Как рассчитать шлицевое соединение: проверка на смятие

Дано: прямобочное шлицевое соединение лёгкой серии $8 \times 36 \times 40$ по ГОСТ 1139-80, то есть число зубьев $z = 8$, внутренний диаметр $d = 36$ мм, наружный $D = 40$ мм, ширина зуба $b = 7$ мм, фаска $f = 0{,}4$ мм; рабочая длина соединения $l = 50$ мм, передаваемый момент $T = 320$ Н·м, коэффициент неравномерности $\psi = 0{,}75$, допускаемое напряжение смятия $[\sigma_{\text{см}}] = 80$ МПа. Найти: напряжение смятия на боковых гранях зубьев и вывод о прочности соединения.

Шлицевое соединение проверяют по одному главному критерию: смятию рабочих граней зубьев. Ответ: $\sigma_{\text{см}} = 46{,}8$ МПа против допускаемых 80 МПа, условие прочности выполняется с запасом 1,71; по смятию соединение передаст до 547 Н·м, а минимальная рабочая длина при заданном моменте всего 29,2 мм. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: подвинь ползунок длины, и видно, где кривая напряжения пересекает линию допускаемого.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу:

Найти: $\sigma_{\text{см}}$ и сравнить с допускаемым.

Шаг 1. Средний диаметр. Момент со ступицы на вал передают боковые грани зубьев. Равнодействующая сил давления приложена примерно на середине высоты зуба, поэтому плечо силы относительно оси вала берут равным половине среднего диаметра:

$$d_{\text{ср}} = \frac{D + d}{2} = \frac{40 + 36}{2} = 38\ \text{мм}$$

Шаг 2. Рабочая высота зуба. Полная высота выступа равна $(D - d)/2 = 2$ мм, но у вершины и у основания зуба сняты фаски, и эти участки в контакте не работают. Из высоты вычитают две фаски:

$$h = \frac{D - d}{2} - 2f = \frac{40 - 36}{2} - 2 \cdot 0{,}4 = 2 - 0{,}8 = 1{,}2\ \text{мм}$$

Потеря ощутимая: фаски съели 40 % высоты зуба. Именно поэтому забытые фаски дают заниженное напряжение и ложный запас.

Шаг 3. Окружная сила и площадь смятия. Переведём момент в ньютон-миллиметры: $T = 320$ Н·м $= 320 \cdot 10^3$ Н·мм. Суммарная окружная сила на среднем диаметре:

$$F_t = \frac{2T}{d_{\text{ср}}} = \frac{2 \cdot 320 \cdot 10^3}{38} = 16\,842\ \text{Н} \approx 16{,}8\ \text{кН}$$

Эту силу несут не все зубья одинаково, поэтому расчётную площадь смятия уменьшают коэффициентом $\psi$:

$$A_{\text{см}} = \psi z h l = 0{,}75 \cdot 8 \cdot 1{,}2 \cdot 50 = 360\ \text{мм}^2$$

Шаг 4. Напряжение смятия. Делим силу на площадь, то есть собираем всё в одну рабочую формулу:

$$\sigma_{\text{см}} = \frac{2T}{\psi z d_{\text{ср}} h l} = \frac{2 \cdot 320 \cdot 10^3}{0{,}75 \cdot 8 \cdot 38 \cdot 1{,}2 \cdot 50} = \frac{640 \cdot 10^3}{13\,680} = 46{,}8\ \text{МПа}$$

Шаг 5. Сравнение и запас. Условие прочности $\sigma_{\text{см}} \le [\sigma_{\text{см}}]$ выполняется: 46,8 МПа меньше 80 МПа, отношение допускаемого к фактическому равно 1,71. Полезно сразу посчитать и два производных ответа. Минимальная рабочая длина, при которой соединение ещё проходит:

$$l_{\min} = \frac{2T}{\psi z d_{\text{ср}} h [\sigma_{\text{см}}]} = \frac{640 \cdot 10^3}{0{,}75 \cdot 8 \cdot 38 \cdot 1{,}2 \cdot 80} = 29{,}2\ \text{мм}$$

Наибольший момент, который соединение передаст при принятой длине 50 мм:

$$[T] = \frac{[\sigma_{\text{см}}]\, \psi z d_{\text{ср}} h l}{2} = \frac{80 \cdot 13\,680}{2} = 547{,}2 \cdot 10^3\ \text{Н}\cdot\text{мм} = 547\ \text{Н}\cdot\text{м}$$

Ответ. $\sigma_{\text{см}} = \mathbf{46{,}8}$ МПа $< [\sigma_{\text{см}}] = 80$ МПа, соединение прочное. Запас по напряжению 1,71, по моменту соединение держит 547 Н·м, минимальная рабочая длина 29,2 мм.

