Уравнение директрис гиперболы: общая формула и вывод

Уравнение директрис гиперболы чаще всего дают в частном виде - для гиперболы с центром в начале координат, у которой оси симметрии совпадают с координатными. Но на практике гипербола редко расположена так удобно: её центр может быть сдвинут, а сама кривая - развёрнута на произвольный угол. Ниже разберём, как вывести именно общую формулу директрис: сначала для канонического случая, потом для гиперболы со смещённым центром и, наконец, для случая, когда общее уравнение кривой второго порядка нужно сначала привести к каноническому виду поворотом осей. Чтобы сразу увидеть, как директрисы едут и поворачиваются вслед за гиперболой, покрути калькулятор ниже.

Каноническое уравнение и вывод формулы директрис

Начнём с простого случая - канонической гиперболы

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,$

где $a$ - действительная полуось, $b$ - мнимая. Фокусы лежат в точках $(\pm c, 0)$, где

$c = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad e = \frac{c}{a} > 1.$

Директрисы гиперболы - это две прямые, перпендикулярные действительной оси и симметричные относительно центра. Их уравнение получают из фокально-директориального свойства: для любой точки гиперболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы постоянно и равно $e$. Решая это условие относительно положения прямой, получают

$x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{a}{e}.$

Удобно ввести отдельное обозначение для этой величины - фокальный (директориальный) параметр $p = a^2/c$. Тогда уравнение директрис короче всего записывается как $x = \pm p$, а сам параметр показывает, что директриса всегда ближе к центру, чем вершина: поскольку $e > 1$, то $p = a/e < a$.

Уравнение директрис для гиперболы со смещённым центром

Если центр гиперболы не в начале координат, а в точке $(x_0, y_0)$, а оси симметрии по-прежнему параллельны координатным, уравнение самой кривой становится

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.$

Формула директрис при этом переносится буквально - меняются только координаты, от которых отсчитывается расстояние:

$x = x_0 \pm \frac{a^2}{c} = x_0 \pm p.$

То есть обе директрисы просто сдвигаются вместе с центром на ту же величину, что и сама гипербола, оставаясь вертикальными прямыми на прежнем расстоянии $p$ от нового центра. Это первое обобщение канонической формулы: уравнение директрис зависит не от глобального положения кривой, а только от её формы (то есть от $a$ и $b$) и от того, где находится центр.

Общее уравнение директрис: сдвиг и поворот

Второе, более общее обобщение нужно, когда оси гиперболы повёрнуты относительно $Ox$ на некоторый угол $\varphi$ - например, когда гипербола задана не в удобных, а в произвольных координатах общим уравнением второй степени. Введём собственные (локальные) оси гиперболы $x', y'$, направленные вдоль трансверсальной и сопряжённой осей. В этих осях уравнение по-прежнему каноническое, $x'^2/a^2 - y'^2/b^2 = 1$, а переход к исходным координатам задаётся поворотом и сдвигом:

$x = x_0 + x'\cos\varphi - y'\sin\varphi, \qquad y = y_0 + x'\sin\varphi + y'\cos\varphi.$

Рассчитать для своей задачи

Единичный вектор трансверсальной оси в исходных координатах равен $u = (\cos\varphi, \sin\varphi)$ - это и есть нормаль к каждой директрисе. Директриса в локальных осях задаётся условием $x' = \pm p$, а условие $x' = \text{const}$ в исходных координатах - это в точности скалярное произведение радиус-вектора точки (от центра) на вектор $u$. Отсюда получается общая формула, работающая для гиперболы в любом положении на плоскости:

$\cos\varphi\,(x - x_0) + \sin\varphi\,(y - y_0) = \pm \frac{a^2}{c}.$

Это и есть уравнение директрис гиперболы в самом общем виде: при $\varphi = 0$ и $x_0 = y_0 = 0$ оно сворачивается обратно в привычное $x = \pm a^2/c$, а при повороте или сдвиге центра директрисы просто поворачиваются или едут вместе с самой кривой - расстояние $p$ от центра до каждой директрисы вдоль трансверсальной оси не меняется.

Рассчитать для своей задачи

Приведение общего уравнения к каноническому виду

Если гипербола задана общим уравнением второй степени

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

с условием $B^2 - 4AC > 0$ (это и есть признак гиперболы среди конических сечений), угол поворота собственных осей находят из условия обнуления слагаемого с $xy$ в новых координатах - это стандартная задача линейной алгебры о приведении квадратичной формы к каноническому виду через собственные значения матрицы

$\begin{pmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{pmatrix}.$

Угол поворота $\varphi$ находится из уравнения $\tan 2\varphi = \dfrac{B}{A - C}$ (при $A = C$ берут $\varphi = \pi/4$), после чего уравнение переходит в каноническую форму с новыми полуосями $a$ и $b$, вычисленными через собственные значения матрицы и свободный член. Дальше действует уже разобранная выше общая формула: зная $x_0$, $y_0$, $\varphi$, $a$ и $c$, сразу пишем уравнение директрис $\cos\varphi\,(x - x_0) + \sin\varphi\,(y - y_0) = \pm a^2/c$. Именно этот угол $\varphi$ и центр $(x_0, y_0)$ (координаты центра симметрии кривой, где обращаются в нуль обе частные производные левой части по $x$ и по $y$) - те два числа, которые нужно найти в общем случае, всё остальное уже дают полуоси и эксцентриситет.

