Касательные напряжения при изгибе: формула Журавского

При поперечном изгибе балки в её сечении действуют не только нормальные напряжения от изгибающего момента, но и касательные - от поперечной силы. Их считают по формуле Журавского, которую в 1855 году вывел русский инженер-мостостроитель Дмитрий Иванович Журавский, столкнувшись с расслоением деревянных балок мостовых ферм вдоль волокон именно из-за сдвига. Формула связывает касательное напряжение на любом уровне сечения с поперечной силой, статическим моментом отсечённой части и шириной сечения. Ниже разберём, откуда берётся эта формула, почему касательное напряжение распределяется по параболе, как её применять для прямоугольника и круга и на что чаще всего ошибаются студенты. Чтобы сразу увидеть, как меняется напряжение по высоте сечения, покрути калькулятор ниже: он подсвечивает отсечённую площадь и строит эпюру касательных напряжений для выбранного уровня.

Формула Журавского

Касательное напряжение в точке сечения, отстоящей на расстояние $y$ от нейтральной оси, вычисляется по формуле:

$\tau(y) = \frac{Q \, S^*_x(y)}{I_x \, b(y)},$

где $Q$ - поперечная сила в рассматриваемом сечении балки, $I_x$ - осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси, $b(y)$ - ширина сечения на уровне $y$, а $S^*_x(y)$ - статический момент отсечённой части сечения (той её доли, что лежит выше или ниже уровня $y$) относительно той же нейтральной оси. Формула справедлива для прямого поперечного изгиба, когда поперечная сила лежит в плоскости симметрии сечения.

Смысл формулы прозрачен, если вспомнить, откуда берётся сдвиг. При изгибе соседние продольные слои балки стремятся сдвинуться друг относительно друга - так же, как страницы согнутой книги съезжают одна по другой. Формула Журавского как раз и даёт напряжение, которое противостоит этому сдвигу на конкретном уровне сечения.

Вывод формулы через равновесие элемента

Рассмотрим короткий элемент балки длиной $dx$ и отсечём от него часть выше уровня $y$. Нормальные напряжения на левой и правой гранях этой отсечённой части чуть отличаются, потому что изгибающий момент меняется вдоль оси балки на величину $dM = Q \, dx$. Из-за разницы напряжений на двух торцах отсечённой части возникает нескомпенсированная продольная сила, которая должна уравновешиваться касательным напряжением на горизонтальной площадке, разделяющей отсечённую часть и остальное сечение.

Рассчитать для своей задачи

Суммируя разность нормальных сил по площади отсечённой части и приравнивая её к касательной силе на площадке шириной $b(y)$ и длиной $dx$, после сокращений получают:

$\tau(y) = \frac{dM}{dx} \cdot \frac{S^*_x(y)}{I_x \, b(y)} = \frac{Q \, S^*_x(y)}{I_x \, b(y)},$

поскольку $dM/dx = Q$ - это одно из дифференциальных соотношений между эпюрами поперечной силы и изгибающего момента. Именно поэтому в формуле стоит статический момент отсечённой, а не всей площади: он показывает, сколько именно материала «тянет» разность моментов на выбранном уровне.

Почему напряжение распределяется по параболе

Возьмём самый наглядный случай - прямоугольное сечение шириной $b$ и высотой $h$. Момент инерции относительно центральной оси $I_x = b h^3/12$, ширина сечения постоянна и равна $b$ на любом уровне. Статический момент отсечённой части (от уровня $y$ до верхнего края $h/2$) равен:

$S^*_x(y) = \frac{b}{2}\left(\frac{h^2}{4} - y^2\right).$

Подставив $I_x$, $b(y) = b$ и $S^*_x(y)$ в формулу Журавского, получаем закон распределения напряжения по высоте прямоугольного сечения:

$\tau(y) = \frac{6Q}{b h^3}\left(\frac{h^2}{4} - y^2\right).$

Это уравнение параболы: напряжение равно нулю при $y = \pm h/2$ (на верхнем и нижнем волокнах сечения, где отсекать уже нечего) и максимально на нейтральной оси при $y = 0$:

$\tau_{max} = \frac{6Q}{b h^3} \cdot \frac{h^2}{4} = \frac{3Q}{2 b h} = 1{,}5 \, \frac{Q}{A},$

где $A = b h$ - площадь сечения. Максимальное касательное напряжение оказывается в полтора раза больше среднего напряжения $Q/A$, которое получилось бы, если бы сдвиг распределялся равномерно. Именно этот множитель $1{,}5$ отличает реальную картину сдвига от упрощённой оценки «сила делить на площадь».

Рассчитать для своей задачи

Формула для круглого сечения

Для сплошного круглого сечения радиусом $r = d/2$ ширина сечения меняется с уровнем по закону хорды окружности: $b(y) = 2\sqrt{r^2 - y^2}$, момент инерции $I_x = \pi r^4/4$, а статический момент отсечённого сегмента:

$S^*_x(y) = \frac{2}{3}\left(r^2 - y^2\right)^{3/2}.$

Подставив всё в формулу Журавского, множители $(r^2-y^2)$ разной степени сокращаются, и распределение напряжения снова получается параболическим:

$\tau(y) = \frac{4Q}{3\pi r^4}\left(r^2 - y^2\right), \qquad \tau_{max} = \frac{4Q}{3\pi r^2} = \frac{4}{3}\,\frac{Q}{A}.$

Здесь коэффициент перед средним напряжением $Q/A$ равен уже $4/3$, а не $3/2$: форма сечения меняет не только величину момента инерции, но и то, насколько неравномерно распределяется сдвиг. Оба калькулятора - прямоугольник и круг - доступны в интерактиве выше: переключи форму и посмотри, как меняется коэффициент концентрации напряжения на нейтральной оси.

