Поле заряженной сферы: напряжённость внутри и снаружи

Заряженная сфера - тонкая сферическая оболочка, по поверхности которой равномерно распределён заряд $Q$, - один из самых показательных примеров применения теоремы Гаусса. У неё есть резкая асимметрия между «внутри» и «снаружи»: внутри оболочки поле равно нулю независимо от того, насколько велик заряд, а снаружи оно выглядит так, будто весь заряд собран в одной точке в центре. Ниже разберём, откуда берётся это правило, как выводятся формулы напряжённости и потенциала в обеих областях, что происходит ровно на поверхности и почему сферу так легко перепутать с равномерно заряженным шаром. Чтобы сразу увидеть скачок поля и плоский участок потенциала, покрутите калькулятор ниже - он показывает обе величины на графике сразу для любой точки наблюдения.

Теорема Гаусса и симметрия задачи

Заряженная сфера обладает сферической симметрией: заряд распределён одинаково по всем направлениям от центра, поэтому и поле в любой точке пространства зависит только от расстояния $r$ до центра, а его направление - строго радиальное. Это позволяет применить теорему Гаусса, выбрав в качестве вспомогательной поверхности воображаемую сферу радиусом $r$, концентричную с заряженной оболочкой:

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{вн}}}{\varepsilon_0},$

где $Q_{\text{вн}}$ - заряд, охваченный этой вспомогательной поверхностью, а $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная. Вся сложность задачи сводится к одному вопросу: сколько заряда попадает внутрь сферы Гаусса радиусом $r$ - весь $Q$, часть или ноль. Для тонкой оболочки ответ зависит только от того, меньше $r$ радиуса сферы $R$ или больше.

Рассчитать для своей задачи

Поле внутри сферы: почему E = 0

Если точка наблюдения находится внутри оболочки ($r < R$), вспомогательная сфера Гаусса радиусом $r$ целиком лежит внутри заряженной поверхности и не содержит ни одного заряда: $Q_{\text{вн}} = 0$. Из теоремы Гаусса сразу следует:

$E(r) \cdot 4\pi r^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad E(r) = 0, \qquad r < R.$

Это не приближение и не следствие какой-то компенсации полей от разных участков оболочки - поле внутри тонкой равномерно заряженной сферы равно нулю точно, в любой точке полости, вплоть до самого центра. Из $E = 0$ следует и второй важный факт: потенциал внутри полости не меняется от точки к точке, ведь работа по перемещению заряда в поле, равном нулю, тоже равна нулю. Значит, потенциал всюду внутри сферы равен потенциалу на её поверхности:

$\varphi(r) = \varphi(R) = \frac{kQ}{R}, \qquad r \le R,$

где $k = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 8{,}99\cdot10^9$ Н·м²/Кл² - постоянная Кулона. Студенты часто интуитивно ждут, что раз заряда «рядом» нет, то и потенциал должен быть маленьким или нулевым, - это одна из самых частых ошибок в этой теме: нулю равно поле, а не потенциал.

Поле снаружи сферы: как у точечного заряда

Если точка наблюдения снаружи ($r \ge R$), вспомогательная сфера Гаусса охватывает весь заряд оболочки целиком: $Q_{\text{вн}} = Q$. Тогда:

$E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{kQ}{r^2}, \qquad r \ge R.$

Это в точности формула поля точечного заряда $Q$, помещённого в центр сферы, - снаружи заряженная сфера неотличима от точечного заряда той же величины. Тот же результат справедлив и для потенциала:

$\varphi(r) = \frac{kQ}{r}, \qquad r \ge R.$

На границе $r = R$ обе формулы для потенциала дают одно и то же значение $kQ/R$ - потенциал непрерывен во всём пространстве, разрывов у него нет.

Рассчитать для своей задачи

Скачок напряжённости на поверхности

В отличие от потенциала, у напряжённости поля на поверхности сферы есть разрыв. Изнутри, при $r \to R^{-}$, поле стремится к нулю; снаружи, при $r \to R^{+}$, оно равно $kQ/R^2$. Величина скачка связана с поверхностной плотностью заряда $\sigma = Q/(4\pi R^2)$ простым соотношением:

$E(R^{+}) - E(R^{-}) = \frac{kQ}{R^2} - 0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.$

Это общее правило для любой заряженной поверхности: нормальная составляющая поля терпит разрыв величиной $\sigma/\varepsilon_0$ при переходе через слой поверхностного заряда. Для тонкой сферической оболочки это выглядит особенно наглядно - плоский нулевой участок сменяется резким скачком, и только потом начинается плавный спад по закону обратных квадратов.

