Тригонометрические неравенства на окружности: метод дуг

Простейшее тригонометрическое неравенство вида $\sin x > a$ или $\cos x < a$ нельзя решить обычным алгебраическим переносом слагаемых - у него бесконечно много решений, повторяющихся с периодом $2\pi$. Чтобы увидеть все эти решения сразу и записать их одной формулой, используют единичную окружность: неравенство превращается в вопрос "какая дуга окружности лежит выше (или ниже) заданного уровня". Ниже разберём метод дуг по шагам - для строгих и нестрогих неравенств с синусом и косинусом - и научимся находить границы через arcsin и arccos. Чтобы сразу увидеть, как дуга решения меняется вместе со значением a, покрутите калькулятор ниже: он подсвечивает дугу и на окружности, и на графике функции.

Почему окружность, а не график

Единичная окружность - это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Каждому углу $x$ (в радианах) соответствует ровно одна точка на этой окружности с координатами $(\cos x,\ \sin x)$. Значит, неравенство $\sin x > a$ - это вопрос про $y$-координату точки: при каких углах $x$ точка лежит выше горизонтальной прямой $y = a$. Аналогично $\cos x < a$ спрашивает, при каких $x$ точка лежит левее вертикальной прямой $x = a$.

Рассчитать для своей задачи

Прямая пересекает окружность в двух точках (если $|a| < 1$), значит, окружность делится на две дуги - одна лежит выше прямой, другая ниже. Нужная дуга и есть визуальное представление множества решений на одном периоде. Всё, что остаётся - назвать границы этой дуги числами и добавить период $2\pi n$, чтобы учесть все обороты вокруг окружности.

Неравенство sin x больше a

Первый шаг - найти главное значение $x_0 = \arcsin a$, определённое при $a \in [-1;\, 1]$ и лежащее в диапазоне $[-\pi/2;\, \pi/2]$. Это тот самый угол, при котором $\sin x_0 = a$ и который проще всего найти на верхней половине окружности. Вторая точка пересечения прямой $y=a$ с окружностью симметрична первой относительно вертикальной оси и равна $\pi - x_0$.

Дуга, где синус больше $a$, лежит между этими двумя точками - "над" уровневой линией:

$$x \in (\arcsin a + 2\pi n;\ \pi - \arcsin a + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Если неравенство нестрогое, $\sin x \ge a$, обе границы включаются в ответ - меняются только скобки на квадратные, сама дуга и её концы остаются теми же. При $a = -1$ дуга занимает почти всю окружность, при $a \to 1$ стягивается в точку - неравенство $\sin x > 1$ решений не имеет вовсе, потому что синус никогда не превышает единицу.

Неравенство sin x меньше a

Здесь нужна вторая, "нижняя" дуга - та, что лежит под прямой $y=a$. Её удобно описать через ту же точку $\arcsin a$, но обходя окружность в другую сторону:

$$x \in (-\pi - \arcsin a + 2\pi n;\ \arcsin a + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Легко проверить эквивалентность: сумма длин верхней и нижней дуги должна давать полную окружность $2\pi$, а сумма левой и правой границ у каждой из формул завязана на один и тот же $\arcsin a$, только с разным знаком при $\pi$. Частые ошибки происходят именно тут - на смене знака при переходе от "больше" к "меньше" студенты забывают, что нижняя дуга начинается не в нуле, а сдвинута на $-\pi$.

Неравенство cos x больше a и cos x меньше a

Для косинуса роль уровневой линии играет не горизонтальная, а вертикальная прямая $x=a$, а главное значение - $\arccos a$, лежащее в диапазоне $[0;\, \pi]$ (в отличие от arcsin, у arccos область значений - верхняя полуокружность целиком, без разбиения на знак). Дуга правее вертикальной прямой (там, где косинус больше $a$) симметрична относительно горизонтальной оси:

$$x \in (-\arccos a + 2\pi n;\ \arccos a + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Для обратного неравенства $\cos x < a$ решением служит дуга левее прямой:

$$x \in (\arccos a + 2\pi n;\ 2\pi - \arccos a + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Рассчитать для своей задачи

На иллюстрации видно, что дуга решения всегда ограничена именно точками пересечения уровневой линии с окружностью - никакой другой способ найти границы (кроме таблицы значений в паре стандартных углов) для произвольного $a$ не подходит, поэтому arcsin и arccos - не формальность, а единственный универсальный инструмент.

