Эллиптическая функция Вейерштрасса: ℘ и её свойства

Эллиптическая функция Вейерштрасса $\wp(z)$ - это базовая мероморфная функция комплексного переменного, двоякопериодическая относительно решётки периодов на плоскости. Она играет для теории эллиптических функций ту же роль, что синус и косинус для тригонометрии: любая эллиптическая функция с данной решёткой рационально выражается через $\wp$ и её производную $\wp'$. Эту функцию не следует путать с интегральной (аппроксимационной) теоремой Вейерштрасса - речь идёт именно о конкретной аналитической функции $\wp$, введённой Карлом Вейерштрассом в 1860-х годах как удобная «образующая» всего класса.

Что такое двоякопериодическая функция

Тригонометрические функции имеют один период. Эллиптическая функция Вейерштрасса имеет два независимых периода $2\omega_1$ и $2\omega_3$, отношение которых не вещественно: $\tau = \omega_3/\omega_1 \notin \mathbb{R}$. Это значит, что функция повторяет свои значения при сдвиге на любой вектор решётки

$\Lambda = \{\, 2m\omega_1 + 2n\omega_3 : m, n \in \mathbb{Z} \,\}.$

Формально мероморфная функция называется эллиптической, если она двоякопериодична относительно $\Lambda$. По теореме Лиувилля всякая голоморфная (без полюсов) эллиптическая функция - постоянна, поэтому любая нетривиальная эллиптическая функция обязана иметь полюсы внутри фундаментального параллелограмма. Простейший «кирпич» с одним полюсом второго порядка в каждой ячейке решётки и есть функция Вейерштрасса.

Tool: разобрать ℘-функцию по решётке и инвариантам

Чтобы не вычислять вручную инварианты $g_2$, $g_3$, дискриминант $\Delta$ и проверять, что именно задаёт ваша решётка, ниже - мини-форма. Выбираешь, что у тебя дано (периоды $\omega_1, \omega_3$ либо инварианты $g_2, g_3$), и какую характеристику нужно получить - определение, дифференциальное уравнение, ряд Лорана или связь с функциями Якоби.

Определение через ряд по решётке

Функцию $\wp$ задают абсолютно сходящимся рядом по узлам решётки, из которого вычтены сингулярные части, чтобы обеспечить сходимость:

$\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}} \left[ \frac{1}{(z - \omega)^2} - \frac{1}{\omega^2} \right].$

Вычитание члена $1/\omega^2$ принципиально: без него ряд расходился бы. В каждой точке решётки функция имеет полюс второго порядка, а главная часть в нуле - это $1/z^2$. Функция чётная: $\wp(-z) = \wp(z)$, поскольку замена $z \to -z$ переставляет узлы решётки $\omega \to -\omega$. Производная

$\wp'(z) = -2 \sum_{\omega \in \Lambda} \frac{1}{(z - \omega)^3}$

нечётна и имеет полюс третьего порядка в узлах. Именно пара $(\wp, \wp')$ образует «координаты», через которые выражается всё остальное.

Ряд Лорана и инварианты g₂, g₃

Разложение $\wp$ в окрестности нуля содержит только чётные степени и не имеет свободного члена:

$\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \frac{g_2}{20} z^2 + \frac{g_3}{28} z^4 + \dots$

Коэффициенты задаются через ряды Эйзенштейна по решётке - это инварианты функции Вейерштрасса:

$g_2 = 60 \sum_{\omega \neq 0} \frac{1}{\omega^4}, \qquad g_3 = 140 \sum_{\omega \neq 0} \frac{1}{\omega^6}.$

Пара $(g_2, g_3)$ полностью определяет функцию $\wp$ (а значит и решётку с точностью до её формы). От них зависит дискриминант

$\Delta = g_2^3 - 27 g_3^2,$

и условие $\Delta \neq 0$ гарантирует, что решётка невырождена, а соответствующая кубика гладкая. Этот же дискриминант кубики $4x^3 - g_2 x - g_3$ связывает теорию $\wp$ с эллиптическими кривыми.

Дифференциальное уравнение Вейерштрасса

Ключевое алгебраическое свойство: $\wp$ и $\wp'$ связаны нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка

$\bigl(\wp'(z)\bigr)^2 = 4\,\wp(z)^3 - g_2\,\wp(z) - g_3.$

Это и есть дифференциальное уравнение Вейерштрасса. Оно показывает, что точки $\bigl(\wp(z), \wp'(z)\bigr)$ лежат на кубической кривой $y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3$ - параметризация эллиптической кривой функцией Вейерштрасса. Дифференцируя ещё раз, получают форму второго порядка $\wp'' = 6\wp^2 - \tfrac{1}{2} g_2$. Корни $e_1, e_2, e_3$ кубики $4x^3 - g_2 x - g_3 = 0$ - это значения $\wp$ в полупериодах:

$e_1 = \wp(\omega_1), \quad e_2 = \wp(\omega_2), \quad e_3 = \wp(\omega_3), \qquad e_1 + e_2 + e_3 = 0.$

Сумма корней равна нулю, потому что в кубике $4x^3 - g_2x - g_3$ отсутствует член со степенью $x^2$.