Пример решения типовой задачи

Возьмём стандартную формулировку: заряженная сфера радиусом $R = 10$ см несёт заряд $Q = 20$ нКл. Нужно найти напряжённость поля и потенциал в точке на расстоянии $r_1 = 5$ см от центра (внутри сферы) и в точке $r_2 = 25$ см от центра (снаружи), а также напряжённость сразу у поверхности.

Сначала точка внутри, $r_1 = 5$ см $< R = 10$ см. Здесь работает правило нулевого поля и постоянного потенциала:

$E(r_1) = 0, \qquad \varphi(r_1) = \varphi(R) = \frac{kQ}{R} = \frac{8{,}99\cdot10^9 \cdot 20\cdot10^{-9}}{0{,}1} \approx 1798\ \text{В}.$

Теперь точка снаружи, $r_2 = 25$ см $> R$. Здесь сфера ведёт себя как точечный заряд в центре, поэтому переводим расстояние в метры и подставляем в формулы снаружи:

$E(r_2) = \frac{kQ}{r_2^2} = \frac{8{,}99\cdot10^9 \cdot 20\cdot10^{-9}}{0{,}25^2} \approx 2877\ \text{Н/Кл}, \qquad \varphi(r_2) = \frac{kQ}{r_2} = \frac{8{,}99\cdot10^9 \cdot 20\cdot10^{-9}}{0{,}25} \approx 719\ \text{В}.$

Наконец, напряжённость сразу у поверхности, при $r = R = 10$ см, - это максимум всей кривой $E(r)$:

$E(R) = \frac{kQ}{R^2} = \frac{8{,}99\cdot10^9 \cdot 20\cdot10^{-9}}{0{,}1^2} \approx 17\,980\ \text{Н/Кл}.$

Проверка согласованности: потенциал в точке $r_1$ внутри сферы (1798 В) точно совпадает с потенциалом на поверхности, а напряжённость на поверхности (17 980 Н/Кл) убывает пропорционально $1/r^2$ и на расстоянии $r_2 = 25$ см, вдвое с половиной дальше от центра, оказывается меньше в $(r_2/R)^2 = 6{,}25$ раза - те самые 2877 Н/Кл. Этот же расчёт калькулятор выше делает мгновенно для любых значений заряда, радиуса и точки наблюдения.

Частые ошибки

• Путают сферу и шар. «Заряженная сфера» - это тонкая оболочка (заряд только на поверхности), внутри неё $E = 0$. «Заряженный шар» - сплошное тело с объёмным распределением заряда, и внутри него поле растёт линейно: $E(r) = kQr/R^3$. Формулы этих двух задач нельзя путать местами.
• Считают, что раз поля нет, то и потенциал равен нулю. Внутри сферы потенциал не нулевой, а постоянный и равен потенциалу поверхности $kQ/R$ - это совсем другое утверждение.
• Подставляют неверный радиус в формулу снаружи. В формуле $E = kQ/r^2$ переменная $r$ - это расстояние от центра сферы до точки наблюдения, а не расстояние от поверхности. Если задача даёт «5 см от поверхности», сначала нужно прибавить радиус сферы.
• Забывают перевести единицы. Радиус и расстояние обычно даны в сантиметрах, а в формулу нужно подставлять метры; заряд - в кулонах, а не в нанокулонах.
• Считают поле разрывным у потенциала. Разрыв есть только у напряжённости на самой поверхности; потенциал везде непрерывен, включая точку $r = R$.

FAQ

Чему равна напряжённость поля в центре заряженной сферы? Ровно нулю. Центр - это тоже точка внутри полости ($r = 0 < R$), и для неё действует то же правило: вспомогательная сфера Гаусса нулевого радиуса не охватывает заряда, значит, поле равно нулю.

Почему потенциал внутри сферы не равен нулю, если поля там нет? Потенциал - это не «сила поля», а работа по перемещению заряда из бесконечности в данную точку, делённая на заряд. Заряд нужно провести через область снаружи сферы, где поле не нулевое, - эта работа и даёт постоянное значение $kQ/R$ внутри полости.

Отличается ли поле заряженной сферы от поля заряженного шара снаружи? Нет. Снаружи любое сферически-симметричное распределение заряда - что тонкая оболочка, что сплошной шар - создаёт точно такое же поле, как точечный заряд той же величины в центре. Различие проявляется только внутри тела.

Коротко

Поле равномерно заряженной сферы (тонкой оболочки) равно нулю в любой точке внутри неё и совпадает с полем точечного заряда $kQ/r^2$ снаружи. Потенциал непрерывен всюду: внутри он постоянен и равен потенциалу поверхности $kQ/R$, а снаружи убывает как $kQ/r$. На самой поверхности напряжённость терпит скачок величиной $\sigma/\varepsilon_0$, тогда как потенциал остаётся гладким. Главное - не путать эту задачу с полем заряженного шара, где напряжённость внутри растёт линейно, а не равна нулю.