Формула и откуда она берётся

Вывод занимает три строки, и его стоит понимать, а не заучивать. Момент передаётся давлением боковых граней зубьев. Заменяем распределённое давление равнодействующей $F_t$, приложенной на радиусе $d_{\text{ср}}/2$, откуда $T = F_t \cdot d_{\text{ср}} / 2$ и $F_t = 2T / d_{\text{ср}}$.

Дальше работает обычное определение напряжения смятия: сила, делённая на площадь контакта. Один зуб контактирует по прямоугольнику $h \times l$, зубьев $z$ штук, значит, геометрическая площадь равна $z h l$. Подставляем и получаем рабочую формулу.

Коэффициент $\psi = 0{,}7 \ldots 0{,}8$ учитывает то, что реально в работе участвуют не все зубья. Погрешности шага и неодинаковые зазоры приводят к тому, что нагрузку сначала берут два-три зуба, а остальные включаются по мере смятия и обмятия поверхностей. Меньшее значение берут для длинных соединений и грубых степеней точности, большее, до 0,8, для коротких и точных. В курсовом проекте чаще всего пишут 0,75, как в нашей задаче.

Допускаемое напряжение зависит не от материала, а от характера соединения. Для неподвижных соединений при средних условиях работы берут 80 МПа (в лёгких условиях до 120, при ударах и реверсе снижают до 60), для подвижных соединений, перемещающихся без нагрузки, около 40 МПа, а для перемещающихся под нагрузкой всего 10-20 МПа. Разница огромная, потому что у подвижных шлицев к смятию добавляется износ, и допускаемое напряжение фактически ограничивает не прочность, а скорость изнашивания.

Заметь, что диаметр вала в расчёт не входит явно: он сидит внутри $d_{\text{ср}}$ и $h$. Сам вал под шлицами считают отдельно на кручение по внутреннему диаметру $d$, как в разборе подбора диаметра вала, а посадку ступицы назначают по ГОСТ, см. расчёт допусков посадки.

Срез зубьев: вторая проверка и почему она не решает

В старых учебниках рядом со смятием стоит проверка зубьев на срез по основанию. Площадь среза одного зуба равна $b l$, а формула отличается от первой только заменой $h$ на $b$:

$$\tau_{\text{ср}} = \frac{2T}{\psi z d_{\text{ср}} b l} = \frac{640 \cdot 10^3}{0{,}75 \cdot 8 \cdot 38 \cdot 7 \cdot 50} = 8{,}0\ \text{МПа}$$

При допускаемом напряжении на срез 20-40 МПа запас получается пятикратный. Так выходит всегда: ширина зуба $b = 7$ мм почти в шесть раз больше рабочей высоты $h = 1{,}2$ мм, поэтому срезные напряжения во столько же раз меньше смятия. Отсюда практическое правило: шлицевое соединение рассчитывают на смятие, а срез проверяют только если этого явно требует методичка.

По той же схеме «момент - окружная сила - площадь смятия» считают почти все соединения вала со ступицей: упругие втулки муфты в подборе муфты проверяют ровно так же. Шпоночное соединение проигрывает шлицевому именно на площади: контакт даёт одна шпонка, а не восемь зубьев, поэтому при одном диаметре вала шлицы передают момент в два-три раза больший.

Эвольвентные шлицы и подвижные соединения

Для эвольвентного соединения по ГОСТ 6033-80 формула та же, меняются только два размера. Средним диаметром служит делительный, $d_{\text{ср}} = m z$, а рабочая высота зуба принимается $h = 0{,}8 m$, где $m$ - модуль. Возьмём соединение с номинальным диаметром 40 мм и модулем 2 мм: число зубьев $z = D/m - 2 = 18$, тогда $d_{\text{ср}} = 36$ мм и $h = 1{,}6$ мм.

$$\sigma_{\text{см}} = \frac{640 \cdot 10^3}{0{,}75 \cdot 18 \cdot 36 \cdot 1{,}6 \cdot 50} = 16{,}5\ \text{МПа}$$

Втрое меньше, чем у прямобочного при том же наружном диаметре и той же длине. Причина в числе зубьев: их 18 вместо 8, и суммарная площадь контакта растёт быстрее, чем падает средний диаметр. Именно поэтому эвольвентный профиль ставят там, где момент большой, а место ограничено.

