Как построить однополостный гиперболоид: разбор

Дано: поверхность $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} - \dfrac{z^2}{25} = 1$ и точка $M(2{,}4;\,2{,}4;\,0)$ на ней. Найти: горловинный эллипс, сечения плоскостями $z = 5$ и $z = 12$, обе прямолинейные образующие через $M$ и угол между ними.

Метод один: режем поверхность двумя пучками плоскостей и смотрим, какие плоские кривые остаются в сечениях. Горизонтальные плоскости дают эллипсы, которые не вырождаются ни на какой высоте, вертикальные - гиперболы, поэтому поверхность выглядит как бесконечная труба с талией. Ответ: горловинный эллипс имеет полуоси 4 и 3, сечение $z = 5$ - полуоси $\approx 5{,}66$ и $4{,}24$, сечение $z = 12$ - ровно 10,4 и 7,8; образующие через $M$ идут по векторам $(-16;\,9;\,25)$ и $(16;\,-9;\,25)$, угол между ними $\approx 72^\circ35'$. Калькулятор сверху строит тот же чертёж для любых полуосей и сам пересчитывает образующие при сдвиге точки.

Решение по шагам

Дано. $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} - \dfrac{z^2}{25} = 1$, точка $M(2{,}4;\,2{,}4;\,0)$. Найти: горизонтальные и вертикальные сечения, образующие через $M$, угол между ними.

Шаг 1. Опознать поверхность по знакам. Канонический вид однополостного гиперболоида - $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$: два плюса, один минус, справа единица. Сравниваем коэффициенты: $a^2 = 16$, $b^2 = 9$, $c^2 = 25$, то есть $a = 4$, $b = 3$, $c = 5$. Ось поверхности - та, у переменной которой стоит минус, здесь это ось $Oz$. Центр симметрии лежит в начале координат.

Шаг 2. Разрезать горизонтальными плоскостями $z = h$. Подставляем $z = h$ и переносим известное слагаемое вправо:

$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 + \frac{h^2}{25}.$$

Справа стоит число, которое всегда больше нуля, поэтому в сечении всегда получается эллипс - ни при какой высоте он не исчезает и не стягивается в точку. Удобно ввести коэффициент раздутия $k = \sqrt{1 + h^2/25}$: тогда полуоси сечения равны $4k$ и $3k$, а само сечение записывается как $\dfrac{x^2}{(4k)^2} + \dfrac{y^2}{(3k)^2} = 1$.

Самый узкий эллипс получается при $h = 0$: его полуоси равны в точности $a = 4$ и $b = 3$. Это горловина поверхности, и именно она задаёт талию будущего чертежа. Уровень $h = 12$ подобран так, чтобы корень извлекался нацело: $\sqrt{1 + 144/25} = 13/5 = 2{,}6$, отсюда аккуратные 10,4 и 7,8.

Шаг 3. Разрезать вертикальными плоскостями. В плоскости $y = 0$ остаётся $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{z^2}{25} = 1$ - гипербола с действительной осью вдоль $Ox$, вершинами $(\pm 4;\,0;\,0)$ и асимптотами $z = \pm\frac{5}{4}x$. В плоскости $x = 0$ остаётся $\dfrac{y^2}{9} - \dfrac{z^2}{25} = 1$ - гипербола с вершинами $(0;\,\pm 3;\,0)$ и асимптотами $z = \pm\frac{5}{3}y$. Действительные оси обеих гипербол горизонтальны, мнимая ось у обеих направлена вдоль $Oz$, поэтому ветви уходят вверх и вниз, расходясь в стороны.

Все эти асимптоты - следы одной поверхности, асимптотического конуса $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} - \dfrac{z^2}{25} = 0$. Гиперболоид неограниченно приближается к нему сверху и снизу, но нигде его не пересекает: разность левых частей равна постоянной единице.

Шаг 4. Собрать эскиз. Сначала рисуем горловинный эллипс с полуосями 4 и 3. Потом проводим две опорные гиперболы из шага 3 - в плоскостях $y = 0$ и $x = 0$, обе вершинами наружу. Затем на высотах $z = \pm 5$ и $z = \pm 12$ докладываем эллипсы с полуосями из таблицы: верхний и нижний симметричны относительно горловины. Соединив крайние точки эллипсов плавными дугами, получаем фигуру с талией.

Шаг 5. Найти прямолинейные образующие через $M(2{,}4;\,2{,}4;\,0)$. Сначала проверка принадлежности: $\dfrac{5{,}76}{16} + \dfrac{5{,}76}{9} - 0 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$, точка действительно на поверхности. Теперь собираем разности квадратов по обе стороны от знака равенства:

$$\frac{x^2}{16} - \frac{z^2}{25} = 1 - \frac{y^2}{9} \quad\Longleftrightarrow\quad \left(\frac{x}{4} - \frac{z}{5}\right)\left(\frac{x}{4} + \frac{z}{5}\right) = \left(1 - \frac{y}{3}\right)\left(1 + \frac{y}{3}\right).$$

