Закон Бойля-Мариотта: формула и разбор задач

Закон Бойля-Мариотта - один из первых газовых законов, с которым встречаются студенты: при постоянной температуре и неизменном количестве газа произведение давления на объём остаётся постоянным. Формулировка простая, но именно в задачах на неё чаще всего путают, что с чем связано обратной пропорциональностью, забывают перевести единицы или подставляют не ту температуру. Ниже разберём, откуда берётся формула $p_1 V_1 = p_2 V_2$, почему график процесса - гипербола, как посчитать работу газа при изотермическом расширении или сжатии и где именно чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь давления и объёма, покрути калькулятор ниже: он держит температуру постоянной, а два прямоугольника разной формы на графике наглядно показывают, что их площадь - то есть произведение $p \cdot V$ - не меняется.

Формулировка закона Бойля-Мариотта

Закон назван в честь двух учёных, независимо открывших его в XVII веке: англичанина Роберта Бойля и француза Эдма Мариотта. Формулировка звучит так: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём есть величина постоянная:

$p V = \text{const} \quad (T = \text{const}, \; \nu = \text{const}).$

Процесс, при котором температура не меняется, называется изотермическим. Из постоянства произведения следует главное практическое следствие - если газ переходит из одного состояния в другое при той же температуре, то

$p_1 V_1 = p_2 V_2.$

Это и есть рабочая формула для решения задач: зная три из четырёх величин ($p_1$, $V_1$, $p_2$, $V_2$), всегда можно найти четвёртую. Важно, что закон работает только для идеального газа и только пока температура и количество вещества действительно не меняются - то есть сосуд герметичен, а процесс достаточно медленный, чтобы газ успевал обмениваться теплотой с окружением и не нагреваться от сжатия.

Вывод из уравнения состояния идеального газа

Закон Бойля-Мариотта - частный случай уравнения Менделеева-Клапейрона $pV = \nu R T$, где $\nu$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная. Запишем это уравнение для двух состояний одного и того же газа:

$p_1 V_1 = \nu R T_1, \qquad p_2 V_2 = \nu R T_2.$

Если процесс изотермический, то $T_1 = T_2$, и правые части обоих равенств совпадают. Значит, совпадают и левые:

$p_1 V_1 = \nu R T = p_2 V_2.$

Отсюда видно, почему в законе Бойля-Мариотта нет явной зависимости от температуры - она просто сокращается, оставаясь скрытой константой $\nu R T$. Это же выражение пригодится дальше при выводе работы газа: величина $p_1 V_1$ - это и есть $\nu R T$, только записанная через уже известные из условия задачи давление и объём.

Гипербола на p-V диаграмме

Если построить график зависимости давления от объёма при постоянной температуре, получится не прямая, а гипербола $p = K/V$, где $K = p_1 V_1$ - та самая константа. Чем меньше объём, тем выше должно быть давление, чтобы произведение осталось прежним, и наоборот.

Рассчитать для своей задачи

Наглядное свойство этой кривой: если для любых двух точек на ней построить прямоугольники со сторонами $V$ и $p$ (от осей до точки), эти прямоугольники будут выглядеть совершенно по-разному - один вытянут по горизонтали, другой по вертикали, - но их площади окажутся строго одинаковыми. Именно это и означает $p_1 V_1 = p_2 V_2$: не сами $p$ и $V$ равны, а их произведение.

Работа газа при изотермическом процессе

В отличие от изобарного процесса, где работа считается простым произведением $A = p\,\Delta V$, на изотерме давление меняется вместе с объёмом, и формулу нужно получать через интеграл:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\nu R T}{V} \, dV = \nu R T \ln \frac{V_2}{V_1}.$

Поскольку $\nu R T = p_1 V_1$ (это мы уже получили при выводе закона), формулу удобно переписать через данные конкретной задачи, не считая отдельно количество вещества:

$A = p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1}.$

Геометрически эта работа - площадь под гиперболой между $V_1$ и $V_2$, а не площадь прямоугольника $p \cdot V$ из предыдущего раздела: это разные фигуры, и их легко перепутать.

