Задачи на концентрацию и плотность газа: формулы и разбор

Концентрация молекул и плотность газа - две родственные, но разные величины: первая считает число частиц в единице объёма, вторая - массу вещества в том же объёме. В школьных и вузовских задачах их путают чаще всего, потому что обе выражаются через одни и те же параметры состояния - давление и температуру. Ниже разберём, как выводится формула концентрации из уравнения состояния идеального газа, как через неё получить плотность, и какие числа проверяют себя на калькуляторе - задай давление, температуру и газ, и оба значения пересчитаются сразу вместе с тремя графиками.

Что такое концентрация молекул газа

Концентрацией молекул $n$ называют число молекул $N$, приходящееся на единицу объёма $V$:

$n = \frac{N}{V}.$

Единица измерения - $\text{м}^{-3}$ (в задачах часто удобнее $\text{см}^{-3}$). Концентрация не говорит ничего о массе частиц - десять миллионов лёгких молекул водорода и десять миллионов тяжёлых молекул углекислого газа в одном и том же объёме дают ОДНУ и ТУ ЖЕ концентрацию. Это первое, что нужно держать в голове: концентрация - характеристика количества частиц, а не вещества.

Формула концентрации через давление и температуру

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с концентрацией и средней кинетической энергией молекул. Для практических задач удобнее его следствие - связь концентрации с давлением и температурой напрямую:

$p = nkT \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{p}{kT},$

где $k = 1{,}380649 \times 10^{-23}$ Дж/К - постоянная Больцмана, $T$ - абсолютная температура в кельвинах. Обратите внимание: в этой формуле нет молярной массы газа вообще. Значит, при одинаковых давлении и температуре концентрация молекул любого идеального газа одинакова - будь то водород, воздух или углекислый газ.

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому в задачах фраза «концентрация молекул газа» почти всегда решается через $p$ и $T$, а не через массу или молярную массу - те нужны только для следующего шага, для плотности.

Плотность газа и уравнение Клапейрона-Менделеева

Плотность $\rho$ - это масса единицы объёма, $\rho = m/V$. Чтобы связать её с концентрацией, достаточно умножить $n$ на массу одной молекулы $m_0$:

$\rho = n m_0.$

Массу одной молекулы находят через молярную массу $M$ и постоянную Авогадро $N_A = 6{,}02214076 \times 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$:

$m_0 = \frac{M}{N_A}.$

Подставив $n = p/(kT)$ и $m_0 = M/N_A$, а также заметив, что $R = N_A k$ - универсальная газовая постоянная ($R = 8{,}314$ Дж/(моль·К)), получаем плотность сразу через параметры состояния - это и есть плотностная форма уравнения Клапейрона-Менделеева:

$\rho = \frac{pM}{RT}.$

Рассчитать для своей задачи

В отличие от концентрации, плотность газа при заданных $p$ и $T$ разная для разных газов - потому что в формулу явно входит молярная масса $M$. Тяжёлый газ (например, углекислый) при тех же условиях плотнее лёгкого (например, водорода) в разы, хотя концентрация молекул у них одинаковая.

Связь концентрации и плотности через массу молекулы

Полезно помнить обратную задачу: если известна плотность газа и его молярная масса, концентрацию можно найти без давления и температуры вообще:

$n = \frac{\rho}{m_0} = \frac{\rho N_A}{M}.$

Это удобно, когда в условии сразу дана плотность (например, «плотность газа при нормальных условиях равна...») - не нужно отдельно искать давление и температуру, если они не спрашиваются в ответе. Такая перестановка формул - типичный приём в задачах на концентрацию и плотность: у вас всегда есть три способа получить $n$ или $\rho$, и выбор зависит от того, какие величины даны в условии.

