Коэффициенты Клебша-Гордана: формула и расчёт

Коэффициенты Клебша-Гордана возникают всякий раз, когда в квантовой механике складывают два угловых момента - орбитальный и спиновый, спины двух частиц, моменты двух подсистем - и нужно разложить состояние суммарного момента по базису отдельных моментов. Формально это просто коэффициенты разложения одного ортонормированного базиса по другому, но именно они определяют, с какой вероятностью электрон в связанном состоянии будет обнаружен с той или иной проекцией спина, а значит - тонкую структуру атомных уровней и правила отбора в спектрах. Ниже разберём точное определение, выведем компактную формулу для самого частого в курсе случая - сложения орбитального момента $l$ со спином $s=1/2$ - и посчитаем её на конкретных примерах. Чтобы сразу увидеть, как коэффициенты меняются с квантовыми числами, покрути калькулятор ниже: выбери орбитальное число, ветвь полного момента и проекцию - обе амплитуды и их квадраты пересчитаются мгновенно.

Что такое коэффициенты Клебша-Гордана

Пусть есть две независимые подсистемы с угловыми моментами $j_1$ и $j_2$ - например, орбитальный момент электрона $l$ и его спин $s$. У каждой подсистемы свой базис собственных состояний оператора проекции: $|j_1, m_1\rangle$ и $|j_2, m_2\rangle$. Произведения $|j_1, m_1\rangle|j_2, m_2\rangle$ образуют полный базис составной системы, но это не собственные состояния оператора полного момента $\hat J = \hat j_1 + \hat j_2$. Собственные состояния $|J, M\rangle$ строятся как их линейная комбинация:

$$|J, M\rangle = \sum_{m_1+m_2=M} C^{JM}_{j_1 m_1\, j_2 m_2}\, |j_1, m_1\rangle |j_2, m_2\rangle.$$

Коэффициенты $C^{JM}_{j_1 m_1 j_2 m_2}$ и есть коэффициенты Клебша-Гордана. Сумма идёт только по парам с $m_1+m_2=M$ - это прямое следствие того, что проекция полного момента складывается из проекций частей. Сам полный момент $J$ пробегает целый ряд значений по правилу треугольника:

$J = |j_1 - j_2|,\ |j_1-j_2|+1,\ \dots,\ j_1+j_2.$

Коэффициенты подчиняются условию ортонормированности - для фиксированных $j_1, j_2$ сумма квадратов коэффициентов по любому полному набору индексов равна единице, что физически означает сохранение полной вероятности при переходе от одного базиса к другому. Знаки коэффициентов фиксирует соглашение Кондона-Шортли: коэффициент при максимальной проекции $m_1=j_1$ берётся положительным. Общая формула Рака-Вигнера для произвольных $j_1, j_2$ выражается через сумму факториалов и применяется в таблицах или символах $3j$, но для учебных задач почти всегда достаточно частного случая - сложения орбитального момента с одним спином $1/2$.

Формула для спин-орбитального взаимодействия

Самая частая задача курса - сложение орбитального момента $l$ электрона с его спином $s=1/2$. Полный момент $j$ принимает одно из двух значений: $j=l+1/2$ или $j=l-1/2$ (при $l=0$ существует только ветвь $j=1/2$). Для этого случая коэффициенты Клебша-Гордана выражаются компактно, без сумм и факториалов:

Рассчитать для своей задачи

$$\begin{aligned} j = l + \tfrac12:\qquad & C\!\left(m_l=m_j-\tfrac12,\ m_s=+\tfrac12\right) = \sqrt{\dfrac{l+m_j+\tfrac12}{2l+1}}, \\ & C\!\left(m_l=m_j+\tfrac12,\ m_s=-\tfrac12\right) = \sqrt{\dfrac{l-m_j+\tfrac12}{2l+1}}. \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} j = l - \tfrac12:\qquad & C\!\left(m_l=m_j-\tfrac12,\ m_s=+\tfrac12\right) = -\sqrt{\dfrac{l-m_j+\tfrac12}{2l+1}}, \\ & C\!\left(m_l=m_j+\tfrac12,\ m_s=-\tfrac12\right) = \sqrt{\dfrac{l+m_j+\tfrac12}{2l+1}}. \end{aligned}$$