Связь директрис с фокусами и эксцентриситетом

Три величины $a$, $c$, $e = c/a$ связаны так, что зная любые две, легко найти директрисы:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad p = \frac{a^2}{c} = \frac{a}{e}.$

Порядок точек вдоль трансверсальной оси от центра всегда один и тот же: сначала директриса на расстоянии $p$, затем вершина на расстоянии $a$, затем фокус на расстоянии $c$ - потому что $p < a < c$ при $e > 1$. Это удобная проверка правильности вычислений в любой задаче: если после подстановки директриса оказалась дальше вершины, где-то перепутаны формулы.

Пример решения типовой задачи

Разберём задачу со смещённым центром: дана гипербола $\dfrac{(x-2)^2}{9} - \dfrac{(y-1)^2}{16} = 1$, оси которой параллельны координатным (поворота нет, $\varphi = 0$). Нужно найти уравнения директрис в исходной системе координат.

Сначала читаем параметры из уравнения: центр $(x_0, y_0) = (2, 1)$, $a^2 = 9$ (значит $a = 3$), $b^2 = 16$ (значит $b = 4$). Находим фокальное расстояние:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$

Директориальный параметр:

$p = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{5} = 1{,}8.$

Поскольку поворота нет ($\cos\varphi = 1$, $\sin\varphi = 0$), общая формула $\cos\varphi\,(x-x_0)+\sin\varphi\,(y-y_0) = \pm p$ упрощается до сдвинутой канонической:

$x - 2 = \pm 1{,}8 \quad\Longrightarrow\quad x = 2 \pm 1{,}8,$

то есть директрисы - это прямые $x = 3{,}8$ и $x = 0{,}2$. Проверка порядка: директриса $x = 3{,}8$ ближе к центру $x_0=2$ (расстояние $1{,}8$), чем вершина $x = 2+3 = 5$ (расстояние $3$), а фокус $x=2+5=7$ (расстояние $5$) - дальше всех. Порядок соблюдён, расчёт верный.

Частые ошибки

• Забыть про сдвиг центра. Формула $x = \pm a^2/c$ работает только для центра в начале координат. Если центр в точке $(x_0, y_0)$, директрисы задаются условием $x - x_0 = \pm a^2/c$, а не $x = \pm a^2/c$.
• Игнорировать поворот осей. Если гипербола задана общим уравнением с ненулевым коэффициентом при $xy$, нельзя сразу писать вертикальные директрисы - сначала нужно найти угол поворота собственных осей $\varphi$, и только потом директрисы окажутся перпендикулярны повёрнутой трансверсальной оси, а не оси $Oy$.
• Путать нормаль директрисы с направлением самой прямой. В общей формуле $\cos\varphi\,(x-x_0)+\sin\varphi\,(y-y_0)=\pm p$ вектор $(\cos\varphi,\sin\varphi)$ - это нормаль к директрисе (направление трансверсальной оси), а сама директриса перпендикулярна этому вектору.
• Перепутать знак параметра c для гиперболы и эллипса. Для гиперболы $c = \sqrt{a^2+b^2}$, для эллипса $c=\sqrt{a^2-b^2}$ - подстановка не той формулы даёт неверный эксцентриситет и, как следствие, неверные директрисы.
• Эксцентриситет меньше единицы. Для гиперболы всегда $e = c/a > 1$, поэтому директориальный параметр $p = a/e$ всегда меньше $a$. Если получилось $p > a$, где-то ошибка в вычислении $c$.

FAQ

Как записать уравнение директрис гиперболы, если центр смещён в точку (x0, y0)? Нужно сдвинуть каноническую формулу вместе с центром: $x - x_0 = \pm a^2/c$, где $c = \sqrt{a^2+b^2}$. Если оси гиперболы ещё и повёрнуты на угол $\varphi$, общая формула становится $\cos\varphi\,(x-x_0)+\sin\varphi\,(y-y_0) = \pm a^2/c$.

Что делать, если гипербола задана общим уравнением второй степени с членом xy? Сначала нужно привести уравнение к каноническому виду - найти угол поворота собственных осей $\varphi$ из условия $\tan 2\varphi = B/(A-C)$ и координаты центра, а затем воспользоваться той же общей формулой директрис через $a$, $c$, $\varphi$ и центр.

От чего зависит расстояние от центра до директрисы? Только от формы гиперболы - от полуосей $a$ и $b$, через параметр $p = a^2/c = a/e$. Положение и поворот гиперболы на плоскости (величины $x_0$, $y_0$, $\varphi$) на это расстояние не влияют, они лишь переносят и поворачивают саму директрису вместе с кривой.

Коротко

Уравнение директрис гиперболы в общем виде записывается как $\cos\varphi\,(x-x_0)+\sin\varphi\,(y-y_0) = \pm a^2/c$, где $(x_0, y_0)$ - центр гиперболы, $\varphi$ - угол поворота трансверсальной оси, а $a^2/c = a/e$ - директориальный параметр, зависящий только от формы кривой. Для центра в начале координат без поворота формула сворачивается в привычное $x = \pm a^2/c$; для общего уравнения кривой второй степени $\varphi$ и центр сначала находят приведением к каноническому виду, а дальше действует та же формула.