Как найти разделенные разности: таблица и пример

Дано: функция задана таблицей с неравным шагом, узлы $x$: 0; 1; 3; 4 и значения $y$: 3; 2; 12; 35. Найти: таблицу разделённых разностей и значение $y(2{,}5)$ по интерполяционному многочлену Ньютона.

Шаги между узлами разные (1, затем 2, затем снова 1), поэтому обычные разности значений здесь бесполезны: делить приходится не на общий шаг, а на разность самих аргументов. Разделённые разности первого порядка получатся равными $-1$; 5; 23, второго - 2 и 6, третья - 1, а искомое значение составит $y(2{,}5) = 6{,}125$. Калькулятор сверху пересчитывает всю таблицу и сам многочлен под другие числа, а ниже идёт разбор именно этого варианта.

Решение по шагам

Дано. Таблица значений функции:

Найти: разделённые разности всех порядков, многочлен Ньютона $N_3(x)$ и значение $N_3(2{,}5)$.

Шаг 1. Разности первого порядка. Каждую пару соседних узлов делим на расстояние между ними:

$$f[x_i, x_{i+1}] = \frac{y_{i+1} - y_i}{x_{i+1} - x_i}.$$

Подставляем числа:

$$\begin{aligned} f[x_0, x_1] &= \frac{2 - 3}{1 - 0} = -1, \\ f[x_1, x_2] &= \frac{12 - 2}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5, \\ f[x_2, x_3] &= \frac{35 - 12}{4 - 3} = 23. \end{aligned}$$

Обратите внимание на второй столбец: разность значений равна 10, но узлы отстоят на две единицы, поэтому делим на 2. Именно здесь чаще всего теряют знаменатель и получают 10 вместо 5.

Шаг 2. Разности второго порядка. Берём соседние разности первого порядка и делим на расстояние между крайними узлами тройки - не между соседними, а между первым и последним:

$$f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1}, x_{i+2}] - f[x_i, x_{i+1}]}{x_{i+2} - x_i}.$$ $$\begin{aligned} f[x_0, x_1, x_2] &= \frac{5 - (-1)}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2, \\ f[x_1, x_2, x_3] &= \frac{23 - 5}{4 - 1} = \frac{18}{3} = 6. \end{aligned}$$

Шаг 3. Разность третьего порядка. Правило то же, знаменатель растягивается на все четыре узла:

$$f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{6 - 2}{4 - 0} = \frac{4}{4} = 1.$$

Шаг 4. Сводная таблица. Разности удобно выписать треугольником: каждый следующий столбец короче предыдущего на строку.

Шаг 5. Многочлен Ньютона. Коэффициентами служит верхняя диагональ таблицы: $y_0 = 3$, затем $-1$, 2 и 1. Формула для неравноотстоящих узлов выглядит так:

$$N_3(x) = y_0 + f[x_0,x_1](x - x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0,x_1,x_2,x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2).$$

Подставляем найденные коэффициенты и узлы 0, 1, 3:

$$N_3(x) = 3 - x + 2x(x - 1) + x(x - 1)(x - 3).$$

Шаг 6. Значение в точке. Считаем при $x = 2{,}5$ по слагаемым, не раскрывая скобок:

$$\begin{aligned} N_3(2{,}5) &= 3 - 2{,}5 + 2 \cdot 2{,}5 \cdot 1{,}5 + 2{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot (-0{,}5) \\ &= 0{,}5 + 7{,}5 - 1{,}875 = 6{,}125. \end{aligned}$$

Ответ. Разности первого порядка: $-1$; 5; 23; второго: 2 и 6; третья: 1. Многочлен Ньютона $N_3(x) = 3 - x + 2x(x-1) + x(x-1)(x-3)$, искомое значение $N_3(2{,}5) = 6{,}125$.

