Выборочный коэффициент корреляции: формула и расчёт

Выборочный коэффициент корреляции - это число от минус единицы до единицы, которое показывает, насколько тесно связаны две количественные переменные по данным конкретной выборки. Его считают, когда есть парные наблюдения (рост и вес, время и выручка, температура и давление) и нужно понять, есть ли между ними линейная зависимость, и насколько она сильна. В отличие от «истинного» коэффициента корреляции генеральной совокупности, который обычно неизвестен, выборочный коэффициент вычисляется по конкретным $n$ парам чисел и служит его оценкой. Ниже разберём формулу, пошаговый расчёт через таблицу отклонений и типичные ошибки. Чтобы сразу увидеть, как разброс точек и знак связи меняют коэффициент, покрути калькулятор ниже - он строит диаграмму рассеяния и линию регрессии по тем же формулам, что разбираются дальше.

Что показывает выборочный коэффициент корреляции

Пусть есть $n$ пар наблюдений $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$. Выборочный коэффициент корреляции $r$ оценивает силу и направление линейной связи между $X$ и $Y$:

• $r = 1$ - точная прямая линейная связь (все точки лежат на возрастающей прямой);
• $r = -1$ - точная обратная линейная связь (точки на убывающей прямой);
• $r = 0$ - линейной связи нет (это не значит, что связи нет вообще: может быть сильная нелинейная зависимость);
• промежуточные значения показывают, насколько плотно точки группируются вокруг некоторой прямой.

Важно помнить: $r$ измеряет именно линейную связь. Если точки образуют идеальную параболу, коэффициент корреляции может оказаться близким к нулю, хотя зависимость между переменными строгая - просто она не линейна.

На практике выборочный коэффициент корреляции считают в самых разных задачах: связь роста и веса в биометрии, зависимость выручки от расходов на рекламу в экономике, корреляция урожайности и количества осадков в агрономии, связь оценок по двум предметам в педагогике. Во всех этих случаях у исследователя есть не вся генеральная совокупность, а лишь ограниченная выборка наблюдений - поэтому и коэффициент называют выборочным: он оценивает истинную (генеральную) степень связи по доступным данным, и эта оценка сама по себе является случайной величиной, точность которой растёт с увеличением объёма выборки $n$.

Формула выборочного коэффициента корреляции

Чаще всего используют формулу через суммы отклонений от выборочных средних:

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\, S_{yy}}},$

где

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}), \qquad S_{xx} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2, \qquad S_{yy} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2,$

а $\bar{x}$ и $\bar{y}$ - выборочные средние $X$ и $Y$. Величина $S_{xy}$ называется выборочной ковариацией (с точностью до деления на $n-1$), а $S_{xx}$ и $S_{yy}$ - суммами квадратов отклонений, из которых получаются выборочные дисперсии. Формула - это, по сути, косинус угла между центрированными векторами наблюдений, поэтому $r$ всегда лежит в пределах $[-1, 1]$: это гарантирует неравенство Коши-Буняковского.

Как посчитать вручную: таблица отклонений

Расчёт удобно вести по шагам в таблице с колонками $x_i$, $y_i$, $x_i - \bar{x}$, $y_i - \bar{y}$, их произведением и квадратами каждого отклонения:

Рассчитать для своей задачи

1. Найти средние $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$ и $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum y_i$.
2. Для каждой точки вычислить отклонения $x_i - \bar{x}$ и $y_i - \bar{y}$.
3. Перемножить отклонения в каждой строке и просуммировать - это даст $S_{xy}$.
4. Возвести каждое отклонение $x_i - \bar{x}$ в квадрат и просуммировать - получится $S_{xx}$; аналогично для $y$ - получится $S_{yy}$.
5. Подставить три суммы в формулу $r = S_{xy} / \sqrt{S_{xx} S_{yy}}$.

Знак $r$ определяется знаком $S_{xy}$: если бо́льшим значениям $x_i$ чаще соответствуют бо́льшие $y_i$ (отклонения одного знака), сумма произведений положительна и связь прямая. Если бо́льшим $x_i$ чаще соответствуют меньшие $y_i$, произведения по большей части отрицательны и связь обратная.

Рассчитать для своей задачи

Наглядно каждое слагаемое $(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$ можно представить как площадь прямоугольника со знаком: если точка находится в верхнем правом или нижнем левом «квадранте» относительно средних, прямоугольник положительный и усиливает прямую связь; если в верхнем левом или нижнем правом - отрицательный и тянет коэффициент к обратной связи.

Связь с линией регрессии и коэффициентом детерминации

Выборочный коэффициент корреляции тесно связан с коэффициентами линейной регрессии $y = b_0 + b_1 x$, построенной методом наименьших квадратов:

$b_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}.$

Квадрат коэффициента корреляции $r^2$ называется коэффициентом детерминации: он показывает, какую долю разброса $Y$ объясняет линейная зависимость от $X$. Например, при $r = 0{,}8$ коэффициент детерминации $r^2 = 0{,}64$ означает, что 64% вариации $Y$ объясняется линейной связью с $X$, а оставшиеся 36% приходятся на другие факторы и случайный разброс.

