Как определить изменение напряжения трансформатора

Дано: трёхфазный трансформатор ТМ-630/10, $S_{\text{ном}} = 630$ кВА, напряжения 10/0,4 кВ; по паспорту напряжение короткого замыкания $u_{\text{к}} = 5{,}5$ %, потери короткого замыкания $P_{\text{к}} = 7{,}6$ кВт; коэффициент загрузки $\beta = 0{,}8$, нагрузка индуктивная с $\cos\varphi_2 = 0{,}8$. Найти: изменение вторичного напряжения $\Delta U$ в процентах и напряжение $U_2$ на выводах вторичной обмотки.

Изменение напряжения считают не по закону Ома, а через две составляющие напряжения короткого замыкания: активную $u_{\text{ка}}$ и реактивную $u_{\text{кр}}$. Каждая входит со своим множителем, потому что падение на сопротивлении обмоток складывается с вторичным напряжением не арифметически, а векторно. Ответ: $\Delta U = 3{,}35$ %, то есть $U_2 = 386{,}6$ В вместо 400 В на холостом ходу, просадка 13,4 В. Калькулятор сверху считает тот же режим для любой машины и строит внешнюю характеристику.

Решение по шагам

Шаг 1. Активная составляющая напряжения короткого замыкания. Она целиком определяется потерями в обмотках, отнесёнными к номинальной мощности машины:

$$u_{\text{ка}} = \frac{P_{\text{к}}}{S_{\text{ном}}} \cdot 100\ \% = \frac{7600}{630\,000} \cdot 100 = 1{,}21\ \%.$$

Шаг 2. Реактивная составляющая. Она достраивает прямоугольный треугольник короткого замыкания до гипотенузы $u_{\text{к}}$, поэтому берётся не разностью, а по теореме Пифагора:

$$u_{\text{кр}} = \sqrt{u_{\text{к}}^{2} - u_{\text{ка}}^{2}} = \sqrt{5{,}5^{2} - 1{,}21^{2}} = \sqrt{30{,}25 - 1{,}46} = 5{,}37\ \%.$$

Шаг 3. Синус угла нагрузки. Характер нагрузки индуктивный, значит ток отстаёт от напряжения и синус берётся со знаком плюс:

$$\sin\varphi_2 = \sqrt{1 - \cos^{2}\varphi_2} = \sqrt{1 - 0{,}8^{2}} = 0{,}6.$$

Шаг 4. Изменение напряжения в процентах. Это и есть рабочая формула задачи:

$$\Delta U = \beta\,(u_{\text{ка}} \cos\varphi_2 + u_{\text{кр}} \sin\varphi_2) = 0{,}8\,(1{,}21 \cdot 0{,}8 + 5{,}37 \cdot 0{,}6) = 0{,}8 \cdot 4{,}18 = 3{,}35\ \%.$$

Шаг 5. Напряжение на выводах вторичной обмотки. Проценты отсчитываются от напряжения холостого хода $U_{20} = 400$ В, а не от 380 В номинала сети:

$$U_2 = U_{20}\left(1 - \frac{\Delta U}{100}\right) = 400\,(1 - 0{,}0335) = 386{,}6\ \text{В}.$$

Шаг 6. Проверка по абсолютной просадке. В вольтах теряется $400 - 386{,}6 = 13{,}4$ В. Номинальное напряжение сети 380 В, допустимое отклонение по ГОСТ 32144 составляет 5 %, то есть нижняя граница 361 В. Режим укладывается с большим запасом, причём на зажимах даже выше номинальных 380 В: производитель специально задаёт холостой ход 400 В с расчётом на будущую просадку.

Ответ: $u_{\text{ка}} = 1{,}21$ %, $u_{\text{кр}} = 5{,}37$ %, $\Delta U = 3{,}35$ %, $U_2 = 386{,}6$ В, падение 13,4 В.

Формула и откуда она берётся

Формула выглядит как сумма двух проекций, и это ровно она и есть. Ток нагрузки создаёт на сопротивлениях обмоток падение $I_2 Z_{\text{к}}$, у которого есть активная часть $I_2 R_{\text{к}}$ и реактивная $I_2 X_{\text{к}}$. Вектор вторичного напряжения короче вектора холостого хода не на всю длину этого падения, а только на его проекцию на направление $U_2$: остальная часть разворачивает вектор по фазе и на модуль почти не влияет.

