Переменные действие-угол: смысл и формула для осциллятора

Переменные действие-угол, введённые в гамильтоновой механике для систем с периодическим движением, устроены так, что вся сложность траектории в фазовом пространстве прячется в одной переменной, а время входит во вторую линейно. Вместо координаты $q$ и импульса $p$, которые меняются по сложному закону, вводят пару $(J, \theta)$: действие $J$ остаётся постоянным вдоль траектории, а угол $\theta$ растёт равномерно, $\theta(t) = \theta_0 + \omega t$. Ниже разберём точное определение через контурный интеграл, выведем обе переменные для гармонического осциллятора и покажем, почему именно действие называют адиабатическим инвариантом. Чтобы сразу увидеть, как амплитуда и частота осциллятора связаны с $J$, покрутите калькулятор ниже: он строит фазовый портрет и показывает, что происходит с действием при медленном изменении частоты.

Что такое переменные действие-угол

Переход к переменным действие-угол это канонической преобразование $(q, p) \to (J, \theta)$, которое годится для любой системы с одной степенью свободы, где движение финитно (координата и импульс периодически возвращаются к исходным значениям) или условно-периодично. Действие определяется как площадь, охватываемая замкнутой траекторией в фазовом пространстве, делённая на $2\pi$:

$J = \frac{1}{2\pi} \oint p \, dq.$

Интеграл берётся по одному полному периоду движения. Поскольку контур замкнут и энергия вдоль него не меняется, $J$ зависит только от энергии $E$ (и параметров системы, но не от времени и не от начальной фазы) - это и делает действие удобной переменной: в новых координатах гамильтониан оказывается функцией только $J$, $H = H(J)$, а от угла $\theta$ не зависит вовсе. Уравнения Гамильтона для такой пары решаются мгновенно:

$\dot{J} = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = 0, \qquad \dot{\theta} = \frac{\partial H}{\partial J} = \omega(J).$

Первое уравнение говорит, что действие сохраняется вдоль движения, второе - что угол растёт с постоянной скоростью $\omega(J)$, которая называется частотой системы и в общем случае зависит от значения действия (то есть от амплитуды колебаний).

Переменная действия J для гармонического осциллятора

Возьмём гамильтониан одномерного гармонического осциллятора массой $m$ и частотой $\omega$:

$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2 = E.$

Траектория при фиксированной энергии $E$ - эллипс в плоскости $(q, p)$ с полуосями $q_{max} = A = \sqrt{2E/(m\omega^2)}$ и $p_{max} = \sqrt{2mE} = m\omega A$. Площадь эллипса равна $\pi q_{max} p_{max}$, а значит:

$J = \frac{1}{2\pi} \oint p \, dq = \frac{\pi q_{max} p_{max}}{2\pi} = \frac{q_{max} p_{max}}{2} = \frac{E}{\omega}.$

Формула $J = E/\omega$ - главный практический результат для осциллятора: зная амплитуду $A$, частоту $\omega$ и массу $m$, действие считается напрямую как $J = \tfrac{1}{2} m \omega A^2$, без интегрирования.

Рассчитать для своей задачи

На рисунке видно, что оба способа посчитать действие согласуются: измерить полуоси эллипса и перемножить их пополам, или взять энергию и поделить на частоту. Именно эту связь и пересчитывает калькулятор выше при движении ползунков массы, частоты и амплитуды.

Угловая переменная θ и изохронность

Явные формулы обратного перехода от $(J, \theta)$ к исходным $(q, p)$ получаются из производящей функции $S(q, J) = \int p \, dq$, взятой вдоль траектории:

$q = \sqrt{\frac{2J}{m\omega}} \sin\theta, \qquad p = \sqrt{2Jm\omega} \cos\theta.$

Подставив их в гамильтониан, получаем предельно простое выражение $H(J) = \omega J$ - зависимости от $\theta$ не остаётся вовсе, что и обеспечивает $\dot{\theta} = \partial H/\partial J = \omega = \text{const}$. Угол растёт линейно со временем, $\theta(t) = \theta_0 + \omega t$, и за один период возрастает ровно на $2\pi$, поэтому его и называют угловой переменной - по поведению, а не потому что он совпадает с каким-то геометрическим углом отклонения маятника или стержня.

Рассчитать для своей задачи

Для гармонического осциллятора частота $\omega(J) = \partial H/\partial J$ не зависит от $J$ - это и есть изохронность: период колебаний $T = 2\pi/\omega$ одинаков для любой амплитуды. Это скорее исключение, чем правило: у большинства нелинейных систем (например, у маятника при больших углах отклонения) $\omega(J)$ убывает с ростом действия, и период колебаний зависит от амплитуды.

Адиабатический инвариант: почему действие так важно

Ключевое свойство действия проявляется, когда параметр системы (у осциллятора - частота $\omega$) меняется медленно по сравнению с периодом колебаний, например при постепенном укорочении маятника. Формально условие адиабатичности записывается как $\dot\omega \ll \omega^2$: параметр успевает измениться заметно только за много периодов. В этом случае действие $J$ остаётся приближённо постоянным, даже когда энергия и частота по отдельности меняются - это и называют адиабатическим инвариантом.