Связь с эллиптическими интегралами и функциями Якоби

Функция $\wp$ - это, по сути, обращение эллиптического интеграла. Из дифференциального уравнения следует

$z = \int_{\wp(z)}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{4t^3 - g_2 t - g_3}},$

то есть аргумент $z$ выражается интегралом, под корнем которого стоит кубический многочлен - а это в точности класс эллиптических интегралов Лежандра первого рода. Если интеграл Лежандра отображает амплитуду в значение, то $\wp$ выполняет обратное отображение, как и эллиптические функции Якоби $\operatorname{sn}, \operatorname{cn}, \operatorname{dn}$. Связь с Якоби явная: через корни $e_1, e_2, e_3$ можно записать

$\wp(z) = e_3 + \frac{e_1 - e_3}{\operatorname{sn}^2(u, k)}, \qquad k^2 = \frac{e_2 - e_3}{e_1 - e_3},$

где $u$ и $z$ связаны линейным масштабированием. Таким образом форма Вейерштрасса и форма Якоби - два эквивалентных языка для одной теории.

Теоремы Лиувилля и сложение

Эллиптические функции подчиняются нескольким теоремам Лиувилля. Число полюсов в фундаментальном параллелограмме (с учётом кратности) называют порядком функции; у $\wp$ он равен двум. Сумма вычетов по всем полюсам в ячейке равна нулю, а число нулей равно числу полюсов. Отсюда же следует знаменитая теорема сложения для $\wp$:

$\wp(z_1 + z_2) = -\wp(z_1) - \wp(z_2) + \frac{1}{4}\left( \frac{\wp'(z_1) - \wp'(z_2)}{\wp(z_1) - \wp(z_2)} \right)^2.$

Геометрически она выражает групповой закон сложения точек на эллиптической кривой: прямая через две точки кривой пересекает её в третьей, и это превращает $\wp$ в инструмент криптографии на эллиптических кривых и теории чисел.

Рядом с $\wp$ Вейерштрасс ввёл вспомогательные функции - дзета-функцию $\zeta(z)$ с $\zeta'(z) = -\wp(z)$ и сигма-функцию $\sigma(z)$ с $\sigma'/\sigma = \zeta$. В отличие от $\wp$, они не вполне периодичны: при сдвиге на период $\zeta$ получает постоянную добавку, а $\sigma$ - экспоненциальный множитель. Зато через $\sigma$ любая эллиптическая функция представляется как отношение произведений по её нулям и полюсам - это аналог разложения многочлена на множители и удобный способ строить эллиптические функции с заданными нулями.

Частые ошибки

• Путают $\wp$ с теоремой Вейерштрасса об аппроксимации. Это разные объекты: $\wp$ - конкретная двоякопериодическая мероморфная функция, а аппроксимационная (интегральная) теорема - утверждение о приближении непрерывных функций многочленами. Общего только имя.
• Берут одинаковые или вещественно-пропорциональные периоды. Если $\omega_3/\omega_1 \in \mathbb{R}$, решётка вырождается, и функция перестаёт быть двоякопериодической.
• Забывают вычесть $1/\omega^2$ в определяющем ряде. Без регуляризующего члена ряд $\sum 1/(z-\omega)^2$ расходится - сходимость обеспечивает именно разность.
• Считают $\Delta = g_2^3 - 27 g_3^2$, но не проверяют $\Delta \neq 0$. При нулевом дискриминанте кубика имеет кратный корень и $\wp$ вырождается в элементарную функцию.
• Путают порядок полюса. У $\wp$ полюс второго порядка, у $\wp'$ - третьего; ошибка ломает подсчёт нулей и вычетов.

FAQ

Чем функция Вейерштрасса удобнее функций Якоби? У $\wp$ один полюс второго порядка и предельно простой ряд Лорана, что упрощает алгебраические выкладки и связь с эллиптическими кривыми. Якоби-функции с тремя видами $\operatorname{sn}, \operatorname{cn}, \operatorname{dn}$ удобнее в прикладных задачах (маятник, волны), где естественен модуль $k$.

Как связаны инварианты $g_2, g_3$ и решётка периодов? Инварианты - это ряды Эйзенштейна $g_2 = 60\sum \omega^{-4}$ и $g_3 = 140\sum \omega^{-6}$ по узлам решётки. По решётке однозначно считаются $g_2, g_3$; обратно, по паре $(g_2, g_3)$ с $\Delta \neq 0$ восстанавливается решётка (с точностью до её формы).

Почему сумма $e_1 + e_2 + e_3 = 0$? Числа $e_i = \wp(\omega_i)$ - корни кубики $4x^3 - g_2 x - g_3$. В ней отсутствует член со степенью $x^2$, поэтому по теореме Виета сумма корней равна нулю.

Коротко

Эллиптическая функция Вейерштрасса $\wp(z)$ - двоякопериодическая мероморфная функция с полюсом второго порядка в каждом узле решётки $\Lambda$, заданная регуляризованным рядом и чётная по $z$. Её ряд Лорана определяет инварианты $g_2, g_3$, через которые записываются дискриминант $\Delta = g_2^3 - 27g_3^2$ и дифференциальное уравнение $(\wp')^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3$. Функция $\wp$ обращает эллиптический интеграл с кубическим многочленом под корнем, эквивалентна форме Якоби и через теорему сложения задаёт групповой закон на эллиптической кривой - поэтому служит универсальной образующей всей теории эллиптических функций.