Степень статической неопределимости: как определить

Дано: плоская рама, ригель на трёх стойках. Левая стойка защемлена в основании, средняя опирается на каток, правая на шарнирно неподвижную опору; в ригеле врезан один шарнир, замкнутых контуров нет. Найти: степень статической неопределимости $n$.

Метод всегда один: посчитать, сколько связей наложено на систему, и вычесть число независимых уравнений, которые способна дать статика. Здесь $C_{\text{оп}} = 6$, $\text{Ш} = 1$, $K = 0$, отсюда $n = 2$: рама дважды статически неопределима, лишних связей две. Калькулятор сверху пересчитает степень под любую расстановку опор, шарниров и контуров, а ниже разобран каждый шаг подсчёта.

Решение по шагам

Шаг 1. Считаем опорные связи. Каждая опора запрещает своё число перемещений и потому вносит своё число связей:

В нашей раме одна заделка, одна шарнирно неподвижная опора и один каток:

$$C_{\text{оп}} = 3 + 2 + 1 = 6.$$

Шаг 2. Ищем замкнутые контуры. Замкнутый контур это кольцо из жёстко соединённых стержней, по которому можно обойти и вернуться в исходную точку, не сходя на землю. Ригель на трёх стойках такого кольца не образует: обход упирается в основание. Значит $K = 0$.

Шаг 3. Считаем врезанные шарниры. Простой шарнир соединяет два диска и разрешает им поворачиваться друг относительно друга, то есть снимает одну связь и добавляет одно уравнение. В условии он один: $\text{Ш} = 1$.

Шаг 4. Подставляем в формулу. Число лишних связей плоской стержневой системы:

$$n = C_{\text{оп}} + 3K - \text{Ш} - 3 = 6 + 3 \cdot 0 - 1 - 3 = 2.$$

Шаг 5. Проверяем кинематическим анализом. Тот же результат обязан дать подсчёт степени свободы. Врезанный шарнир делит раму на два жёстких диска, значит $D = 2$:

$$W = 3D - 2\text{Ш} - C_{\text{оп}} = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 - 6 = -2.$$

Степень свободы отрицательна, и по модулю она равна степени статической неопределимости: $n = -W = 2$. Два независимых подсчёта сошлись, ошибки в арифметике нет.

Ответ. Рама дважды статически неопределима: $n = 2$. Уравнений равновесия хватает на четыре неизвестных из шести, две реакции остаются лишними и без учёта деформаций не находятся.

Формула и откуда она берётся

Плоская система сил даёт ровно три независимых уравнения равновесия: сумма проекций на две оси и сумма моментов относительно любой точки. Отсюда и вычитаемая тройка в формуле. Если опорных связей ровно три и они расставлены правильно, все реакции находятся чистой статикой, как в разборе про реакции опор балки. Каждая связь сверх этих трёх становится лишней с точки зрения равновесия.

Врезанный шарнир работает в обратную сторону. Он не передаёт изгибающий момент, а значит для отсечённой шарниром части появляется дополнительное условие: сумма моментов всех сил слева или справа от шарнира относительно него равна нулю. Одно новое уравнение снимает одну лишнюю связь, поэтому $\text{Ш}$ стоит со знаком минус.

Замкнутый контур добавляет сразу три. Разрежьте кольцо любым сечением: в разрезе действуют продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент, и ни одну из них статика не определяет. Поэтому каждый бесшарнирный контур повышает степень неопределимости на три, а контур с врезанным шарниром только на два.

Слово «лишние» здесь чисто расчётное. Конструктивно эти связи полезны: они уменьшают прогибы, перераспределяют усилия и оставляют запас на случай отказа одного элемента. Лишними они называются только потому, что для равновесия избыточны.

Кинематический анализ: механизм, конструкция или ферма

Кинематический анализ подходит к той же величине с другой стороны и отвечает на вопрос, может ли система двигаться. Для системы из дисков считают степень свободы $W = 3D - 2\text{Ш} - C_{\text{оп}}$, где $D$ это число жёстких дисков, а каждый простой шарнир снимает два из трёх возможных движений. Для шарнирно стержневых систем, то есть ферм, удобнее узловая форма:

$$W = 2U - C_{\text{ст}} - C_{\text{оп}},$$

где $U$ это число узлов, $C_{\text{ст}}$ число стержней. Знак результата и есть вывод: при $W > 0$ система геометрически изменяема и представляет собой механизм, при $W = 0$ связей ровно столько, сколько нужно, при $W < 0$ система статически неопределима на $n = -W$ раз. Так, ферма из 6 узлов, 9 стержней и 3 опорных связей даёт $W = 12 - 9 - 3 = 0$, и все усилия в её стержнях находятся методом вырезания узлов, как показано в разборе про усилия в стержнях фермы.

