Абсолютное и относительное удлинение стержня: формулы

При растяжении прямого стержня осевой силой возникают сразу две связанные, но разные по смыслу величины: абсолютное удлинение $\Delta l$ и относительное удлинение $\varepsilon$. Их часто путают, потому что оба слова описывают одно и то же явление - стержень становится длиннее, - но отвечают они на разные вопросы. Абсолютное удлинение отвечает на вопрос «на сколько миллиметров вырос стержень», относительное - «насколько сильно он деформировался по отношению к своей исходной длине». Ниже разберём, чем эти величины отличаются, как вывести формулу удлинения через закон Гука, почему относительное удлинение не зависит от длины стержня, а абсолютное - зависит напрямую, и как считать удлинение ступенчатого стержня. Чтобы сразу почувствовать разницу, задай силу, длину, сечение и материал в калькуляторе ниже: он покажет обе величины разом и график, который наглядно разводит их поведение.

Что такое абсолютное и относительное удлинение

Пусть прямой стержень постоянного сечения имел исходную длину $l_0$, а после приложения осевой растягивающей силы $F$ его длина стала $l_1$. Абсолютное удлинение - это просто разность длин:

$\Delta l = l_1 - l_0,$

размерная величина, измеряется в миллиметрах или метрах - точно так же, как сама длина. Относительное удлинение (его же называют продольной деформацией) - это отношение абсолютного удлинения к исходной длине:

$\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}.$

Это уже безразмерная величина: миллиметры делятся на миллиметры и сокращаются. На практике $\varepsilon$ почти всегда выражают в процентах, умножая результат на 100, либо оставляют в виде десятичной дроби порядка $10^{-4}$–$10^{-3}$ для упругой области. Ключевое отличие в одной фразе: абсолютное удлинение - это «сколько миллиметров», относительное - «сколько процентов от исходной длины».

Формула абсолютного удлинения через закон Гука

Чтобы получить рабочую формулу для расчёта, а не только определение, свяжем удлинение с силой и геометрией сечения. Нормальное напряжение в стержне равно силе, делённой на площадь поперечного сечения:

$\sigma = \frac{F}{A}.$

Рассчитать для своей задачи

В упругой области напряжение и относительная деформация связаны законом Гука:

$\sigma = E\,\varepsilon \quad\Rightarrow\quad \varepsilon = \frac{\sigma}{E},$

где $E$ - модуль Юнга (модуль продольной упругости), у стали около 200 ГПа, у алюминия около 70 ГПа, у меди около 110 ГПа. Подставив $\varepsilon = \Delta l / l_0$ и $\sigma = F/A$, получаем главную формулу абсолютного удлинения:

$\Delta l = \varepsilon\, l_0 = \frac{F\, l_0}{E\, A}.$

Формула показывает, от чего зависит $\Delta l$ напрямую: удлинение растёт с силой $F$ и исходной длиной $l_0$, но падает с ростом модуля упругости $E$ и площади сечения $A$. Это размерная формула - при перестановке единиц (метры вместо миллиметров, ньютоны вместо килоньютонов) числовое значение $\Delta l$ меняется, поэтому единицы нужно приводить к одной системе перед подстановкой.

Формула относительного удлинения и почему оно безразмерно

Относительное удлинение можно получить двумя эквивалентными путями: либо напрямую из измеренных длин, $\varepsilon = (l_1 - l_0)/l_0$, либо через напряжение и модуль упругости, $\varepsilon = \sigma/E = F/(EA)$. Второй путь особенно полезен: заметьте, что длина стержня $l_0$ в эту формулу вообще не входит.

Рассчитать для своей задачи

Именно это отсутствие $l_0$ в формуле $\varepsilon = F/(EA)$ и есть источник главного различия: относительное удлинение - это характеристика напряжённого состояния материала (насколько сильно "растянуты" его волокна), а не абсолютный размер детали. Инженер, читающий чертёж, сразу видит: одно и то же значение $\varepsilon$ может соответствовать стержню в 1 см и стержню в 10 метров - просто во втором случае абсолютный прирост длины будет в 1000 раз больше.

Почему абсолютное удлинение зависит от длины, а относительное - нет

Возьмём два стержня из одного материала (одинаковый $E$) и одинакового сечения $A$, нагруженные одной и той же силой $F$. Тогда напряжение $\sigma = F/A$ у них одинаковое, а значит, и относительное удлинение $\varepsilon = \sigma/E$ у них тоже совпадает - оно "не знает" про длину стержня. А вот абсолютное удлинение у более длинного стержня будет больше ровно во столько раз, во сколько раз он длиннее:

Рассчитать для своей задачи

Например, при напряжении $\sigma = 200$ МПа и модуле $E = 200$ ГПа относительное удлинение $\varepsilon = 200/200000 = 0{,}1\%$ - одинаково для стержня любой длины. Но стержень длиной 1 м удлинится на $\Delta l = 0{,}001 \cdot 1000 = 1$ мм, а стержень длиной 3 м - на $\Delta l = 0{,}001 \cdot 3000 = 3$ мм. Это ровно та зависимость, которую показывает график в калькуляторе выше: прямая линия абсолютного удлинения растёт с длиной, а пунктирная линия относительного удлинения остаётся горизонтальной. Практический вывод: относительное удлинение годится для сравнения материалов и оценки прочности независимо от размеров детали, а абсолютное удлинение нужно там, где важен реальный зазор или перемещение - например, при расчёте температурных швов или допусков в сборке.