Рассчитать для своей задачи

Для качественной оценки силы связи по значению $|r|$ используют шкалу Чеддока: до $0{,}3$ - связь слабая или отсутствует, $0{,}3$-$0{,}5$ - слабая, $0{,}5$-$0{,}7$ - умеренная, $0{,}7$-$0{,}9$ - сильная (заметная и высокая), выше $0{,}9$ - весьма высокая. Шкала условна, но удобна для быстрой словесной интерпретации числа.

Пример решения типовой задачи

Даны пять пар наблюдений: $x$: 2, 4, 6, 8, 10 и $y$: 3, 7, 8, 12, 14. Найдём выборочный коэффициент корреляции.

Средние: $\bar{x} = (2+4+6+8+10)/5 = 6$, $\bar{y} = (3+7+8+12+14)/5 = 8{,}8$.

Отклонения по $x$: $-4, -2, 0, 2, 4$; отклонения по $y$: $-5{,}8, -1{,}8, -0{,}8, 3{,}2, 5{,}2$.

Произведения отклонений: $23{,}2;\ 3{,}6;\ 0;\ 6{,}4;\ 20{,}8$, сумма $S_{xy} = 54$.

Квадраты отклонений $x$: $16, 4, 0, 4, 16$, сумма $S_{xx} = 40$. Квадраты отклонений $y$: $33{,}64;\ 3{,}24;\ 0{,}64;\ 10{,}24;\ 27{,}04$, сумма $S_{yy} = 74{,}8$.

$r = \frac{54}{\sqrt{40 \cdot 74{,}8}} = \frac{54}{\sqrt{2992}} \approx \frac{54}{54{,}7} \approx 0{,}987.$

Значение очень близко к единице - связь весьма сильная и прямая: почти все точки лежат практически на одной прямой. Это согласуется с исходными данными: $y$ растёт почти пропорционально $x$.

Частые ошибки

• Деление на $n$ вместо использования сумм $S_{xx}, S_{yy}, S_{xy}$ напрямую. Если считать через выборочные дисперсии и ковариацию с делителем $n-1$, множители $n-1$ в числителе и знаменателе взаимно сокращаются - итоговое $r$ не изменится, но при ручном счёте забывают сократить и получают неверное промежуточное число.
• Путаница знака коэффициента. Знак $r$ равен знаку $S_{xy}$, а не знаку отдельных $x_i$ или $y_i$. Смотреть нужно на совместное поведение отклонений от среднего, а не на исходные значения.
• Интерпретация $r$ как доказательства причинности. Сильная корреляция не означает, что $X$ вызывает изменения $Y$ - возможна обратная причинность или влияние третьей переменной.
• Применение к нелинейной зависимости. Коэффициент Пирсона предназначен для линейных связей; для монотонных, но не линейных зависимостей лучше использовать ранговый коэффициент Спирмена.
• Игнорирование выбросов. Одна аномальная точка может сильно исказить $r$, особенно при малом $n$ - перед расчётом стоит визуально проверить диаграмму рассеяния.

FAQ

Чем выборочный коэффициент корреляции отличается от коэффициента корреляции генеральной совокупности? Коэффициент генеральной совокупности $\rho$ - теоретическая, обычно неизвестная величина. Выборочный коэффициент $r$ вычисляется по конкретным данным выборки и служит статистической оценкой $\rho$; при увеличении объёма выборки $r$ приближается к $\rho$.

Может ли выборочный коэффициент корреляции быть больше единицы по модулю? Нет, теоретически $|r| \le 1$ всегда, это следует из неравенства Коши-Буняковского. Если при ручном расчёте получилось $|r| > 1$, значит, где-то допущена арифметическая ошибка в суммах отклонений.

Как проверить, что выборочный коэффициент корреляции статистически значим? Строится t-статистика $t = r\sqrt{n-2} / \sqrt{1-r^2}$ с $n-2$ степенями свободы и сравнивается с критическим значением распределения Стьюдента при выбранном уровне значимости; если $|t|$ превышает критическое значение, связь считается значимой.

Коротко

Выборочный коэффициент корреляции $r = S_{xy} / \sqrt{S_{xx} S_{yy}}$ измеряет силу и направление линейной связи между двумя переменными по данным выборки, принимает значения от минус единицы до единицы и связан с коэффициентами линейной регрессии ($b_1 = S_{xy}/S_{xx}$) и коэффициентом детерминации $r^2$. Расчёт сводится к таблице отклонений от выборочных средних: их произведения дают числитель, а квадраты отклонений - знаменатель формулы.