Неравенство Юнга: формула и доказательство

Неравенство Юнга связывает произведение двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ с суммой двух степенных выражений через пару сопряжённых показателей $p$ и $q$, для которых $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. На первый взгляд формула выглядит как формальный технический факт, но за ней стоит простая геометрическая картинка с площадью под кривой, и именно на этой картинке неравенство доказывается быстрее всего. Ниже разберём точную формулировку, доказательство через площади, важный частный случай $p = q = 2$ и типичные олимпиадные применения. Чтобы сразу увидеть, как области на графике складываются в прямоугольник, покрути калькулятор ниже - числа a, b и p меняются, а картинка и разность площадей пересчитываются мгновенно.

Формулировка неравенства Юнга

Пусть $p > 1$ и $q > 1$ - сопряжённые показатели, то есть

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.$

Тогда для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство

$ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$

Условие $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ равносильно записи $q = \frac{p}{p-1}$: зная один показатель, второй находится однозначно. Например, при $p = 2$ получаем $q = 2$, при $p = 3$ - $q = \frac{3}{2}$, а при $p = 4$ - $q = \frac{4}{3}$. Чем ближе $p$ к единице, тем больше становится сопряжённый показатель $q$, и наоборот - оба показателя не могут быть маленькими одновременно. Это неравенство названо в честь английского математика Уильяма Генри Юнга, который использовал его при изучении интегрального анализа, но в олимпиадной математике оно встречается прежде всего как удобный инструмент для оценки произведений через суммы степеней.

Доказательство неравенства Юнга через площади

Самое наглядное доказательство не требует производных и опирается только на монотонность функции. Рассмотрим кривую $y = x^{p-1}$ на плоскости при $x \ge 0$ - она возрастает от нуля, потому что $p - 1 > 0$. У этой кривой есть удобное свойство: обратная к ней функция тоже степенная, $x = y^{q-1}$, поскольку показатели $p$ и $q$ сопряжены.

Рассчитать для своей задачи

Возьмём на оси $x$ точку $a$ и вычислим площадь под кривой от $0$ до $a$ - это обычный интеграл, равный $\frac{a^p}{p}$. Аналогично на оси $y$ возьмём точку $b$ и вычислим площадь слева от той же кривой от $0$ до $b$ - благодаря обратной функции она равна $\frac{b^q}{q}$. Ключевое наблюдение: эти две области вместе всегда покрывают прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, площадь которого равна $ab$, независимо от того, лежит точка $(a, b)$ выше кривой, ниже неё или прямо на ней. Отсюда сразу получаем неравенство $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ - оно не про алгебру, а про то, что одна и та же площадь не может быть учтена дважды с недостатком.

Частный случай p = q = 2 и неравенство о средних

Самый узнаваемый случай неравенства Юнга - когда оба показателя равны двум, то есть $p = q = 2$. Тогда формула упрощается до

$ab \le \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2}.$

Рассчитать для своей задачи

Это неравенство легко проверяется и без картинки с площадями: оно равносильно тому, что $(a - b)^2 \ge 0$, а квадрат любого действительного числа неотрицателен. По сути, случай $p = q = 2$ - это ровно неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим квадратов $a$ и $b$, только записанное в другой форме. Именно поэтому неравенство Юнга часто вводят как обобщение известного школьного факта $ab \le \frac{a^2+b^2}{2}$ на произвольную пару сопряжённых показателей - при $p = q = 2$ оба слагаемых симметричны, а при других $p$ и $q$ вклад чисел $a$ и $b$ в сумму становится разным.

Когда достигается равенство

Из геометрического доказательства видно, что зазор между прямоугольником $ab$ и суммой $\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ исчезает ровно тогда, когда точка $(a, b)$ лежит на самой кривой $y = x^{p-1}$, то есть при условии

$b = a^{p-1}, \qquad \text{что равносильно} \qquad a = b^{q-1}.$

Например, при $a = 2$ и $p = 3$ (значит, $q = \frac{3}{2}$) равенство наступает при $b = a^{p-1} = 2^2 = 4$: тогда $\frac{a^p}{p} = \frac{8}{3}$, а $\frac{b^q}{q} = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$, и их сумма $\frac{8}{3} + \frac{16}{3} = 8$ в точности равна произведению $ab = 2 \cdot 4 = 8$. Для частного случая $p = q = 2$ условие равенства упрощается до $b = a$ - это в точности момент, когда $(a-b)^2$ обращается в ноль. Проверить это на любых своих числах удобно прямо в калькуляторе выше: как только ползунки выставлены так, что $b$ совпадает с $a^{p-1}$, разность площадей падает до нуля.