Формула разделённой разности и откуда она берётся

Разделённой разностью нулевого порядка считают само значение функции в узле: $f[x_i] = y_i$. Разность первого порядка - это угловой коэффициент секущей, проведённой через две точки таблицы, то есть средняя скорость изменения функции на отрезке. Дальше определение работает рекуррентно: разность порядка $k$ собирается из двух разностей порядка $k-1$, сдвинутых на один узел.

$$f[x_i, x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}] - f[x_i, \ldots, x_{i+k-1}]}{x_{i+k} - x_i}.$$

Ключевая деталь - знаменатель. В нём стоит расстояние между крайними узлами набора, а не между соседними: для разности второго порядка это $x_{i+2} - x_i$, для третьего - $x_{i+3} - x_i$. Из-за этого разделённые разности не зависят от того, равномерна сетка или нет, и работают там, где формулы с постоянным шагом $h$ неприменимы.

Смысл деления виден из предельного перехода. Если устремить $x_1$ к $x_0$, то $f[x_0, x_1]$ перейдёт в производную $f'(x_0)$, а разность порядка $k$ даст $f^{(k)}(\xi)/k!$ для некоторой внутренней точки $\xi$. Поэтому разделённая разность порядка $k$ - это, по сути, оценка $k$-й производной, поделённой на факториал, и одновременно старший коэффициент интерполяционного многочлена по этим $k+1$ узлам.

Отсюда и вырастает форма Ньютона. Многочлен строится наращиванием: первое слагаемое даёт константу, проходящую через первую точку, второе добавляет наклон и «чинит» вторую точку, третье исправляет третью, не сбивая первые две, потому что множитель $(x - x_0)(x - x_1)$ обращается в ноль в уже учтённых узлах. Через заданные $n+1$ узлов проходит ровно один многочлен степени не выше $n$, поэтому результат совпадает с интерполяционной формулой Лагранжа - различается только запись и объём вычислений.

Свойства: симметричность и добавление нового узла

Разделённая разность симметрична: она не меняется при любой перестановке узлов. Если посчитать третью разность нашей таблицы в обратном порядке, от $x_3$ к $x_0$, снова получится 1. Это удобная самопроверка на экзамене: пересчёт «с конца» задействует другие промежуточные числа, и совпадение итога почти исключает арифметическую ошибку.

Второе свойство - главное практическое преимущество схемы Ньютона. Новый узел добавляет к многочлену ровно одно слагаемое, а уже посчитанные коэффициенты не пересчитываются. Допустим, к таблице добавили узел $x_4 = 6$ со значением $y_4 = 147$. Достраиваем нижнюю строку треугольника:

$$\begin{aligned} f[x_3, x_4] &= \frac{147 - 35}{6 - 4} = 56, \\ f[x_2, x_3, x_4] &= \frac{56 - 23}{6 - 3} = 11, \\ f[x_1, x_2, x_3, x_4] &= \frac{11 - 6}{6 - 1} = 1, \\ f[x_0, \ldots, x_4] &= \frac{1 - 1}{6 - 0} = 0. \end{aligned}$$

Разность четвёртого порядка обнулилась, четвёртое слагаемое исчезло, многочлен остался прежним. Это и есть признак степени: если разности порядка $k$ постоянны, а порядка $k+1$ равны нулю, таблица порождена многочленом степени $k$. У нас постоянна третья разность, значит функция кубическая. В формуле Лагранжа такой добор узла потребовал бы пересчёта всех базисных полиномов с нуля.

Проверка ответа и остаточный член

Самая быстрая проверка - раскрыть скобки и подставить узлы. Раскрытие даёт $N_3(x) = x^3 - 2x^2 + 3$; при $x = 0$ получаем 3, при $x = 1$ выходит 2, при $x = 3$ - 12, при $x = 4$ - 35. Все четыре значения совпали с таблицей, значит коэффициенты найдены верно. Подстановка $x = 2{,}5$ в канонический вид даёт $15{,}625 - 12{,}5 + 3 = 6{,}125$ - тот же ответ, что и по схеме Ньютона.

Погрешность интерполяции записывается через разделённую разность следующего порядка, куда добавлена сама точка $x$:

$$f(x) - N_n(x) = f[x_0, x_1, \ldots, x_n, x] \cdot \omega(x), \qquad \omega(x) = \prod_{i=0}^{n}(x - x_i).$$

В нашем случае функция кубическая, разность четвёртого порядка равна нулю, поэтому интерполяция точна в любой точке, а не только в узлах. Для произвольной гладкой функции остаток оценивают через максимум модуля производной; при работе с приближёнными табличными данными полезно помнить и про накопление абсолютной погрешности округлений: каждое деление на малую разность узлов её усиливает.

