Как поменять порядок интегрирования: разбор задачи

Дано: повторный интеграл $\int\limits_0^1 dx \int\limits_{x^2}^{2-x} 2xy\, dy$. Найти: ту же величину в обратном порядке, то есть сначала интегрируя по $x$, а потом по $y$.

Порядок меняют не перестановкой букв под знаками интегралов, а через чертёж: по пределам восстанавливают область, а затем описывают её заново, но уже горизонтальными полосками. Здесь область распадается на две части, поэтому ответом будет сумма двух повторных интегралов, и оба порядка дают одно и то же число $I = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.

$$\int\limits_0^1 dx \int\limits_{x^2}^{2-x} 2xy\, dy = \int\limits_0^1 dy \int\limits_0^{\sqrt{y}} 2xy\, dx + \int\limits_1^2 dy \int\limits_0^{2-y} 2xy\, dx.$$

Калькулятор сверху делает то же самое для любых границ: находит точку стыка линий, показывает уровень, на котором правая граница меняет формулу, и считает обе расстановки, чтобы числа можно было сверить.

Решение по шагам

Шаг 1. Читаем область по пределам. Внешний интеграл говорит, что абсцисса пробегает отрезок $0 \leqslant x \leqslant 1$. Внутренний задаёт, между какими линиями движется точка при фиксированном $x$: $x^2 \leqslant y \leqslant 2 - x$. Значит, область снизу ограничена параболой, сверху прямой, а слева и справа её обрезают вертикали $x = 0$ и $x = 1$.

Шаг 2. Строим чертёж и находим вершины. Парабола и прямая пересекаются там, где $x^2 = 2 - x$, то есть $x^2 + x - 2 = 0$ и $x = 1$ (второй корень $x = -2$ лежит вне отрезка). При $x = 0$ нижняя граница даёт точку $(0;\, 0)$, верхняя точку $(0;\, 2)$. Получается криволинейный треугольник с вершинами $(0;\, 0)$, $(0;\, 2)$ и $(1;\, 1)$: левая сторона лежит на оси $Oy$, нижняя правая на параболе, верхняя правая на прямой.

Шаг 3. Смотрим на ту же область горизонтальными полосками. Проводим прямую $y = \mathrm{const}$ и спрашиваем, где полоска входит в область и где выходит. Входит она всегда на оси $Oy$, то есть при $x = 0$. А вот выходит по-разному: пока уровень ниже вершины $(1;\, 1)$, полоска упирается в параболу, а выше этой вершины её ограничивает прямая. Уровень $y = 1$ и есть та высота, на которой правая граница меняет формулу.

Шаг 4. Выражаем границы через $y$. Из уравнения параболы $y = x^2$ получаем $x = \sqrt{y}$: берём только правую ветвь, потому что вся область лежит в полуплоскости $x \geqslant 0$. Из уравнения прямой $y = 2 - x$ получаем $x = 2 - y$. Ординаты меняются от $0$ (нижняя вершина) до $2$ (верхняя точка на оси).

Шаг 5. Записываем новый повторный интеграл. Одной парой пределов обойтись нельзя, область режем уровнем $y = 1$ на две части:

$$I = \int\limits_0^1 dy \int\limits_0^{\sqrt{y}} 2xy\, dx + \int\limits_1^2 dy \int\limits_0^{2-y} 2xy\, dx.$$

Шаг 6. Считаем обе части. Во внутренних интегралах переменной служит $x$, а $y$ ведёт себя как постоянная:

$$\begin{aligned} \int\limits_0^{\sqrt{y}} 2xy\, dx &= \left. x^2 y \right|_0^{\sqrt{y}} = y^2, &\qquad \int\limits_0^1 y^2\, dy &= \frac{1}{3}, \\ \int\limits_0^{2-y} 2xy\, dx &= \left. x^2 y \right|_0^{2-y} = 4y - 4y^2 + y^3, &\qquad \int\limits_1^2 \left( 4y - 4y^2 + y^3 \right) dy &= \frac{5}{12}. \end{aligned}$$

В сумме $\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{4 + 5}{12} = \dfrac{3}{4}$.

Шаг 7. Проверяем исходным порядком. Внутренний интеграл по $y$ даёт многочлен от $x$:

$$\int\limits_{x^2}^{2-x} 2xy\, dy = \left. x y^2 \right|_{x^2}^{2-x} = x \left[ (2 - x)^2 - x^4 \right] = 4x - 4x^2 + x^3 - x^5,$$

а внешний доводит дело до числа: $\int\limits_0^1 \left( 4x - 4x^2 + x^3 - x^5 \right) dx = 2 - \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{4}$.

