Уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора: уровни

Квантовый гармонический осциллятор, это частица в параболическом потенциале $U(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$, и одна из немногих задач квантовой механики, которая решается точно. Её ценность не только в простоте: почти любой потенциал вблизи минимума раскладывается в ряд и в первом приближении выглядит как парабола, поэтому осциллятор служит моделью для колебаний атомов в молекуле, ионов в кристаллической решётке и даже мод электромагнитного поля. Ниже разберём, как из уравнения Шрёдингера получаются равноотстоящие уровни энергии $E_n = \hbar\omega(n + 1/2)$, откуда берётся ненулевая энергия основного состояния и как выглядят волновые функции, выраженные через полиномы Эрмита. Чтобы сразу увидеть, как масса, жёсткость связи и номер уровня меняют картину, покрути калькулятор ниже: он строит потенциальную яму с уровнями энергии и волновой функцией, а рядом, лесенку уровней.

Постановка задачи и уравнение Шрёдингера

Одномерный гармонический осциллятор, это частица массой $m$, на которую действует возвращающая сила $F = -kx$, где $k$, жёсткость связи. Потенциальная энергия такой силы квадратична:

$$U(x) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Стационарное уравнение Шрёдингера для этой частицы записывается как

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi(x) = E\,\psi(x).$$

В отличие от частицы в прямоугольной яме, здесь стенки потенциала не бесконечно крутые, а плавно нарастают. Из-за этого волновая функция не обрывается резко на границе, а спадает по экспоненте, проникая в область, где по классическим меркам частица находиться не может, это и есть классически запрещённая зона.

Как возникают равноотстоящие уровни энергии

Уравнение выше удобно переписать в безразмерных переменных $\xi = x\sqrt{m\omega/\hbar}$. Тогда оно превращается в уравнение Эрмита, а требование, чтобы волновая функция была конечной на бесконечности (иначе частицу нельзя нормировать), отбирает только дискретный набор решений с номером $n = 0, 1, 2, \dots$. Каждому номеру отвечает своя энергия:

$$E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right).$$

Главное отличие от ямы с плоским дном: там энергия растёт как $n^2$, и промежутки между уровнями увеличиваются. У осциллятора промежуток между соседними уровнями одинаков и равен $\hbar\omega$ при любом $n$, поэтому спектр называют эквидистантным. Именно эта регулярность делает осциллятор удобной моделью для колебательных спектров, наблюдаемый набор линий поглощения молекулы, это фактически измерение $\hbar\omega$ напрямую.

Рассчитать для своей задачи

Энергия нулевых колебаний

При $n = 0$ энергия не обращается в нуль, а равна $E_0 = \hbar\omega/2$. Это прямое следствие соотношения неопределённостей: если бы частица покоилась точно в минимуме потенциала ($x = 0$, $p = 0$), были бы одновременно точно известны и координата, и импульс, что запрещено. Минимальная энергия, совместимая с $\Delta x\,\Delta p \gtrsim \hbar/2$, и есть энергия нулевых колебаний. Физически это означает, что даже при абсолютном нуле температуры атомы в кристалле или молекуле не замирают полностью, а продолжают колебаться, поэтому у твёрдого гелия, например, есть остаточный молярный объём даже при экстремальном охлаждении.

Волновые функции и полиномы Эрмита

Явный вид волновой функции n-го уровня записывается через полином Эрмита $H_n$:

$$\psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\, H_n\!\left(x\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\right) e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}.$$

Первые полиномы Эрмита элементарны: $H_0 = 1$, $H_1(\xi) = 2\xi$, $H_2(\xi) = 4\xi^2 - 2$, а дальше они находятся рекуррентно, $H_{n+1} = 2\xi H_n - 2n H_{n-1}$. Ключевое наблюдение: число узлов волновой функции (точек, где $\psi_n = 0$) равно ровно $n$. Основное состояние $\psi_0$ вообще без узлов и имеет форму гауссовой шапки, первое возбуждённое $\psi_1$ пересекает ноль один раз в центре, и так далее. Это общее правило квантовой механики, чем выше энергия связанного состояния, тем больше узлов у его волновой функции.

Рассчитать для своей задачи

На картинке видно, что расстояние между любой парой соседних уровней одно и то же, и равно кванту энергии осциллятора. Это удобно проверять на числах: если экспериментально измерен шаг между спектральными линиями, жёсткость связи находится сразу, без решения дифференциального уравнения заново.

Классическая точка поворота и запрещённая область

У классического осциллятора с энергией $E_n$ есть точка поворота, координата, где вся энергия переходит в потенциальную, а скорость обращается в ноль:

$$x_n = \sqrt{\frac{2E_n}{m\omega^2}} = \sqrt{\frac{(2n+1)\hbar}{m\omega}}.$$

Классически частица никогда не выходит за $|x| > x_n$: там кинетическая энергия была бы отрицательной. У квантовой частицы иначе, волновая функция $\psi_n$ не обрывается на $x_n$, а плавно спадает по экспоненте и дальше. Вероятность найти частицу в этой запрещённой зоне мала, но не нулевая, и быстро падает с ростом номера уровня по сравнению с шириной ямы. Это тот самый эффект, который отвечает, например, за туннелирование через потенциальный барьер в соседних задачах.