Ступенчатый стержень: сумма абсолютных удлинений по участкам

Если стержень состоит из нескольких участков разной длины, площади сечения или материала (ступенчатый стержень, или стержень с разными продольными силами на участках), относительное удлинение каждого участка своё, а общее абсолютное удлинение стержня равно сумме абсолютных удлинений всех участков:

$\Delta l_{\text{общ}} = \sum_{i=1}^{n} \Delta l_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{N_i\, l_i}{E_i\, A_i},$

где $N_i$, $l_i$, $E_i$, $A_i$ - продольная сила, длина, модуль упругости и площадь сечения $i$-го участка. Обратите внимание: складывать напрямую относительные удлинения участков нельзя, потому что у них могут быть разные исходные длины - сначала находят абсолютное удлинение каждого участка, суммируют, и только затем, если нужно, делят сумму на полную длину стержня, чтобы получить некое среднее относительное удлинение всего стержня.

Пример решения задачи

Стальной стержень ($E = 200$ ГПа) длиной $l_0 = 2000$ мм и площадью поперечного сечения $A = 300$ мм² растянут осевой силой $F = 40$ кН. Нужно найти относительное и абсолютное удлинение.

Сначала находим напряжение:

$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{40000\ \text{Н}}{300\ \text{мм}^2} \approx 133{,}3\ \text{МПа}.$

Проверяем, что напряжение далеко от предела текучести стали (обычно 235–355 МПа) - упругая область, закон Гука применим. Находим относительное удлинение:

$\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{133{,}3}{200000} \approx 0{,}000667 = 0{,}0667\%.$

И, наконец, абсолютное удлинение:

$\Delta l = \varepsilon\, l_0 = 0{,}000667 \cdot 2000\ \text{мм} \approx 1{,}33\ \text{мм}.$

Стержень длиной два метра под такой нагрузкой вытягивается чуть больше чем на миллиметр - деформация упругая и почти незаметна на глаз, что типично для металлических конструкций в рабочем диапазоне нагрузок.

Частые ошибки

• Путают единицы модуля упругости и напряжения. Модуль Юнга обычно дают в ГПа, а напряжение считают в МПа - забыв домножить $E$ на 1000, получают деформацию в 1000 раз больше реальной.
• Складывают относительные удлинения участков ступенчатого стержня напрямую, забывая, что относительное удлинение зависит от длины конкретного участка - нужно сначала найти абсолютные удлинения и просуммировать их.
• Путают относительное удлинение $\varepsilon$ с относительным сужением $\psi$. Первое - упругая деформация по длине при растяжении в пределах закона Гука, второе - уменьшение площади сечения в шейке при разрушении образца; это величины из разных задач.
• Забывают проверить упругую область. Формула $\Delta l = Fl_0/(EA)$ верна только пока напряжение не превысило предел пропорциональности; за его пределами связь между напряжением и деформацией уже нелинейна.
• Путают исходную и конечную длину при подстановке в $\varepsilon = (l_1 - l_0)/l_0$ - делят на $l_1$ вместо $l_0$, получая заниженное значение.

FAQ

Чем абсолютное удлинение отличается от относительного? Абсолютное удлинение $\Delta l = l_1 - l_0$ - размерная величина в миллиметрах, показывает, на сколько выросла длина стержня. Относительное удлинение $\varepsilon = \Delta l / l_0$ - безразмерная величина (обычно в процентах), показывает эту же деформацию по отношению к исходной длине.

Как перейти от относительного удлинения к абсолютному? Нужно умножить относительное удлинение на исходную длину стержня: $\Delta l = \varepsilon\, l_0$. Если известны сила, сечение и модуль упругости, то $\varepsilon = \sigma/E = F/(EA)$, и та же формула даёт $\Delta l = Fl_0/(EA)$.

Зависит ли относительное удлинение от длины стержня? Нет - при одинаковом напряжении и материале относительное удлинение $\varepsilon = \sigma/E$ одинаково для стержня любой длины. От длины напрямую зависит только абсолютное удлинение $\Delta l = \varepsilon\, l_0$.

Коротко

Абсолютное удлинение $\Delta l = l_1 - l_0$ - размерная величина в миллиметрах, показывающая реальный прирост длины стержня. Относительное удлинение $\varepsilon = \Delta l/l_0 = \sigma/E$ - безразмерная деформация, характеризующая напряжённое состояние материала независимо от размеров детали. При одинаковом напряжении и материале $\varepsilon$ не меняется с длиной, а $\Delta l$ растёт пропорционально ей - поэтому для ступенчатого стержня складывают именно абсолютные удлинения участков, $\Delta l_{\text{общ}} = \sum N_i l_i/(E_i A_i)$, а не относительные.