Равенство произведений распадается на две серии прямых. Первая серия:

$$\begin{aligned} \lambda\left(\frac{x}{4} - \frac{z}{5}\right) &= \mu\left(1 - \frac{y}{3}\right), \\[4pt] \mu\left(\frac{x}{4} + \frac{z}{5}\right) &= \lambda\left(1 + \frac{y}{3}\right). \end{aligned}$$

Подставляем координаты точки: $\frac{x}{4} - \frac{z}{5} = 0{,}6$, $\frac{x}{4} + \frac{z}{5} = 0{,}6$, $1 - \frac{y}{3} = 0{,}2$, $1 + \frac{y}{3} = 1{,}8$. Из первого уравнения $0{,}6\lambda = 0{,}2\mu$, то есть $\lambda : \mu = 1 : 3$; второе уравнение эту пару подтверждает: $0{,}6 \cdot 3 = 1{,}8 \cdot 1$. Берём $\lambda = 1$, $\mu = 3$ и получаем прямую как пересечение двух плоскостей:

$$L_1: \; \begin{cases} 5x + 20y - 4z = 60, \\ 45x - 20y + 36z = 60. \end{cases}$$

Направляющий вектор - векторное произведение нормалей $(5;\,20;\,-4)$ и $(45;\,-20;\,36)$, равное $(640;\,-360;\,-1000)$, то есть после деления на $-40$ вектор $\vec{s_1} = (-16;\,9;\,25)$. Канонические уравнения:

$$L_1: \; \frac{x - 2{,}4}{-16} = \frac{y - 2{,}4}{9} = \frac{z}{25}.$$

Вторая серия отличается перестановкой множителей справа: $\lambda\left(\frac{x}{4} - \frac{z}{5}\right) = \mu\left(1 + \frac{y}{3}\right)$ и $\mu\left(\frac{x}{4} + \frac{z}{5}\right) = \lambda\left(1 - \frac{y}{3}\right)$. Та же подстановка даёт $0{,}6\lambda = 1{,}8\mu$, то есть $\lambda : \mu = 3 : 1$, а вместе с ней вторую прямую:

$$L_2: \; \frac{x - 2{,}4}{16} = \frac{y - 2{,}4}{-9} = \frac{z}{25}, \qquad \vec{s_2} = (16;\,-9;\,25).$$

Угол между образующими считается как угол между их направляющими векторами:

$$\cos\varphi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}|\,|\vec{s_2}|} = \frac{|-256 - 81 + 625|}{962} = \frac{288}{962} \approx 0{,}2994, \qquad \varphi \approx 72^\circ35'.$$

Ответ. Горловинный эллипс: полуоси 4 и 3. Сечение $z = 5$: полуоси $4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ и $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$; сечение $z = 12$: полуоси 10,4 и 7,8. Образующие через $M$: $\dfrac{x - 2{,}4}{-16} = \dfrac{y - 2{,}4}{9} = \dfrac{z}{25}$ и $\dfrac{x - 2{,}4}{16} = \dfrac{y - 2{,}4}{-9} = \dfrac{z}{25}$, угол между ними $\approx 72^\circ35'$.

Формула и откуда она берётся

В каноническом уравнении $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ числа $a$ и $b$ - полуоси горловинного эллипса, а $c$ - не размер, а скорость расширения: чем меньше $c$, тем быстрее раздувается коэффициент $k = \sqrt{1 + z^2/c^2}$ и вместе с ним сечение. При $a = b$ горловина становится окружностью, а поверхность - гиперболоидом вращения.

Почему полость одна, видно из того же преобразования $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2}$: правая часть положительна при любом $z$, значит, сечение существует на каждой высоте и поверхность связная. Поменяйте единицу справа на $-1$, и картина изменится: сечения появятся только при $|z| \geq c$, получатся две отдельные чаши - двуполостный гиперболоид. Ноль справа даёт промежуточный случай, тот самый асимптотический конус.

Отсюда практический признак: тип задают знаки и свободный член, а минус стоит у той переменной, вдоль оси которой вытянута поверхность. Уравнение $-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ описывает тот же гиперболоид, только лежащий вдоль оси $Ox$.

Прямолинейные образующие: почему поверхность линейчатая

Разложение на множители из шага 5 - это не трюк для конкретных чисел, а общий приём. Левая часть $\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}$ и правая $1 - \frac{y^2}{b^2}$ обе являются разностями квадратов, поэтому уравнение сводится к равенству двух произведений. Приравняв отношения множителей к параметрам $\lambda$ и $\mu$, получаем две серии прямых, целиком лежащих на поверхности. Через каждую точку гиперболоида проходит ровно по одной прямой из каждой серии, то есть поверхность дважды линейчатая - этим она похожа на гиперболический параболоид, у которого работает тот же приём.

Две образующие, проходящие через одну точку, определяют касательную плоскость в этой точке. В нашем примере это плоскость $0{,}15x + 0{,}267y = 1$, и оба вектора $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$ ей параллельны - проверить это можно скалярным произведением с нормалью, оно обращается в ноль. Полезно сравнить результат с общим способом через градиент, разобранным в задаче про нормаль к поверхности.