Иными словами, состояние с полным моментом $j$ и проекцией $m_j$ раскладывается ровно на два слагаемых базиса $|m_l, m_s\rangle$: с $m_s=+1/2$ (тогда $m_l=m_j-1/2$) и с $m_s=-1/2$ (тогда $m_l=m_j+1/2$). У ветви $j=l-1/2$ первый коэффициент отрицателен - это и есть проявление соглашения Кондона-Шортли, а не ошибка в расчёте. Для любых допустимых $l$, ветви и $m_j$ сумма квадратов этих двух коэффициентов равна единице, что можно проверить прямо в калькуляторе выше.

Векторная картина и правило треугольника

Рассчитать для своей задачи

Наглядно сложение моментов удобно представлять как сложение векторов длиной $\sqrt{l(l+1)}$ и $\sqrt{s(s+1)}$: результирующий вектор полного момента может иметь только те длины, которые соответствуют разрешённым значениям $j$ по правилу треугольника, а его проекция на выделенную ось квантуется с шагом $1$ от $-j$ до $j$. Для одного спина $1/2$ треугольное правило вырождается всего в два допустимых значения $j$, поэтому и разложение содержит только два слагаемых - этим объясняется простота формулы выше по сравнению с общим случаем сложения двух произвольных моментов, где число слагаемых может быть большим.

Такая картина полезна и как мнемоника, и как способ быстрой прикидки: чем ближе проекция $m_j$ к максимальной $j$, тем сильнее «перекошено» разложение в сторону состояния с той же ориентацией спина, что и у самого момента $j$ - это видно и в калькуляторе выше, если двигать ползунок проекции к краю диапазона. Именно эта асимптотика - коэффициент при доминирующем слагаемом стремится к единице, а у второго к нулю - часто помогает быстро проверить, не перепутаны ли местами $m_l$ и $m_s$ в ответе.

Симметрии и правила отбора

Коэффициенты Клебша-Гордана обладают рядом полезных симметрий, которые стоит знать при проверке расчёта:

• Отбор по проекции: коэффициент равен нулю, если $m_1+m_2\ne M$ - никакого суммирования тут делать не нужно, слагаемое просто отсутствует.
• Треугольное правило: коэффициент равен нулю, если тройка $(j_1, j_2, J)$ не образует треугольник, то есть $J$ выходит за пределы $[|j_1-j_2|,\ j_1+j_2]$.
• Симметрия перестановки: перестановка $j_1 \leftrightarrow j_2$ (вместе с проекциями) даёт тот же коэффициент с точностью до множителя $(-1)^{j_1+j_2-J}$.
• Ортонормированность: $\sum_{m_1,m_2} \left(C^{JM}_{j_1 m_1 j_2 m_2}\right)^2 = 1$ при фиксированных $j_1,j_2,J$ - сумма вероятностей найти систему в любой паре $(m_1,m_2)$ равна единице.

Эти свойства - быстрый способ проверить себя: если после подстановки чисел квадраты коэффициентов не складываются в единицу или полный момент оказался вне треугольного диапазона, в решении есть ошибка.

