Как найти парциальное давление пара: решение задачи

Дано: влажный воздух при температуре $t = 20$ °C, относительная влажность $\varphi = 60\ \%$, барометрическое давление $B = 100$ кПа. Найти: парциальное давление водяного пара $p_{\text{п}}$, влагосодержание $d$ и точку росы $t_{\text{р}}$.

Парциальное давление пара во влажном воздухе не измеряют напрямую: его получают как долю от давления насыщения при той же температуре, $p_{\text{п}} = \varphi \, p_{\text{н}}(t)$. Ответ: $p_{\text{п}} \approx 1{,}40$ кПа, $d \approx 8{,}8$ г/кг сухого воздуха, $t_{\text{р}} \approx 12{,}0$ °C.

Калькулятор сверху считает то же самое для любых $t$, $\varphi$ и $B$, а на графике видно главное: горизонталь парциального давления пересекает кривую насыщения ровно в точке росы. Ниже тот же ответ получен вручную.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $p_{\text{п}}$, $d$, $t_{\text{р}}$.

Шаг 1. Давление насыщения при температуре воздуха. Это опорная величина всей задачи: она зависит только от температуры. Берём её из таблицы водяного пара или считаем по формуле Магнуса (давление в килопаскалях, температура в градусах Цельсия):

$$p_{\text{н}} = 0{,}6105 \exp\left(\frac{17{,}269\, t}{237{,}3 + t}\right) = 0{,}6105 \cdot e^{1{,}3423} \approx 2{,}34\ \text{кПа}.$$

Табличное значение при 20 °C равно 2,338 кПа, так что формула сошлась с таблицей до третьего знака.

Шаг 2. Парциальное давление водяного пара. Относительная влажность по определению есть отношение фактического давления пара к давлению насыщения, поэтому искомая величина получается одним умножением:

$$p_{\text{п}} = \varphi \, p_{\text{н}} = 0{,}60 \cdot 2{,}337 = 1{,}40\ \text{кПа}.$$

Обрати внимание на единицы: влажность в формулу подставляется долей, а не процентами. Если оставить 60, ответ вырастет в сто раз и станет больше барометрического давления, что физически невозможно.

Шаг 3. Парциальное давление сухого воздуха. Влажный воздух это смесь двух газов, и по закону Дальтона их парциальные давления складываются в барометрическое:

$$p_{\text{с.в}} = B - p_{\text{п}} = 100 - 1{,}40 = 98{,}60\ \text{кПа}.$$

Эта строка нужна не для отчётности: именно давление сухого воздуха стоит в знаменателе влагосодержания.

Шаг 4. Влагосодержание. Влагосодержание показывает, сколько граммов пара приходится на килограмм сухого воздуха:

$$d = 622 \, \frac{p_{\text{п}}}{B - p_{\text{п}}} = 622 \cdot \frac{1{,}402}{98{,}598} = \frac{872{,}0}{98{,}60} \approx 8{,}8\ \frac{\text{г}}{\text{кг с. в.}}.$$

Шаг 5. Точка росы. Это температура, при которой имеющийся пар стал бы насыщенным. Формально нужно решить уравнение $p_{\text{н}}(t_{\text{р}}) = p_{\text{п}}$, то есть обратить формулу Магнуса. Обозначим $a = \ln(p_{\text{п}} / 0{,}6105) = \ln 2{,}297 \approx 0{,}8315$, тогда

$$t_{\text{р}} = \frac{237{,}3\, a}{17{,}269 - a} = \frac{237{,}3 \cdot 0{,}8315}{16{,}438} \approx 12{,}0\ ^\circ\text{C}.$$

Ответ. $p_{\text{п}} \approx 1{,}40$ кПа (это 10,5 мм рт. ст.), $d \approx 8{,}8$ г/кг сухого воздуха, точка росы $t_{\text{р}} \approx 12{,}0$ °C. Пока поверхности в помещении теплее 12 °C, конденсата на них не будет.

