать, что $\xi$ лежит между $a$ и $x$, и оценить там $(n+1)$-ю производную сверху числом $M_{n+1}$.

Связан ли остаточный член Лагранжа с теоремой Лагранжа о среднем? Да. При $n = 0$ формула Тейлора с остатком Лагранжа в точности совпадает с формулой конечных приращений $f(x) = f(a) + f'(\xi)(x-a)$, поэтому остаток Лагранжа - её обобщение на многочлен любого порядка.

Коротко

Теорема Тейлора заменяет гладкую функцию многочленом $P_n(x)$, а остаточный член в форме Лагранжа записывает ошибку как $R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ с неизвестной промежуточной точкой $\xi$ между $a$ и $x$. Эта форма выводится из теоремы Коши о среднем и при $n = 0$ совпадает с теоремой Лагранжа о среднем. Её главная польза - мажоранта погрешности $|R_n(x)| \le \dfrac{M_{n+1}}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, где $M_{n+1}$ - граница $(n+1)$-й производной на отрезке: точное $\xi$ для оценки не нужно. Факториал в знаменателе обеспечивает быстрое убывание остатка и сходимость ряда Тейлора для функций вроде экспоненты и синуса.