Если соединение подвижное, например шестерня коробки передач перемещается по шлицам вала под нагрузкой, то поменяется не формула, а допускаемое напряжение: вместо 80 МПа в знаменателе проверки окажется 10-20 МПа. Наше соединение в таком режиме не пройдёт, и длину пришлось бы увеличить примерно вчетверо, до 117-234 мм, что нереально. Выход на практике один: увеличить диаметр и число зубьев, а не тянуть ступицу вдоль вала. Длиннее 1,5 диаметра ступицу не делают - дальние зубья всё равно почти не нагружены из-за закручивания вала, и формальный расчёт начинает врать в опасную сторону.

Частые ошибки

• Забывают вычесть фаски. Подставляют $h = (D - d)/2 = 2$ мм вместо 1,2 мм и получают 28,1 МПа вместо 46,8. Ошибка в 1,67 раза, и всегда в сторону мнимого запаса.
• Теряют коэффициент $\psi$. Без него площадь смятия получается 480 мм² вместо 360, напряжение падает до 35,1 МПа. Коэффициент стоит именно в знаменателе и уменьшает расчётную площадь, а не нагрузку.
• Путают ширину зуба и его рабочую высоту. В формулу смятия идёт $h$, в формулу среза - $b$. Подстановка $b = 7$ мм в проверку на смятие занижает напряжение в шесть раз.
• Забывают множитель 2. Он приходит из $T = F_t d_{\text{ср}} / 2$: сила выражается через момент и радиус, а не через диаметр.
• Не переводят момент в ньютон-миллиметры. Если оставить 320 Н·м рядом с миллиметрами, ответ выйдет 0,047 МПа, и абсурдность результата легко не заметить.
• Берут наружный диаметр вместо среднего. Разница здесь невелика (40 против 38), но в соединениях тяжёлой серии с большой высотой зуба она доходит до 15 %.
• Считают полную длину ступицы вместо рабочей. Рабочая длина - это участок, где зубья реально перекрываются; проточки, канавки и выход фрезы из неё вычитают.

FAQ

Нужно ли проверять шлицевое соединение на срез и на изгиб зуба? На срез - только по требованию методички: как показано выше, запас там всегда пятикратный. Расчёт зуба на изгиб для шлицев вообще не ведут: зуб низкий и широкий, изгибные напряжения в нём пренебрежимо малы в отличие от зубьев зубчатого колеса, где изгиб и есть главный критерий, как в расчёте зубчатой передачи.

Какое $\psi$ брать, если в задании оно не задано? Пиши 0,75 - это середина диапазона 0,7-0,8 и стандартное значение для учебных расчётов. Взять 0,7 не будет ошибкой, это просто более осторожный вариант, напряжение вырастет на 7 %.

Откуда берутся размеры $d$, $D$, $b$ и $f$, если в условии дано только обозначение? Из таблиц ГОСТ 1139-80 по обозначению вида $8 \times 36 \times 40$: первое число - количество зубьев, второе - внутренний диаметр, третье - наружный. Ширина зуба и фаска стоят в той же строке таблицы; для лёгкой серии $8 \times 36 \times 40$ это $b = 7$ мм и $f = 0{,}4$ мм.

Что делать, если соединение не проходит по смятию? По порядку: сначала увеличить рабочую длину, но не более чем до $1{,}5 d$; если не хватило - перейти на среднюю или тяжёлую серию с большей высотой зуба; следом - на эвольвентный профиль с большим числом зубьев; и только в последнюю очередь увеличивать диаметр вала, потому что за ним потянутся подшипники, как в разборе выбора радиального подшипника, и вся компоновка узла.

Коротко

1. Найди средний диаметр $d_{\text{ср}} = (D + d)/2 = 38$ мм и рабочую высоту зуба $h = (D - d)/2 - 2f = 1{,}2$ мм: фаски обязательно вычитаются.
2. Переведи момент в ньютон-миллиметры: $T = 320$ Н·м $= 320 \cdot 10^3$ Н·мм.
3. Посчитай напряжение смятия $\sigma_{\text{см}} = 2T / (\psi z d_{\text{ср}} h l) = 46{,}8$ МПа, где $\psi = 0{,}75$ учитывает неравномерность нагрузки по зубьям.
4. Сравни с допускаемым: 46,8 МПа меньше 80 МПа, запас 1,71 - соединение прочное.
5. Полезные производные ответы: минимальная рабочая длина $l_{\min} = 29{,}2$ мм и допускаемый момент $[T] = 547$ Н·м; проверка на срез даёт 8,0 МПа и решающей не бывает.