Одного числа мало. Условие $W \le 0$ необходимо, но не достаточно: система может иметь нужное количество связей и всё равно оставаться мгновенно изменяемой, если связи расставлены неудачно. Классический пример: три опорных стержня, оси которых пересекаются в одной точке или параллельны друг другу. Формально $W = 0$, фактически диск проворачивается вокруг точки пересечения. Поэтому после подсчёта всегда смотрят на схему и проверяют, не собираются ли связи в один пучок.

Проверка через замкнутые контуры

Есть вторая формула, ей удобно перепроверять сложные рамы: $n = 3K_{\text{п}} - \text{Ш}_{\text{п}}$. Здесь все опоры мысленно превращают в жёсткие заделки, землю считают ещё одним диском, замыкающим контуры, а в $\text{Ш}_{\text{п}}$ включают не только врезанные шарниры, но и опорные: шарнирно неподвижная опора идёт за один простой шарнир, каток за два.

Проверим нашу раму. После превращения опор в заделки основание и три стойки образуют два независимых замкнутых контура, то есть $K_{\text{п}} = 2$. Шарниров набирается четыре: один врезанный в ригеле, один за шарнирно неподвижную опору и два за каток. Итого

$$n = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2,$$

что совпадает с ответом. Две формулы, полученные из разных соображений, дают одно число, и это лучшая доступная проверка перед началом расчёта.

Что делать с найденным числом

Степень неопределимости это не самоцель, а вход в метод сил. Из системы удаляют ровно $n$ лишних связей и получают основную систему: статически определимую и геометрически неизменяемую. Вместо удалённых связей прикладывают неизвестные $X_1, \dots, X_n$ и записывают столько же канонических уравнений, выражающих равенство нулю перемещений по направлениям отброшенных связей. Коэффициенты уравнений считают перемножением единичных и грузовой эпюр моментов по правилу Верещагина. Убирать можно разные связи, ответ от выбора не зависит, но объём вычислений зависит сильно, поэтому основную систему выбирают самой простой из возможных.

Частые ошибки

• Заделку считают за одну опору. В подсчёт идут не опоры, а связи: жёсткая заделка это сразу три связи, а не одна. Самая частая причина заниженного $n$.
• Путают каток и шарнирно неподвижную опору. Каток даёт одну связь, шарнир две. Ошибка на единицу в каждой опоре набегает в итоговое число.
• Забывают вычесть тройку. Число связей само по себе ещё не степень неопределимости: вычитать три уравнения равновесия обязательно.
• Кратный шарнир считают за один. Шарнир, соединяющий $m$ дисков, эквивалентен $m - 1$ простым: узел из трёх стержней с общим шарниром это два простых шарнира, а не один.
• Не замечают замкнутый контур. Пропущенное кольцо занижает ответ сразу на три. Проверяйте обходом: если по стержням можно вернуться в исходную точку, не спускаясь на землю, контур есть.
• Останавливаются на числе. Даже при $W = 0$ система бывает мгновенно изменяемой. Кинематический анализ заканчивается взглядом на схему, а не подстановкой в формулу.

FAQ

Чем статически определимая система отличается от неопределимой? В определимой все реакции и внутренние усилия находятся из одних уравнений равновесия, и распределение усилий не зависит от материала и размеров сечений. В неопределимой уравнений не хватает, приходится добавлять условия совместности деформаций, а усилия перераспределяются в зависимости от жёсткостей элементов.

Сколько связей нужно отбросить в основной системе? Ровно $n$ штук, ни больше ни меньше. Отбросите меньше, и система останется неопределимой, отбросите больше, и она превратится в механизм. Дополнительно проверяют, что оставшаяся система геометрически неизменяема.

Что означает отрицательная степень неопределимости? Отрицательный $n$ означает $W > 0$, то есть связей меньше необходимого и конструкция превращается в механизм. Такую схему не рассчитывают, её исправляют: добавляют опорную связь или убирают лишний шарнир.

Влияет ли нагрузка на степень неопределимости? Нет. Степень статической неопределимости зависит только от схемы: от опор, шарниров и контуров. Величина и расположение сил меняют усилия в элементах, но не число лишних связей.

Коротко

1. Посчитайте связи по опорам: жёсткая заделка 3, шарнирно неподвижная 2, каток 1, скользящая заделка 2.
2. Прибавьте по три связи за каждый замкнутый бесшарнирный контур и вычтите по одной за каждый простой врезанный шарнир.
3. Вычтите три уравнения равновесия плоской системы: $n = C_{\text{оп}} + 3K - \text{Ш} - 3$.
4. Проверьте кинематическим анализом $W = 3D - 2\text{Ш} - C_{\text{оп}}$ и убедитесь, что $n = -W$, а связи не сходятся в один пучок.
5. Для рамы из примера: $C_{\text{оп}} = 6$, $K = 0$, $\text{Ш} = 1$, значит $n = 2$, система дважды статически неопределима.