Рассчитать для своей задачи

Пример решения типовой задачи

Решим неравенство $\sin x > \dfrac{1}{2}$. Находим главное значение:

$$x_0 = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Вторая граница дуги - симметричная точка $\pi - x_0 = \pi - \pi/6 = 5\pi/6$. Дуга, где синус больше $1/2$, лежит между этими углами (верхняя дуга, ближе к вершине окружности), поэтому ответ:

$$x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Проверка на числовой оси: длина дуги равна $5\pi/6 - \pi/6 = 2\pi/3$ - это ровно треть полной окружности ($120°$ из $360°$), что совпадает с интуицией: чем выше проведена уровневая линия $y=1/2$, тем меньше верхняя дуга. Аналогично для неравенства $\cos x < -1/2$ главное значение $\arccos(-1/2) = 2\pi/3$, а ответ - $x \in (2\pi/3 + 2\pi n;\ 4\pi/3 + 2\pi n)$; эта дуга тоже занимает треть окружности, но лежит левее вертикальной прямой $x=-1/2$.

Частые ошибки

• Перепутанная дуга. Самая частая ошибка - взять "не ту" дугу: например, для $\sin x > a$ отметить нижнюю дугу вместо верхней. Простое правило: рисуйте окружность и стрелку "куда смотрит знак неравенства" - вверх для больше, вниз для меньше (для sin), вправо/влево для cos.
• Забытый период. Ответ без $+2\pi n$ описывает только один оборот и считается неполным - тригонометрическое неравенство почти всегда имеет бесконечно много решений.
• Неверный тип скобки. Для строгого неравенства ($>$, $<$) границы дуги не входят в ответ (круглые скобки), для нестрогого ($\ge$, $\le$) - входят (квадратные). Механическая копия скобок из предыдущей задачи - типичная невнимательность.
• Область значений arccos перепутана с arcsin. $\arcsin a \in [-\pi/2;\, \pi/2]$, а $\arccos a \in [0;\, \pi]$ - если по ошибке взять для косинуса формулу через arcsin, знаки границ съезжают.
• Проверка $|a| > 1$ пропущена. Если правая часть неравенства по модулю больше единицы, решение либо пустое множество, либо все $x$ - в зависимости от знака неравенства; это стоит проверять первым делом, до вычисления arcsin/arccos.

FAQ

Как решить неравенство sin x > a на единичной окружности? Найдите главное значение $\arcsin a$, отметьте на окружности прямую $y=a$ и подсветите дугу выше неё - её границы $\arcsin a$ и $\pi - \arcsin a$ дают ответ $x \in (\arcsin a + 2\pi n;\ \pi - \arcsin a + 2\pi n)$.

Чем отличается решение cos x < a от cos x > a? Меняется сторона от вертикальной прямой $x=a$: для "больше" берут дугу справа (между $-\arccos a$ и $\arccos a$), для "меньше" - дугу слева (между $\arccos a$ и $2\pi - \arccos a$).

Что делать, если в неравенстве стоит знак ≥ или ≤? Формулы границ дуги не меняются - меняется только тип скобки в ответе: строгое неравенство даёт открытый промежуток, нестрогое - закрытый (границы, где функция равна $a$, тоже входят в решение).

Коротко

Тригонометрическое неравенство $\sin x \lessgtr a$ или $\cos x \lessgtr a$ решается через единичную окружность: уровневая линия $y=a$ (для sin) или $x=a$ (для cos) делит окружность на две дуги, и нужная дуга определяется знаком неравенства. Границы дуги находятся через $\arcsin a$ или $\arccos a$, а полный ответ обязательно включает период $+2\pi n$. Тип скобки в ответе - открытая для строгого неравенства, закрытая для нестрогого - определяется тем, входят ли граничные точки дуги в решение.