Отдельно стоит вопрос, что делать при равномерной сетке. Разделённые разности продолжают работать и там, просто связаны с обычными разностями значений соотношением $f[x_0, \ldots, x_k] = \Delta^k y_0 / (k!\,h^k)$, где $h$ - постоянный шаг. Обратное неверно: при неравномерной сетке формулы с $h$ теряют смысл. Если же узлов много и многочлен высокой степени начинает осциллировать между ними, вместо наращивания степени переходят к кубическим сплайнам, которые склеивают куски третьей степени.

Частые ошибки

• Делят на разность соседних узлов вместо крайних. В разности второго порядка знаменатель равен $x_{i+2} - x_i$, а не $x_{i+2} - x_{i+1}$. В нашем примере это $3 - 0 = 3$, и подстановка единицы даёт неверные 6 вместо 2.
• Путают порядок вычитания в числителе. Из «правой» разности вычитают «левую», то есть из $f[x_1, x_2]$ вычитают $f[x_0, x_1]$. Перестановка меняет знак всего коэффициента.
• Применяют формулы с постоянным шагом. При шаге 1, 2, 1 схемы с параметром $q$ и обычными разностями значений неприменимы, хотя таблица внешне выглядит привычно.
• Берут коэффициенты не с той диагонали. В многочлен идёт верхняя диагональ треугольника: $y_0$, $f[x_0,x_1]$, $f[x_0,x_1,x_2]$, $f[x_0,\ldots,x_3]$. Числа из нижних строк относятся к другому стартовому узлу.
• Сдвигают множители на один узел. В слагаемом при разности порядка $k$ стоят скобки с узлами $x_0, \ldots, x_{k-1}$, а узел $x_k$ в произведение не входит.
• Округляют промежуточные разности. Деления идут каскадом, и потеря знака после запятой на первом порядке разрастается к третьему в разы. Дроби лучше держать обыкновенными до последнего шага.

FAQ

Чем разделённые разности отличаются от конечных? Конечные разности - это просто разности значений функции в узлах с постоянным шагом, они имеют размерность самой функции. Разделённые разности дополнительно делятся на разность аргументов, поэтому имеют смысл средней скорости изменения и применимы к любой сетке. При равном шаге одно выражается через другое множителем $1/(k!\,h^k)$.

Зависит ли разделённая разность от порядка узлов? Нет, она полностью симметрична: перестановка узлов результат не меняет. Порядок влияет только на промежуточные числа в таблице и на то, какие скобки появятся в записи многочлена Ньютона. Итоговый многочлен при этом остаётся тем же.

Что делать, если два узла совпали? Формула даёт деление на ноль, поэтому совпадающие узлы обрабатывают предельным переходом: $f[x_0, x_0] = f'(x_0)$, а разность порядка $k$ от одного повторённого узла равна $f^{(k)}(x_0)/k!$. Такая схема называется интерполяцией Эрмита и требует, чтобы в задаче были заданы производные.

Как по таблице определить степень многочлена? Считать разности, пока они не станут постоянными. Если разности порядка $k$ одинаковы, а порядка $k+1$ обращаются в ноль, данные описываются многочленом степени $k$. В разобранном примере третья разность равна 1, четвёртая после добавления узла обнулилась, значит степень равна трём.

Коротко

1. Разности первого порядка: $f[x_i, x_{i+1}] = (y_{i+1} - y_i)/(x_{i+1} - x_i)$, для таблицы 0; 1; 3; 4 они равны $-1$; 5; 23.
2. Каждый следующий порядок - разность двух соседних разностей, делённая на расстояние между крайними узлами набора: получаем 2 и 6, затем 1.
3. Коэффициенты многочлена Ньютона берутся с верхней диагонали треугольника: $N_3(x) = 3 - x + 2x(x-1) + x(x-1)(x-3)$.
4. Значение в точке считают по слагаемым, не раскрывая скобок: $N_3(2{,}5) = 6{,}125$.
5. Проверка: раскрытые скобки дают $x^3 - 2x^2 + 3$, подстановка узлов возвращает табличные значения 3, 2, 12 и 35.