У проекций есть свойство, которое видно на виде сверху в калькуляторе: любая образующая проецируется на плоскость $Oxy$ в прямую, касающуюся горловинного эллипса. Поверхность целиком лежит вне горловины, поэтому прямая на ней не заходит внутрь эллипса и лишь дотрагивается до него. На этом держится строительная практика: если поставить прямые стержни по касательным к окружности основания и наклонить их одинаково в две стороны, каркас сам примет форму гиперболоида. Так устроены Шуховская башня на Шаболовке, водонапорные башни и градирни: кривая жёсткая оболочка собирается из прямого проката, гнуть металл не нужно.

Если уравнение дано не в каноническом виде

В контрольных поверхность чаще задают уравнением со смешанными слагаемыми, например $4x^2 + 9y^2 - 36z^2 - 8x + 18y = 131$. Линейные члены убираются выделением полных квадратов: $4(x - 1)^2 + 9(y + 1)^2 - 36z^2 = 144$, и после деления на 144 получается $\frac{(x-1)^2}{36} + \frac{(y+1)^2}{16} - \frac{z^2}{4} = 1$. Это тот же однополостный гиперболоид с полуосями 6, 4 и 2, только сдвинутый: центр попал в точку $(1;\,-1;\,0)$. Техника выделения квадратов одинакова для кривых и поверхностей, подробный разбор - в задаче про приведение уравнения к каноническому виду.

Хуже, когда в уравнении есть произведения переменных вроде $xy$ или $xz$: оси поверхности повёрнуты относительно координатных, и сначала нужно привести квадратичную форму к главным осям через собственные значения матрицы. Знаки собственных значений сразу отвечают на вопрос о типе: два положительных и одно отрицательное при положительном свободном члене - однополостный гиперболоид. Метод тот же, что и для кривых на плоскости, разобранный в задаче про приведение кривой к каноническому виду.

Частые ошибки

• Путают однополостный и двуполостный гиперболоид. Считать нужно не минусы, а их сочетание со свободным членом: один минус и $+1$ справа - одна полость, два минуса и $+1$ (то же самое, что один минус и $-1$) - две.
• Ищут вершины там, где их нет. У однополостного гиперболоида нет точек, где сечение стягивается в точку: горловинный эллипс - это минимальное сечение, а не вершина. Вершинами обладают только его вертикальные гиперболы.
• Считают полуоси сечения равными $a$ и $b$ на любой высоте. Полуоси растут пропорционально $k = \sqrt{1 + h^2/c^2}$: на высоте $h = c$ они уже в $\sqrt{2}$ раза больше, чем на горловине.
• Теряют вторую серию образующих. Через точку проходят две прямые, а не одна: вторая получается перестановкой множителей в правой части разложения. Ответ с одной прямой неполон.
• Берут вместо $\lambda$ и $\mu$ конкретные числа наугад. Пара $(\lambda : \mu)$ определяется координатами точки и находится из первого уравнения серии, второе служит проверкой.
• Не проверяют принадлежность точки поверхности. Если подстановка не даёт единицу, дальше считать бессмысленно: образующих через такую точку не существует.

FAQ

Чем однополостный гиперболоид отличается от гиперболического параболоида? У обоих есть прямолинейные образующие, но горизонтальные сечения разные. У гиперболоида это эллипсы на любой высоте, у параболоида - гиперболы, вырождающиеся в пару прямых на нулевом уровне. Гиперболоид имеет центр симметрии, седло - нет.

Сколько прямых проходит через точку однополостного гиперболоида? Ровно две, по одной из каждой серии. Они пересекаются в этой точке и задают касательную плоскость к поверхности.

Как быстро понять, что перед тобой гиперболоид вращения? Если полуоси при $x^2$ и $y^2$ равны, горловина становится окружностью, а поверхность получается вращением гиперболы вокруг оси, у переменной которой стоит минус. Все горизонтальные сечения тогда окружности радиусом $ak$.

Зачем нужны прямолинейные образующие на практике? Они позволяют собрать искривлённую поверхность из прямых элементов: стержней, балок, тросов. Отсюда гиперболоидные башни и градирни, где оболочка сделана из прямого проката и работает без изгиба.

Коротко

1. Опознай тип: два плюса, один минус, единица справа - однополостный гиперболоид, его ось совпадает с осью переменной при минусе.
2. Горизонтальные сечения $z = h$ - эллипсы с полуосями $ak$ и $bk$, где $k = \sqrt{1 + h^2/c^2}$; самый узкий из них при $h = 0$ и есть горловина.
3. Вертикальные сечения $x = 0$ и $y = 0$ - гиперболы с действительными осями в горизонтальной плоскости и общим асимптотическим конусом $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$.
4. Эскиз собирается в порядке «горловина, две опорные гиперболы, эллипсы верхнего и нижнего уровней».
5. Для примера $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{25} = 1$: горловина 4 и 3, сечение $z = 12$ даёт 10,4 и 7,8, а через точку $M(2{,}4;\,2{,}4;\,0)$ проходят прямые с векторами $(-16;\,9;\,25)$ и $(16;\,-9;\,25)$ под углом $\approx 72^\circ35'$.