Неравенство Юнга и другие олимпиадные неравенства

Неравенство Юнга не существует в одиночку - оно лежит в основе нескольких более сложных фактов, которые часто спрашивают на олимпиадах и в курсах анализа. Из него напрямую выводится неравенство Гёльдера для сумм и интегралов: применяя неравенство Юнга к каждому слагаемому произведения $\sum a_i b_i$ и складывая результаты, получают оценку суммы произведений через нормы $\ell^p$ и $\ell^q$. Частный случай $p = q = 2$ неравенства Гёльдера - это классическое неравенство Коши-Буняковского. Точно так же неравенство Юнга для свёртки функций используется при доказательстве оценок в интегральных неравенствах, а обобщённая версия для нескольких множителей (когда $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \dots + \frac{1}{p_n} = 1$) встречается в задачах на оценку произведения нескольких переменных через сумму степеней с разными показателями.

Как применять неравенство Юнга в задачах

В олимпиадных задачах неравенство Юнга обычно используют не для проверки готового числового факта, а для оценки суммы или произведения при заданных ограничениях. Стандартный приём: если нужно оценить произведение $xy$ сверху, а известна сумма степенных выражений вида $\frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q}$, неравенство сразу даёт нужную границу без дополнительных вычислений. Обратный приём тоже работает: если нужно снизу оценить сумму $\frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q}$ при фиксированном произведении $xy$, неравенство Юнга сразу даёт эту оценку, а равенство в нём подсказывает, при каких $x$ и $y$ минимум действительно достигается. Второй частый приём - подбор показателей $p$ и $q$ под условие задачи: если в условии встречается выражение вида $x^3$, разумно взять $p = 3$ и, соответственно, $q = \frac{3}{2}$, чтобы неравенство Юнга связало именно эти степени с произведением $xy$.

Частые ошибки

• Забывают проверить условие $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Формула $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ верна только для сопряжённой пары показателей - для произвольных $p$ и $q$ это неравенство, вообще говоря, неверно.
• Путают направление неравенства для отрицательных чисел. Классическая форма неравенства Юнга сформулирована для $a, b \ge 0$; для отрицательных чисел нужно аккуратно работать со знаком произведения $ab$.
• Забывают, что $p$ и $q$ должны быть строго больше единицы. При $p \to 1$ сопряжённый показатель $q \to \infty$, и предельный случай требует отдельного разбора, а не прямой подстановки.
• Считают, что равенство наступает при $a = b$ всегда. Это верно только для случая $p = q = 2$; в общем случае условие равенства - $b = a^{p-1}$.
• Путают неравенство Юнга с неравенством Юнга-Лапласа. Это два разных факта с одинаковой фамилией в названии: одно - про поверхностное натяжение и давление, другое - про сопряжённые показатели и произведения чисел.

FAQ

Для каких чисел работает неравенство Юнга? Классическая форма требует $a \ge 0$, $b \ge 0$ и сопряжённых показателей $p, q > 1$ с условием $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. При этих условиях неравенство $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ выполняется всегда, без исключений.

Чем неравенство Юнга отличается от неравенства о средних? Неравенство о средних (арифметического и геометрического) - это частный случай неравенства Юнга при $p = q = 2$, записанный в виде $ab \le \frac{a^2+b^2}{2}$. Общая форма Юнга позволяет брать любую сопряжённую пару показателей, а не только $p = q = 2$.

Как доказать неравенство Юнга без картинки с площадями? Есть и чисто алгебраическое доказательство через выпуклость логарифма (неравенство Йенсена для функции $\ln x$) или через анализ функции $f(x) = \frac{x^p}{p} + \frac{b^q}{q} - xb$ и поиск её минимума по $x$ с помощью производной. Геометрический способ через площади при этом остаётся самым быстрым для запоминания.

Коротко

Неравенство Юнга $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ верно для неотрицательных $a$, $b$ и сопряжённых показателей $p, q > 1$ с условием $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Доказывается оно нагляднее всего через площадь под кривой $y = x^{p-1}$: область под кривой до $a$ даёт $\frac{a^p}{p}$, область слева от кривой до $b$ даёт $\frac{b^q}{q}$, а вместе они всегда покрывают прямоугольник площадью $ab$. Равенство наступает ровно тогда, когда точка $(a, b)$ лежит на кривой, то есть при $b = a^{p-1}$; для случая $p = q = 2$ это условие сводится к простому $a = b$ и совпадает со знакомым неравенством о средних. На этом факте построены более сложные неравенства - Гёльдера и Коши-Буняковского, - поэтому неравенство Юнга стоит держать под рукой при оценке произведений и сумм в олимпиадных задачах.