Ответ: $I = \int\limits_0^1 dy \int\limits_0^{\sqrt{y}} 2xy\, dx + \int\limits_1^2 dy \int\limits_0^{2-y} 2xy\, dx = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.

Почему пределы пересчитывают, а не переставляют

За право менять порядок отвечает теорема Фубини: если подынтегральная функция непрерывна на замкнутой ограниченной области, двойной интеграл равен любому из двух повторных, и значение не зависит от того, в каком порядке идут интегрирования. Меняется только запись пределов, а не число.

Запись же зависит от того, как описана область. Когда она правильная в направлении оси $Oy$, её задают неравенствами $a \leqslant x \leqslant b$ и $\varphi_1(x) \leqslant y \leqslant \varphi_2(x)$: внешние пределы постоянны, внутренние зависят от $x$. Когда правильная в направлении оси $Ox$, описание другое: $c \leqslant y \leqslant d$ и $\psi_1(y) \leqslant x \leqslant \psi_2(y)$. Это два разных набора неравенств для одного и того же множества точек, и связывает их только чертёж.

Отсюда главное практическое правило: функции $\varphi$ и $\psi$ получают, решая уравнения границ относительно нужной переменной, а не переставляя дифференциалы. Запись $\int_0^1 dy \int_{x^2}^{2-x} 2xy\, dx$ бессмысленна: во внутренних пределах остался $x$, по которому как раз и идёт интегрирование, так что ответ получился бы функцией от $x$, а не числом. Ту же логику расстановки пределов в исходном порядке подробно разбирает задача про вычисление двойного интеграла.

Полезно помнить и о том, что внешние пределы всегда числа, а внутренние почти всегда переменные. Если после смены порядка внутренние пределы оказались постоянными, область прямоугольная, и никакого разбиения не потребуется.

Когда область распадается на две части, а когда нет

Разбиение нужно ровно тогда, когда одна из боковых границ, выраженная через $y$, меняет формулу внутри диапазона ординат. Проверяют это по вершинам: если у области есть угол, в котором встречаются две разные линии, уровень этого угла и режет область на части. В нашей задаче угол $(1;\, 1)$ даёт уровень $y = 1$: ниже правая граница идёт по параболе, выше по прямой.

Заменим верхнюю границу горизонталью $y = 2$, оставив ту же параболу. Исходный интеграл станет $\int_0^{\sqrt{2}} dx \int_{x^2}^{2} f\, dy$, а обратный порядок даст уже один интеграл $\int_0^2 dy \int_0^{\sqrt{y}} f\, dx$: правая граница на всех уровнях одна и та же. Переключатель верхней границы в калькуляторе показывает оба случая, а счётчик частей меняется с двойки на единицу.

Бывает и обратная ситуация, когда смена порядка не плодит интегралы, а склеивает их. Если условие задано суммой $\int_0^1 dy \int_0^{y} f\, dx + \int_1^2 dy \int_0^{2-y} f\, dx$, то после перехода к вертикальным полоскам обе части сливаются в один интеграл. Поэтому, увидев сумму двух повторных интегралов с общей границей, сначала строят область: очень часто в обратном порядке запись становится короче.

Число частей не ограничено двумя. Область с несколькими угловыми точками режут на столько кусков, сколько разных формул принимает граница, и складывают результаты: двойной интеграл аддитивен по области.

Зачем вообще менять порядок

Первая причина техническая: одна из расстановок короче. Здесь исходный порядок требует одного интеграла, а обратный двух, значит, для счёта разумнее оставить исходный, а смену порядка использовать как независимую проверку. Ошибиться дважды одинаково почти невозможно, и совпадение чисел $\tfrac{1}{3} + \tfrac{5}{12}$ и $\tfrac{3}{4}$ надёжнее, чем повторный пересчёт того же выражения.

Вторая причина серьёзнее: внутренний интеграл может не браться в элементарных функциях. Классический пример:

$$\int\limits_0^1 dx \int\limits_x^1 e^{y^2}\, dy.$$

Первообразной у $e^{y^2}$ нет, и в таком виде задача не решается. Но область треугольная с вершинами $(0;\, 0)$, $(0;\, 1)$, $(1;\, 1)$, и в обратном порядке она описывается как $0 \leqslant y \leqslant 1$, $0 \leqslant x \leqslant y$. Внутренний интеграл теперь берётся мгновенно, потому что по $x$ экспонента постоянна:

$$\int\limits_0^1 dy \int\limits_0^{y} e^{y^2}\, dx = \int\limits_0^1 y\, e^{y^2}\, dy = \left. \frac{e^{y^2}}{2} \right|_0^1 = \frac{e - 1}{2} \approx 0{,}859.$$

Третья причина геометрическая: после смены порядка бывает видно, что область удобнее вообще описать в других координатах. Если границы задаются окружностью, выгоднее перейти к полярным координатам, не забыв про множитель $r$ (вывод есть в статье про якобиан полярных координат), а если подынтегральная функция зависит от параметра, иногда быстрее сработает дифференцирование интеграла по параметру.