Формула: почему пар давит долей от насыщения

Разберём, откуда взялась формула шага 2. Влажный воздух рассматривают как смесь идеальных газов: сухого воздуха и перегретого водяного пара. Каждый компонент занимает весь объём и давит на стенки независимо от соседа, а их давления складываются в измеряемое барометром. Подробный вывод самого правила сложения дан в статье про закон Дальтона и парциальные давления, здесь важно только следствие: у пара есть собственное давление в тех же паскалях, что и у смеси.

У этого давления есть жёсткий потолок. При каждой температуре воздух удерживает ограниченное количество пара, и как только парциальное давление доходит до $p_{\text{н}}(t)$, испарение уравновешивается конденсацией. Относительная влажность и есть мера близости к потолку:

$$\varphi = \frac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}(t)} \quad\Longrightarrow\quad p_{\text{п}} = \varphi \, p_{\text{н}}(t).$$

Зависимость $p_{\text{н}}(t)$ растёт почти экспоненциально: при 0 °C это 0,61 кПа, при 20 °C уже 2,34 кПа, а при 60 °C около 19,9 кПа. Крутизна кривой не случайна и следует из уравнения Клаузиуса-Клапейрона для фазового перехода жидкость-пар. Практический вывод простой: одно и то же количество пара при нагреве даёт всё меньшую относительную влажность, а при охлаждении быстро выходит на насыщение.

Множитель 622 в формуле влагосодержания это отношение молярных масс, умноженное на тысячу: $1000 \cdot \mu_{\text{в}} / \mu_{\text{с.в}} = 1000 \cdot 18{,}016 / 28{,}96 = 622$. Он появляется, когда от давлений переходят к массам через уравнение состояния идеального газа, которое используется и в других расчётах, например при нахождении работы изотермического процесса.

Если дана не влажность, а точка росы

Второй частый вариант условия: температура воздуха 24 °C, точка росы 12 °C, барометрическое давление 101,3 кПа. Здесь порядок действий переворачивается, и это как раз тот случай, когда парциальное давление находится напрямую, без относительной влажности:

$$p_{\text{п}} = p_{\text{н}}(t_{\text{р}}) = p_{\text{н}}(12\ ^\circ\text{C}) = 1{,}40\ \text{кПа}.$$

Точка росы по определению это температура насыщения для имеющегося пара, поэтому давление насыщения при 12 °C и есть искомое парциальное давление. Дальше относительная влажность считается делением на насыщение при температуре самого воздуха: $\varphi = 1{,}402 / 2{,}982 = 0{,}47$, то есть 47 %. Влагосодержание при $B = 101{,}3$ кПа получается $d = 622 \cdot 1{,}402 / 99{,}92 \approx 8{,}7$ г/кг.

Третий вариант входных данных - измерения психрометром, где дана разность показаний сухого и влажного термометров. Тогда относительную влажность сначала снимают с психрометрической таблицы, а потом всё сводится к шагу 2 нашего разбора. Работа с психрометром и школьная постановка через плотность пара подробно расписаны в разборе задач на влажность воздуха, поэтому здесь повторять её не будем.

Проверка ответа и переход к другим единицам

Готовый ответ полезно проверить тремя быстрыми прикидками. Первая: парциальное давление обязано быть меньше давления насыщения, а вместе они меньше барометрического. У нас 1,40 меньше 2,34 и много меньше 100 кПа, порядок верный. Вторая: инженерное правило точки росы гласит, что при влажности выше 50 % она примерно равна $t - (100 - \varphi)/5$, то есть $20 - 8 = 12$ °C. Совпало с точным расчётом.

Третья проверка - через абсолютную влажность. Плотность пара считается по уравнению состояния с удельной газовой постоянной пара $R_{\text{п}} = 461{,}5$ Дж/(кг·К):

$$\rho_{\text{п}} = \frac{p_{\text{п}}}{R_{\text{п}} T} = \frac{1402}{461{,}5 \cdot 293{,}15} = 0{,}0104\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 10{,}4\ \frac{\text{г}}{\text{м}^3}.$$

Табличная плотность насыщенного пара при 20 °C равна 17,3 г/м³, и 60 % от неё дают те же 10,4 г/м³. Если в условии давление задано в других единицах, переводи его до начала расчёта: 1 мм рт. ст. равен 133,3 Па, 1 бар равен 100 кПа, 1 атм равна 101,325 кПа. Наш ответ в миллиметрах ртутного столба это $1402 / 133{,}3 \approx 10{,}5$ мм рт. ст.