Алгебраический способ: операторы рождения и уничтожения

Решать дифференциальное уравнение для каждого $n$ отдельно не обязательно. Уравнение Шрёдингера осциллятора можно переписать через операторы рождения $\hat{a}^\dagger$ и уничтожения $\hat{a}$:

$$\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right), \qquad \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right).$$

Оператор $\hat{a}^\dagger$, применённый к волновой функции уровня $n$, даёт (с точностью до нормировки) волновую функцию уровня $n+1$, а $\hat{a}$, наоборот, понижает номер на единицу; действие $\hat{a}$ на основное состояние даёт ноль, что и закрывает лестницу снизу и фиксирует $E_0 = \hbar\omega/2$. Этот метод не требует явно решать уравнение с полиномами Эрмита и обобщается на осцилляторы с несколькими степенями свободы, поэтому именно операторный подход, а не прямое интегрирование, используется в квантовой теории поля.

Пример решения типовой задачи

Пусть приведённая масса $\mu = 5$ а.е.м., жёсткость связи $k = 500$ Н/м, и нужно найти энергию третьего уровня ($n = 2$). Сначала находим частоту:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{500}{5\cdot 1{,}6605\cdot 10^{-27}}} \approx 2{,}454\cdot 10^{14}\ \text{рад/с}.$$

Квант энергии $\hbar\omega \approx 1{,}0546\cdot 10^{-34}\cdot 2{,}454\cdot 10^{14} \approx 2{,}588\cdot 10^{-20}$ Дж, что удобнее перевести в электронвольты, разделив на $1{,}602\cdot 10^{-19}$ Дж: $\hbar\omega \approx 0{,}1615$ эВ. Энергия уровня $n = 2$:

$$E_2 = \hbar\omega\left(2 + \frac{1}{2}\right) = 2{,}5\cdot 0{,}1615 \approx 0{,}4038\ \text{эВ}.$$

Энергия нулевых колебаний в этом случае $E_0 = \hbar\omega/2 \approx 0{,}0808$ эВ, а классическая точка поворота для $n = 2$ составляет примерно $16{,}1$ пм. Все три числа получаются напрямую из $\hbar\omega$, зная только массу и жёсткость связи, поэтому большинство задач на осциллятор сводится к аккуратному вычислению именно этой величины.

Частые ошибки

• Забыть слагаемое $1/2$. Энергия основного состояния не равна нулю, формула $E_n = \hbar\omega\, n$ без добавки $1/2$, частая ошибка при пересказе результата по памяти.
• Перепутать $\omega$ и $2\pi f$. В формуле стоит циклическая частота $\omega = \sqrt{k/m}$, а не обычная частота $f$; путать их с множителем $2\pi$, значит получить энергию с ошибкой в несколько раз.
• Считать число узлов равным $n+1$ или $n-1$. У волновой функции $\psi_n$ ровно $n$ узлов, не больше и не меньше.
• Использовать массу вместо приведённой массы для двухатомной молекулы. Колеблются оба атома относительно центра масс, поэтому в формулу подставляется приведённая масса $\mu = m_1 m_2/(m_1+m_2)$, а не масса одного из них.
• Путать точку поворота с шириной ямы. Точка поворота $x_n$ растёт с номером уровня, у бесконечно глубокой ямы граница фиксирована и не зависит от энергии.

FAQ

Почему энергия основного состояния гармонического осциллятора не равна нулю? Из-за соотношения неопределённостей: одновременно точная координата и нулевой импульс запрещены, поэтому минимальная энергия $E_0 = \hbar\omega/2$ отличается от классического нуля.

Сколько узлов у волновой функции n-го уровня осциллятора? Ровно $n$. У основного состояния узлов нет, у первого возбуждённого один, и так далее, это общее правило для одномерных связанных состояний.

Чем спектр осциллятора отличается от спектра частицы в потенциальной яме? У осциллятора уровни равноотстоящие ($E_n \propto n$), у прямоугольной ямы, наоборот, промежутки растут с номером ($E_n \propto n^2$), потому что стенки ямы бесконечно крутые, а не параболические.

Коротко

Уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора $-\hbar^2\psi''/2m + m\omega^2 x^2\psi/2 = E\psi$ даёт дискретный, равноотстоящий спектр $E_n = \hbar\omega(n+1/2)$ с ненулевой энергией нулевых колебаний $E_0 = \hbar\omega/2$. Волновые функции выражаются через полиномы Эрмита, число узлов $\psi_n$ равно $n$, а классическая точка поворота $x_n = \sqrt{(2n+1)\hbar/(m\omega)}$ растёт с номером уровня. Вся физика задачи сводится к вычислению одной величины, кванта энергии $\hbar\omega = \hbar\sqrt{k/m}$.