Частые ошибки

• Механическая перестановка дифференциалов. Поменять местами $dx$ и $dy$, оставив прежние пределы, нельзя: пределы читаются с чертежа заново. Признак ошибки виден сразу: во внутренних пределах осталась та переменная, по которой идёт интегрирование.
• Потерянное разбиение. Область режут уровнем углового стыка границ. Если этот уровень не найден и записан один интеграл $\int_0^2 dy \int_0^{\sqrt{y}}$, то верхняя часть области посчитана неверно, а ответ не совпадёт с исходным порядком.
• Обе ветви параболы вместо одной. Из $y = x^2$ следует $x = \pm\sqrt{y}$, но в области $x \geqslant 0$, поэтому левая ветвь к делу не относится. Лишняя ветвь удваивает первую часть и портит ответ.
• Перепутанные левая и правая границы. Во внутреннем интеграле нижним пределом должна быть та граница, где полоска входит в область. Перестановка пределов меняет знак результата, и ответ выходит отрицательным при положительной функции.
• Неверные пределы по $y$. Внешние пределы обратного порядка это крайние ординаты всей области, а не ординаты одной точки. Здесь это $0$ и $2$, а не $0$ и $1$, хотя абсциссы меняются как раз от $0$ до $1$.
• Отказ от проверки. Два порядка обязаны дать одно число. Пересчёт вторым способом занимает пару минут и ловит почти любую ошибку в пределах.

FAQ

Как понять, что порядок вообще нужно менять? По двум признакам. Первый: внутренний интеграл не берётся в элементарных функциях, как в примере с $e^{y^2}$. Второй: пределы получились громоздкими, например с корнями и дробями, тогда как в другом порядке границы линейны. Если же оба порядка равноценны, менять ничего не нужно.

Значение интеграла точно не изменится? Для непрерывной функции на замкнутой ограниченной области да, это и утверждает теорема Фубини. Осторожность нужна с несобственными интегралами и разрывными функциями: там повторные интегралы в разном порядке могут дать разные числа или вовсе разойтись, и требуется абсолютная сходимость.

Что делать, если область распадается на три части? То же самое, только слагаемых будет три. Находят все уровни, на которых боковая граница меняет формулу, разбивают по ним диапазон ординат и складывают интегралы по кускам. Если частей выходит больше трёх, стоит проверить, не удобнее ли исходный порядок или переход к другим координатам.

Как быстро проверить новую расстановку, не считая интеграл? Взять внутреннюю точку области, например $(0{,}5;\, 1{,}2)$, и подставить в оба набора неравенств: точка обязана удовлетворять им одновременно. Затем взять заведомо внешнюю точку, скажем $(0{,}9;\, 1{,}9)$, и убедиться, что её новые неравенства не пропускают. Полезно и сравнить площади: $S = \int_0^1 (2 - x - x^2)\, dx = \dfrac{7}{6}$, а тот же результат даёт интеграл от единицы в обратном порядке, как в разборе про площадь фигуры интегралом.

Коротко

1. По пределам исходного интеграла восстановить область: внешние пределы дают отрезок по $x$, внутренние линии границ. Здесь это криволинейный треугольник с вершинами $(0;\, 0)$, $(0;\, 2)$, $(1;\, 1)$.
2. Провести горизонтальную полоску и найти уровень, на котором меняется её правая граница: это ордината углового стыка линий, в нашей задаче $y = 1$.
3. Выразить границы через $y$: парабола даёт $x = \sqrt{y}$, прямая даёт $x = 2 - y$, а левая граница всюду $x = 0$.
4. Записать сумму двух повторных интегралов по частям $0 \leqslant y \leqslant 1$ и $1 \leqslant y \leqslant 2$, взяв внутренние интегралы по $x$ при постоянном $y$.
5. Сверить ответ с исходным порядком: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$, столько же даёт и определённый интеграл от многочлена $4x - 4x^2 + x^3 - x^5$ по отрезку $[0;\, 1]$.