Влагосодержание связывает массы пара и сухого воздуха через отношение их молярных масс - как находят молярную массу газа по плотности или из уравнения состояния, разобрано отдельно.

Частые ошибки

• Проценты вместо доли. В формулу $p_{\text{п}} = \varphi \, p_{\text{н}}$ подставляют 60 вместо 0,60 и получают 140 кПа - давление пара больше барометрического. Признак ошибки виден мгновенно.
• Давление насыщения берут при точке росы, когда дана влажность. Насыщение считается при температуре самого воздуха; при точке росы оно равно парциальному давлению пара, а это уже другой шаг.
• В знаменателе влагосодержания стоит $B$ вместо $B - p_{\text{п}}$. Делить нужно на давление сухого воздуха: влагосодержание отнесено к килограмму сухой части, а не всей смеси.
• Путают влагосодержание $d$ и абсолютную влажность $\rho_{\text{п}}$. Первое измеряется в граммах на килограмм сухого воздуха, второе в граммах на кубометр смеси. Числа близки только при обычном атмосферном давлении и совпадением не являются.
• Забывают перевести температуру в кельвины. В формуле Магнуса $t$ идёт в градусах Цельсия, а в уравнении состояния для плотности пара нужен кельвин. Одна и та же задача требует обеих шкал, и на этом теряют порядок.
• Считают точку росы по разности температур на глаз при низкой влажности. Правило $t - (100 - \varphi)/5$ работает примерно от 50 %, а при 20-30 % даёт ошибку в несколько градусов, и нужен обратный расчёт по формуле.

FAQ

Может ли парциальное давление пара превысить давление насыщения? В устойчивом состоянии нет: избыток пара конденсируется в туман или росу, и давление возвращается к $p_{\text{н}}(t)$. Кратковременно возможен пересыщенный пар, но в учебных задачах это состояние не рассматривают, и относительная влажность выше 100 % означает арифметическую ошибку.

Чем парциальное давление пара отличается от влагосодержания? Это две меры одного и того же количества влаги. Давление пара удобно, когда работают с равновесием и точкой росы, влагосодержание - когда считают материальный баланс сушилки или кондиционера, потому что масса сухого воздуха при нагреве и охлаждении не меняется, а масса смеси меняется.

Что произойдёт с парциальным давлением пара при нагреве воздуха? Ничего, если влагу не подводят и не отводят: пара в объёме столько же, значит $p_{\text{п}}$ и $d$ остаются прежними. Растёт только давление насыщения, поэтому относительная влажность падает. При нагреве нашего воздуха с 20 до 60 °C давление насыщения станет 19,9 кПа, и влажность упадёт с 60 до 7 %.

Как найти массу выпавшего конденсата? Через влагосодержание до и после охлаждения. Если воздух охладили ниже точки росы, конечное состояние насыщено, $p_{\text{п}} = p_{\text{н}}(t_{\text{кон}})$, и разность $d_1 - d_2$ даёт граммы влаги, выпавшие с каждого килограмма сухого воздуха.

Коротко

1. Найди давление насыщения при температуре воздуха: по таблице или по формуле Магнуса. При 20 °C это 2,34 кПа.
2. Умножь его на относительную влажность в долях: $p_{\text{п}} = 0{,}60 \cdot 2{,}337 = 1{,}40$ кПа.
3. Вычти давление пара из барометрического, чтобы получить давление сухого воздуха: 98,60 кПа.
4. Посчитай влагосодержание $d = 622 \, p_{\text{п}} / (B - p_{\text{п}}) \approx 8{,}8$ г/кг сухого воздуха.
5. Точку росы найди обращением формулы Магнуса для $p_{\text{н}}(t_{\text{р}}) = p_{\text{п}}$: получается 12,0 °C, ниже этой температуры начинается конденсация.