Эпюра касательных напряжений и её проверка

Общее правило для любой сплошной формы сечения: на верхнем и нижнем крайних волокнах $\tau = 0$ (отсекать нечего, $S^*_x = 0$), а максимум достигается там, где отношение $S^*_x(y)/b(y)$ наибольшее - для симметричных сечений это, как правило, нейтральная ось. Проверить формулу удобно интегрированием: если проинтегрировать $\tau(y)$ по всей площади сечения, должна получиться ровно поперечная сила $Q$. Для прямоугольника интеграл параболы по высоте и ширине действительно даёт $Q$ - это стандартная проверка правильности вывода, которую стоит держать в уме при решении задач.

Для тонкостенных и составных сечений (двутавр, швеллер) формула Журавского работает так же, но считать нужно по частям: в полке ширина $b(y)$ большая, а статический момент растёт медленно, поэтому напряжение в полке мало; в стенке ширина резко падает до толщины стенки, и напряжение скачком возрастает - именно стенка двутавра воспринимает почти всю поперечную силу. Такой скачок на границе полки и стенки - характерный признак тонкостенных профилей, который стоит показывать на эпюре отдельно.

Пример решения типовой задачи

Балка прямоугольного сечения $b = 40$ мм, $h = 120$ мм нагружена поперечной силой $Q = 20$ кН. Нужно найти максимальное касательное напряжение и напряжение на уровне $y = 30$ мм от нейтральной оси.

Сначала находим момент инерции и площадь сечения:

$I_x = \frac{b h^3}{12} = \frac{40 \cdot 120^3}{12} = 5\,760\,000\ \text{мм}^4, \qquad A = b h = 4800\ \text{мм}^2.$

Максимальное напряжение на нейтральной оси считаем по короткой формуле:

$\tau_{max} = 1{,}5\,\frac{Q}{A} = 1{,}5 \cdot \frac{20\,000}{4800} \approx 6{,}25\ \text{МПа}.$

Теперь напряжение на уровне $y = 30$ мм - подставляем в полную формулу параболы:

$\tau(30) = \frac{6Q}{b h^3}\left(\frac{h^2}{4} - y^2\right) = \frac{6 \cdot 20\,000}{40 \cdot 120^3}\left(3600 - 900\right) \approx 3{,}91\ \text{МПа}.$

Как и ожидалось, напряжение на уровне $30$ мм заметно меньше максимума на нейтральной оси, а на крайнем волокне ($y = 60$ мм) обратилось бы в ноль. Проверить обе цифры и сразу увидеть форму параболы можно в калькуляторе выше, если задать те же $b$, $h$ и $Q$.

Частые ошибки

• Путаница статического момента всей площади и отсечённой части. В формулу подставляют $S^*_x(y)$ именно отсечённой (выше или ниже уровня $y$) части, а не всего сечения. Статический момент всей площади относительно собственной центральной оси всегда равен нулю - если в формуле получился ноль, значит, взяли не ту часть.
• Использование среднего напряжения $Q/A$ вместо максимального. Реальный максимум касательного напряжения на нейтральной оси в $1{,}5$ раза (прямоугольник) или в $4/3$ раза (круг) больше среднего - подстановка средней оценки в условие прочности занижает результат.
• Момент инерции всего сечения вместо отсечённой части. В знаменателе формулы Журавского всегда стоит $I_x$ целого сечения - она не меняется вместе с уровнем $y$, меняются только $S^*_x(y)$ и $b(y)$.
• Игнорирование скачка ширины в тонкостенных профилях. Для двутавра и швеллера ширину $b(y)$ нужно брать именно ту, что реально есть на данном уровне (в полке или в стенке) - иначе эпюра выйдет плавной там, где на самом деле есть скачок.
• Смешение поперечной силы $Q$ и изгибающего момента $M$. Касательные напряжения зависят от поперечной силы $Q$, нормальные - от изгибающего момента $M$; это две разные эпюры, которые в общем случае не обращаются в ноль в одном и том же сечении.

FAQ

Почему касательное напряжение равно нулю на верхнем и нижнем волокнах сечения? Потому что там отсекать больше нечего - статический момент отсечённой части $S^*_x(y)$ обращается в нуль ровно на краю сечения, а вместе с ним обращается в нуль и $\tau(y)$ по формуле Журавского.

Где максимальное касательное напряжение при изгибе прямоугольной балки? На нейтральной оси, где статический момент отсечённой части максимален. Для прямоугольника это $\tau_{max} = 1{,}5\,Q/A$ - в полтора раза больше среднего напряжения $Q/A$.

Кто вывел формулу Журавского и зачем? Русский инженер Дмитрий Журавский вывел её в 1855 году при проектировании деревянных мостовых ферм: балки расслаивались вдоль волокон именно из-за касательных напряжений сдвига, которые обычная теория изгиба (только через нормальные напряжения) не объясняла.

Коротко

Касательные напряжения при изгибе балки описывает формула Журавского $\tau(y) = Q\,S^*_x(y) / (I_x\,b(y))$: поперечная сила делится на момент инерции и ширину сечения, умноженные на статический момент отсечённой части. Для прямоугольника это даёт параболу с нулём на краях и максимумом $\tau_{max} = 1{,}5\,Q/A$ на нейтральной оси, для круга - параболу с максимумом $4Q/(3A)$. Формула объясняет, почему при изгибе балки материал у нейтральной оси работает на сдвиг сильнее всего, а у крайних волокон - практически не работает.