Рассчитать для своей задачи

Знак работы определяется направлением процесса. Если газ расширяется ($V_2 > V_1$), логарифм положителен и работа газа положительна - он толкает поршень наружу, а давление при этом падает. Если газ сжимают ($V_2 < V_1$), логарифм отрицателен, и работа газа отрицательна - работу над газом совершают внешние силы, а давление растёт.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: идеальный газ занимает объём $V_1 = 2$ л при давлении $p_1 = 200$ кПа. Его изотермически расширили до объёма $V_2 = 5$ л. Нужно найти установившееся давление и работу газа за процесс.

Сначала находим давление по закону Бойля-Мариотта:

$p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2} = \frac{200 \cdot 2}{5} = 80 \text{ кПа}.$

Дальше считаем работу. Переводим давление в паскали и объём в кубометры, чтобы получить джоули:

$p_1 V_1 = 200\,000 \text{ Па} \cdot 0{,}002 \text{ м}^3 = 400 \text{ Дж}.$

$A = p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} = 400 \cdot \ln \frac{5}{2} = 400 \cdot 0{,}916 \approx 366{,}5 \text{ Дж}.$

Проверка согласованности: $p_1 V_1 = 200 \cdot 2 = 400$ кПа·л и $p_2 V_2 = 80 \cdot 5 = 400$ кПа·л совпадают, как и требует закон. Если у вас эта проверка не проходит - где-то ошибка в переводе единиц или в подстановке. Калькулятор выше собирает такую же цепочку рассуждений автоматически.

Частые ошибки

• Смешивание единиц измерения. Формула $p_1 V_1 = p_2 V_2$ работает в любых одинаковых единицах для обоих состояний, но для работы газа в джоулях давление обязательно переводится в паскали, а объём - в кубометры. Забытый перевод даёт результат в тысячи раз меньше или больше правильного.
• Путаница с обратной пропорциональностью. Часто вместо $p_2 = p_1 V_1 / V_2$ по ошибке пишут $p_2 = p_1 V_2 / V_1$ - то есть считают давление прямо, а не обратно пропорциональным объёму. Проверяйте по смыслу: при сжатии объём падает, а давление обязано расти.
• Применение закона к неизотермическому процессу. Если по условию задачи температура меняется (например, газ параллельно нагревают), закон Бойля-Мариотта напрямую неприменим - нужно полное уравнение Менделеева-Клапейрона с учётом обеих температур.
• Путаница между площадью прямоугольника $p \cdot V$ и работой газа. Постоянство произведения $pV$ показывает равенство площадей двух прямоугольников от осей до точек 1 и 2. Работа же - это площадь под кривой между точками, другая фигура и другое число.
• Игнорирование утечки газа или изменения его количества. Закон верен только при постоянном количестве вещества $\nu$. Если сосуд неплотный или газ частично выходит наружу, произведение $pV$ не сохраняется.

FAQ

Как найти давление газа после изотермического сжатия? По закону Бойля-Мариотта $p_2 = p_1 V_1 / V_2$: умножьте начальное давление на начальный объём и разделите на конечный объём. При сжатии ($V_2 < V_1$) давление всегда получится больше начального.

Почему график закона Бойля-Мариотта - гипербола, а не прямая? Потому что $p$ и $V$ связаны обратной пропорциональностью $p = K/V$ при постоянном $K = p_1 V_1$, а не линейной зависимостью. На p-V диаграмме такая функция изображается именно гиперболой, приближающейся к осям, но никогда их не касающейся.

Чем работа газа при изотермическом процессе отличается от работы при изобарном? При изобарном процессе давление постоянно, и работа считается простым произведением $A = p \, \Delta V$. При изотермическом процессе давление меняется вместе с объёмом, поэтому работу нужно находить интегрированием, и итоговая формула содержит логарифм отношения объёмов: $A = p_1 V_1 \ln(V_2 / V_1)$.

Коротко

Закон Бойля-Мариотта описывает изотермический процесс идеального газа: при постоянной температуре произведение давления на объём не меняется, $p_1 V_1 = p_2 V_2$. График процесса на p-V диаграмме - гипербола, а работа газа за процесс равна $A = p_1 V_1 \ln(V_2/V_1)$ - площади под этой кривой между начальным и конечным состояниями. Главное в задачах - не путать обратную пропорциональность с прямой, следить за единицами измерения и помнить, что закон верен только пока температура и количество газа действительно постоянны.