Пример решения задачи

Возьмём p-электрон ($l=1$) в состоянии с полным моментом $j=l+1/2=3/2$ и проекцией $m_j=1/2$. По формуле для ветви $j=l+1/2$:

$$a = \sqrt{\frac{l+m_j+\tfrac12}{2l+1}} = \sqrt{\frac{1+\tfrac12+\tfrac12}{3}} = \sqrt{\frac23} \approx 0{,}816,$$ $$b = \sqrt{\frac{l-m_j+\tfrac12}{2l+1}} = \sqrt{\frac{1-\tfrac12+\tfrac12}{3}} = \sqrt{\frac13} \approx 0{,}577.$$

Значит, состояние $|j{=}3/2,\, m_j{=}1/2\rangle$ раскладывается как $0{,}816\,|m_l{=}0,\, m_s{=}+1/2\rangle + 0{,}577\,|m_l{=}1,\, m_s{=}-1/2\rangle$. Проверка нормировки: $0{,}816^2+0{,}577^2 = 0{,}667+0{,}333 = 1{,}000$ - сходится. Это значит, что при измерении проекции спина такого p-электрона с вероятностью $2/3$ она окажется $+1/2$ и с вероятностью $1/3$ - $-1/2$, причём соответствующая орбитальная проекция каждый раз жёстко подстраивается так, чтобы сумма $m_l+m_s$ осталась равна $m_j=1/2$.

Частые ошибки

• Путаница знака на ветви $j=l-1/2$. Отрицательный коэффициент при $m_s=+1/2$ - не ошибка вычисления, а следствие фазового соглашения Кондона-Шортли; занулять или менять его знак произвольно нельзя.
• Проверка диапазона $m_j$ без учёта $j$, а не $l$. Проекция $m_j$ должна лежать в диапазоне $[-j, j]$, а не $[-l, l]$ - для ветви $j=l+1/2$ это на единицу шире, чем для орбитального момента одного.
• Забытое условие $m_1+m_2=M$. В общей формуле разложения нельзя суммировать по всем парам $(m_1,m_2)$ - ненулевой вклад дают только пары с суммой, равной заданной проекции $M$.
• Игнорирование треугольного правила. Если вычисленное $J$ не попадает в диапазон $[|j_1-j_2|, j_1+j_2]$, коэффициент обязан быть нулём - это не приближение, а точное следствие сложения угловых моментов.
• Смешение коэффициентов Клебша-Гордана с символами $3j$. Они пропорциональны друг другу, но отличаются множителем и порядком аргументов - подставлять табличные значения символов $3j$ напрямую как коэффициенты Клебша-Гордана нельзя без пересчёта.

FAQ

Чему равны коэффициенты Клебша-Гордана для d-электрона на ветви j=l-1/2? Для $l=2$, $j=3/2$ и, например, $m_j=1/2$: $a=-\sqrt{(l-m_j+1/2)/(2l+1)}=-\sqrt{2/5}\approx-0{,}632$, $b=\sqrt{(l+m_j+1/2)/(2l+1)}=\sqrt{3/5}\approx0{,}775$. Сумма квадратов даёт $0{,}4+0{,}6=1$.

Почему при l=0 существует только одна ветвь j? Правило треугольника для $l=0$ и $s=1/2$ допускает единственное значение $j=1/2$ - ветви $j=l-1/2=-1/2$ не существует, отрицательного момента не бывает.

Как коэффициенты Клебша-Гордана связаны с сложением спинов двух электронов? Та же логика применяется при $j_1=j_2=1/2$: синглетное состояние $S=0$ и триплетное $S=1$ раскладываются по базису $|m_{s1}, m_{s2}\rangle$ с коэффициентами $\pm 1/\sqrt2$ и $1$ соответственно - это частный случай общей формулы разложения, только без орбitального момента.

Коротко

Коэффициенты Клебша-Гордана - это коэффициенты разложения состояния суммарного углового момента $|J,M\rangle$ по базису отдельных моментов $|j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle$; они подчиняются правилу треугольника, условию $m_1+m_2=M$ и нормировке на единицу. Для самого частого учебного случая - сложения орбитального момента $l$ со спином $1/2$ - формула сводится всего к двум слагаемым на каждой из двух ветвей $j=l\pm1/2$, что и делает её удобной для ручного расчёта и проверки через нормировку.