Проекция активной части на направление напряжения даёт множитель $\cos\varphi_2$, проекция реактивной - множитель $\sin\varphi_2$. Если обе части выразить в процентах от номинального напряжения, вместо $I_{\text{ном}} R_{\text{к}}$ и $I_{\text{ном}} X_{\text{к}}$ появляются как раз $u_{\text{ка}}$ и $u_{\text{кр}}$, а произвольный ток учитывается коэффициентом загрузки $\beta = I_2 / I_{2\text{ном}}$. Отсюда и вся формула. Такой упрощённый треугольник называют треугольником Каппа: на нём и строится вся практическая теория нагруженного трансформатора.

Два числа, с которых начинается расчёт, берутся из паспорта машины, а туда попадают из опыта короткого замыкания. Как из измеренных вольт, ампер и ватт получаются проценты, разобрано в задаче про напряжение короткого замыкания, а пересчёт мощности опыта на номинальный ток и на температуру 75 градусов - в задаче про потери короткого замыкания. Режим холостого хода в этой задаче не участвует вовсе: ветвь намагничивания подключена параллельно и на просадку не влияет, поэтому потери холостого хода нужны для КПД, но не для $\Delta U$.

Обозначения в учебниках расходятся. Часто пишут $u_{\text{а}}$ и $u_{\text{р}}$ вместо $u_{\text{ка}}$ и $u_{\text{кр}}$, а само изменение называют то процентным изменением напряжения, то напряжением просадки, то отклонением. Величина всегда одна и та же: относительная разность между напряжением холостого хода и напряжением под нагрузкой.

Что решает характер нагрузки

Посмотри на числа шага 4: активная часть дала 0,97 %, реактивная - 3,22 %. Три четверти всей просадки делает реактивная составляющая, хотя нагрузка вовсе не чисто индуктивная. Причина в самом трансформаторе: у силовых машин $u_{\text{кр}}$ в четыре с лишним раза больше $u_{\text{ка}}$, и чем мощнее машина, тем сильнее перекос.

Отсюда практический вывод, ради которого задачу и решают: просадка зависит не столько от величины нагрузки, сколько от её характера. Вот один и тот же трансформатор при одной и той же загрузке 0,8:

Последняя строка - не опечатка. При ёмкостной нагрузке синус отрицателен, реактивное слагаемое вычитается, и напряжение на выводах становится выше холостого хода. Именно поэтому конденсаторные батареи в цехе поднимают напряжение, а отключение мощного двигателя вызывает кратковременный скачок.

Интересны и две крайние точки. Просадка максимальна не при $\cos\varphi_2 = 0$, а при $\cos\varphi_2 = u_{\text{ка}} / u_{\text{к}} = 0{,}22$, и равна она тогда $\beta u_{\text{к}} = 4{,}40$ %, то есть всему напряжению короткого замыкания с учётом загрузки. А обнуляется изменение при ёмкостной нагрузке с $\cos\varphi_2 = u_{\text{кр}} / u_{\text{к}} = 0{,}976$: такая нагрузка компенсирует падение ровно.

Просадка растёт линейно с загрузкой

Коэффициент загрузки входит в формулу первой степенью, поэтому внешняя характеристика в первом приближении - прямая. Это видно на графике в калькуляторе сверху и в таблице:

Линейность и делает величину $u_{\text{к}}$ таким удобным паспортным параметром: зная её, режим машины при любой загрузке восстанавливается в одну строку. Обрати внимание на нижнюю строку: даже полуторакратная по времени перегрузка в 1,2 не выводит напряжение за 380 В, но запас уже съеден.

Если просадка всё-таки выходит за норму, её компенсируют не пересчётом, а железом. У распределительных трансформаторов есть переключатель без возбуждения с ответвлениями $\pm 2 \times 2{,}5$ %: одна ступень вверх поднимет наши 386,6 В до 396,3 В. У мощных машин ставят регулирование под нагрузкой, а в сети с длинными линиями к просадке трансформатора добавляется потеря напряжения в кабеле, и считать их нужно вместе. Если же машина стабильно работает с большой просадкой, проблема обычно в выборе номинала: методика разобрана в задаче про мощность трансформатора.

Уточнённая формула со вторым слагаемым

Проекция, которой мы пренебрегли, всё-таки существует. Точная формула содержит ещё одно слагаемое, квадратичное по загрузке:

$$\Delta U = \beta\,(u_{\text{ка}} \cos\varphi_2 + u_{\text{кр}} \sin\varphi_2) + \frac{\beta^{2}}{200}\,(u_{\text{ка}} \sin\varphi_2 - u_{\text{кр}} \cos\varphi_2)^{2}.$$

Подставим наши числа: скобка равна $1{,}21 \cdot 0{,}6 - 5{,}37 \cdot 0{,}8 = -3{,}57$, её квадрат 12,74, множитель $0{,}64 / 200 = 0{,}0032$, поправка 0,04 %. Итого 3,39 % вместо 3,35 %, в вольтах разница 0,16 В - меньше цены деления любого щитового вольтметра.