Рассчитать для своей задачи

Практическое следствие сразу видно из формулы $J = E/\omega$: если $\omega$ увеличивается в $k$ раз, а $J$ сохраняется, энергия тоже растёт в $k$ раз, $E' = J\omega' = E \cdot (\omega'/\omega)$, а амплитуда падает как $A' = A\sqrt{\omega/\omega'}$. Именно так объясняется классическая задача про маятник с медленно укорачивающейся нитью: частота растёт, амплитуда падает, но их комбинация $J$ остаётся почти той же. Историческое значение этого результата велико - на нём Эренфест и Бор строили старую квантовую теорию, требуя, чтобы действие было кратно $h$: $J = nh$. Современная формулировка через переменные действие-угол осталась той же самой, только вместо квантования используется как инструмент теории возмущений и анализа устойчивости орбит.

Гамильтониан в переменных действие-угол

Главный смысл всей конструкции - максимальное упрощение уравнений движения. Вместо системы $\dot q = \partial H/\partial p$, $\dot p = -\partial H/\partial q$, которая для нелинейных потенциалов решается только численно, в переменных действие-угол остаётся:

$H = H(J), \qquad J = \text{const}, \qquad \theta(t) = \theta_0 + \omega(J)\,t.$

Вся динамика сведена к одному числу $\omega(J) = \partial H/\partial J$ и равномерному вращению фазы. Это делает переменные действие-угол естественным языком теории возмущений: если к гамильтониану добавить малое возмущение $H = H_0(J) + \epsilon H_1(J, \theta)$, метод усреднения по быстрой переменной $\theta$ даёт медленное уравнение только для $J$ - подход, на котором держится вся небесная механика и теория резонансов.

Переменные действие-угол в задаче Кеплера

Для кеплеровской орбиты (движение планеты вокруг звезды) переменные действие-угол вводятся отдельно для радиального движения и для каждого угла - получаются три действия $J_r$, $J_\theta$, $J_\varphi$, а полная энергия орбиты зависит только от их суммы. Это вырождение объясняет, почему кеплеровская орбита не прецессирует: все три угловые переменные растут с одинаковой частотой, и траектория замыкается в эллипс, а не в розетку. Как только в системе появляется возмущение (притяжение соседних планет, несферичность звезды), частоты $\omega_r$, $\omega_\theta$, $\omega_\varphi$ немного расходятся, и в переменных действие-угол это выражается явной разностью скоростей роста углов - отсюда и берётся вековая прецессия перигелия, которую находят методом усреднения по быстрым угловым переменным.

Частые ошибки

• Путать переменную действия $J$ с действием по Гамильтону. Механическое действие $S = \int L \, dt$ (интеграл Лагранжиана по времени, минимизируемый в принципе наименьшего действия) - другая величина; связь между ними есть, но формулы разные, и подставлять одну вместо другой нельзя.
• Забывать множитель $1/(2\pi)$. Некоторые учебники определяют $J = \oint p\,dq$ без деления на $2\pi$ - тогда все формулы для $\omega(J)$ отличаются в $2\pi$ раз. Перед расчётом всегда проверяйте, какое определение принято в конкретном курсе.
• Считать $\omega(J)$ постоянной для любой системы. Изохронность - особенность гармонического осциллятора; для маятника при больших амплитудах или для ямы произвольной формы частота зависит от действия, и период колебаний меняется с амплитудой.
• Применять адиабатическую инвариантность к быстрым изменениям. Формула $J \approx \text{const}$ работает, только если параметр меняется медленно по сравнению с периодом ($\dot\omega \ll \omega^2$); при резком скачке частоты действие не сохраняется.
• Путать угловую переменную $\theta$ с физическим углом. Для ротатора или волчка они действительно совпадают, но для осциллятора или ямы произвольной формы $\theta$ - абстрактная фаза, растущая на $2\pi$ за период, а не угол отклонения тела в пространстве.

FAQ

Что такое переменная действия J простыми словами? Это площадь замкнутой траектории в фазовом пространстве $(q, p)$, делённая на $2\pi$. Для осциллятора она равна $E/\omega$ и остаётся постоянной вдоль движения, даже если сама траектория выглядит сложно.

Почему угловую переменную называют углом, если это не физический угол отклонения? Потому что она ведёт себя как угол на окружности: растёт линейно со временем и увеличивается ровно на $2\pi$ за каждый период движения, после чего фаза «оборачивается» - в этом смысле она угловая, а не по геометрическому смыслу.

Где на практике используют переменные действие-угол? В теории возмущений небесной механики (резонансы, вековая прецессия орбит), в старой квантовой теории Бора-Зоммерфельда ($J = nh$), и в анализе адиабатических инвариантов - например, для оценки поведения заряженных частиц в медленно меняющемся магнитном поле.

Коротко

Переменные действие-угол превращают периодическое движение в пару $(J, \theta)$, где действие $J = \tfrac{1}{2\pi}\oint p\,dq$ постоянно, а угол растёт равномерно, $\theta(t) = \theta_0 + \omega(J) t$. Для гармонического осциллятора $J = E/\omega$, а частота $\omega(J)$ не зависит от действия - это изохронность. Главная практическая ценность переменной $J$ - её адиабатическая инвариантность: при медленном изменении параметров системы действие сохраняется, даже когда энергия и частота меняются по отдельности, и именно на этом держится теория возмущений от небесной механики до старой квантовой теории.