Концентрация при нормальных условиях: число Лошмидта

Есть удобный ориентир для проверки порядка величины ответа. При нормальных условиях - давлении $p_0 = 101\,325$ Па (одна атмосфера) и температуре $T_0 = 273{,}15$ К - концентрация молекул любого идеального газа равна так называемому числу Лошмидта:

$n_0 = \frac{p_0}{kT_0} \approx 2{,}69 \times 10^{25}\ \text{м}^{-3}.$

Если в вашей задаче давление и температура близки к нормальным, ответ для концентрации должен получаться того же порядка - $10^{25}$-$10^{26}\ \text{м}^{-3}$. Ответ порядка $10^{20}$ или $10^{30}$ почти наверняка означает ошибку в переводе единиц (см³ вместо м³ или атмосферы вместо паскалей). Для плотности такого универсального ориентира нет, потому что она зависит от газа: у воздуха при нормальных условиях $\rho \approx 1{,}29$ кг/м³, у водорода - на порядок меньше, у углекислого газа - почти в полтора раза больше воздуха. Держать в голове хотя бы плотность воздуха полезно - она часто встречается как эталон сравнения в условиях задач («газ легче воздуха», «газ тяжелее воздуха»).

Пример решения типовой задачи

Найдём плотность и концентрацию молекул кислорода при давлении $p = 200$ кПа и температуре $t = 27\ °C$.

Переводим температуру в кельвины:

$T = 27 + 273 = 300\ \text{К}.$

Считаем концентрацию по основной формуле:

$n = \frac{p}{kT} = \frac{200\,000}{1{,}38\times10^{-23} \cdot 300} \approx 4{,}83\times10^{25}\ \text{м}^{-3}.$

Молярная масса кислорода $M = 32$ г/моль $= 0{,}032$ кг/моль. Считаем плотность:

$\rho = \frac{pM}{RT} = \frac{200\,000 \cdot 0{,}032}{8{,}314 \cdot 300} \approx 2{,}57\ \text{кг/м}^3.$

Проверка через массу молекулы: $m_0 = M/N_A = 0{,}032/6{,}02\times10^{23} \approx 5{,}31\times10^{-26}$ кг, тогда $\rho = n m_0 \approx 4{,}83\times10^{25}\cdot 5{,}31\times10^{-26} \approx 2{,}57$ кг/м³ - числа совпали, значит расчёт верен. Такую же последовательность шагов калькулятор выше проделывает мгновенно для любого газа и любых условий.

Частые ошибки

• Подстановка температуры в градусах Цельсия. Обе формулы, $n = p/(kT)$ и $\rho = pM/(RT)$, работают только с абсолютной температурой. Перед расчётом переводите: $T_K = t_{°C} + 273{,}15$.
• Путаница молярной и молекулярной массы. $M$ - масса одного моля (г/моль или кг/моль), $m_0$ - масса одной молекулы (кг). Забыть разделить на постоянную Авогадро - частая причина ответа, отличающегося на 23 порядка.
• Мнение, что концентрация зависит от газа. При одинаковых $p$ и $T$ концентрация молекул одинакова у всех идеальных газов - в формулу $n = p/(kT)$ молярная масса не входит вообще.
• Использование давления не в паскалях. Если в условии дано давление в кПа или атмосферах, а постоянная Больцмана и газовая постоянная берутся в СИ, результат разъедется на порядки - переводите давление в паскали.
• Забытая единица объёма при переходе см³ ↔ м³. Концентрация в см⁻³ и м⁻³ отличается в $10^6$ раз - при сравнении с табличными значениями это частый источник ошибки в ответе.

FAQ

Зависит ли концентрация молекул газа от его молярной массы? Нет. Концентрация $n = p/(kT)$ определяется только давлением и температурой. При одинаковых условиях у водорода и углекислого газа концентрация молекул одна и та же - молярная масса в формулу не входит.

Как найти плотность газа, если известна только концентрация? Умножьте концентрацию на массу одной молекулы: $\rho = n m_0 = n M/N_A$. Масса молекулы находится делением молярной массы на постоянную Авогадро.

Почему при одинаковых давлении и температуре плотности разных газов отличаются? Потому что плотность - это масса единицы объёма, а масса зависит от молярной массы газа: $\rho = pM/(RT)$. Концентрация молекул при этом одинакова, но каждая молекула весит по-разному.

Коротко

Концентрация молекул газа $n = p/(kT)$ зависит только от давления и температуры и одинакова для любого идеального газа при одних условиях. Плотность $\rho = n m_0 = pM/(RT)$ дополнительно зависит от молярной массы газа через массу одной молекулы $m_0 = M/N_A$. Перед подстановкой в обе формулы температуру переводят в кельвины, а давление - в паскали; проверить результат легко пересчётом через обратную связь $n = \rho/m_0$.