Поэтому в учебных задачах второе слагаемое почти всегда отбрасывают, и это не небрежность. Заметным оно становится при $u_{\text{к}}$ порядка 10 % и выше, то есть у трансформаторов 110 кВ и у мощных блочных машин, где поправка доходит до нескольких десятых процента. Правило простое: считай по линейной формуле, а квадратичную поправку добавляй, если методичка требует точность до сотых или $u_{\text{к}}$ превышает 10 %.

Частые ошибки

• Подставляют $u_{\text{к}}$ вместо составляющих. Расчёт $\Delta U = \beta u_{\text{к}} = 4{,}40$ % завышает просадку на треть. Полное напряжение короткого замыкания даёт изменение только при одном частном $\cos\varphi_2 = u_{\text{ка}} / u_{\text{к}}$, а не всегда.
• Находят $u_{\text{кр}}$ вычитанием. Разность $5{,}5 - 1{,}21 = 4{,}29$ % вместо 5,37 % - составляющие складываются геометрически, катеты и гипотенуза.
• Теряют знак при ёмкостной нагрузке. Если $\sin\varphi_2$ оставить положительным, получится просадка 1,8 % там, где напряжение на самом деле растёт на 1,8 %. Ошибка в 3,6 % и в выводе целиком.
• Забывают коэффициент загрузки. Формула без $\beta$ отвечает на другой вопрос - о номинальном режиме. При загрузке 0,8 это завышение сразу на четверть.
• Отсчитывают проценты от 380 В. База - напряжение холостого хода вторичной обмотки, у машины 10/0,4 кВ это 400 В. От 380 В получится 12,7 В вместо 13,4 В.
• Считают $u_{\text{ка}}$ через активную мощность нагрузки. В формуле стоит полная номинальная мощность машины $S_{\text{ном}}$ в киловольт-амперах, а не $P_2$ и не мощность текущего режима.

FAQ

Чем изменение напряжения трансформатора отличается от потери напряжения в линии? Физика похожая, база разная. У трансформатора просадка нормируется в процентах от напряжения холостого хода и целиком задаётся паспортным $u_{\text{к}}$ и характером нагрузки. В линии потеря зависит от сечения, длины и материала провода и считается по её собственным сопротивлениям. В расчёте сети обе величины складываются.

Можно ли считать изменение по стороне высшего напряжения? Да, в процентах результат тот же самый: $u_{\text{ка}}$ и $u_{\text{кр}}$ от стороны не зависят, это относительные величины. Различаться будет только пересчёт в вольты: те же 3,35 % на стороне 10 кВ дают 335 В.

Какое изменение напряжения считается нормальным? У распределительных трансформаторов при номинальной загрузке и $\cos\varphi_2 = 0{,}8$ это обычно 4-6 %. Машины с большим $u_{\text{к}}$ просаживаются сильнее, но зато ограничивают ток короткого замыкания, и выбор номинала всегда компромисс между этими двумя свойствами.

Нужно ли учитывать потери холостого хода? Нет. Ток намагничивания течёт через параллельную ветвь схемы замещения и практически не создаёт падения на сопротивлениях обмоток. В расчёт КПД потери холостого хода входят обязательно, в расчёт $\Delta U$ - нет.

Коротко

1. Найди активную составляющую: $u_{\text{ка}} = P_{\text{к}} / S_{\text{ном}} \cdot 100$; для 7,6 кВт и 630 кВА это 1,21 %.
2. Дострой реактивную по теореме Пифагора: $u_{\text{кр}} = \sqrt{u_{\text{к}}^2 - u_{\text{ка}}^2} = 5{,}37$ %.
3. Подставь режим нагрузки: $\Delta U = \beta\,(u_{\text{ка}} \cos\varphi_2 + u_{\text{кр}} \sin\varphi_2) = 3{,}35$ % при $\beta = 0{,}8$ и $\cos\varphi_2 = 0{,}8$.
4. Переведи в вольты от напряжения холостого хода: $U_2 = 400\,(1 - 0{,}0335) = 386{,}6$ В, просадка 13,4 В.
5. Проверь знак и норму: при ёмкостной нагрузке $\Delta U$ отрицательно, а отклонение у потребителя не должно выходить за 5 % от 380 В.