Задачи на суперпозицию электрических полей: разбор и формулы

Когда на пробный заряд одновременно действуют несколько источников поля, напряжённость в точке не складывается арифметически - она складывается как вектор. Именно эту идею проверяют задачи на суперпозицию электрических полей: дан один или несколько точечных зарядов, и нужно найти результирующую напряжённость в заданной точке пространства. Разберём принцип суперпозиции, формулу напряжённости точечного заряда, правило векторного сложения через проекции и типовую задачу с числами. Ниже - калькулятор: подвигай заряды и точку наблюдения, и обе составляющие поля, а также их векторная сумма, пересчитаются мгновенно вместе со схемой.

Принцип суперпозиции электрических полей

Принцип суперпозиции - это утверждение, что поле системы зарядов в любой точке равно векторной сумме полей, которые создавал бы в этой точке каждый заряд по отдельности, если бы остальных зарядов не было:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \ldots + \vec{E_n}.$

Ключевое слово здесь - "векторной". Заряды не мешают друг другу создавать поле: каждый заряд действует так, как будто он один, а результат - это геометрическая сумма всех вкладов. Именно поэтому нельзя просто сложить модули $E_1$ и $E_2$, если только направления полей не совпадают: в общем случае нужно складывать их по правилу параллелограмма или через проекции на оси.

Рассчитать для своей задачи

Напряжённость поля точечного заряда

Прежде чем складывать поля, нужно найти каждое из них по отдельности. Напряжённость поля, которое точечный заряд $q$ создаёт на расстоянии $r$ от себя, определяется законом Кулона:

$E = k\,\frac{|q|}{r^2}, \qquad k = 9\cdot10^9\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{Кл}^2}.$

Направление вектора $\vec{E}$ зависит от знака заряда: если заряд положительный, поле направлено от заряда к рассматриваемой точке (заряд "отталкивает" пробный положительный заряд); если заряд отрицательный - к заряду (притягивает). Это удобно записать в векторной форме сразу с учётом знака:

$\vec{E} = k\,\frac{q}{r^3}\,\vec{r},$

где $\vec{r}$ - вектор, проведённый от заряда к точке наблюдения. Если $q$ отрицателен, вектор автоматически разворачивается на 180°, и формула уже не требует отдельного разбора случаев "притяжение или отталкивание" - знак берёт на себя всю работу.

Рассчитать для своей задачи

Как найти результирующее поле: метод проекций

Правило параллелограмма нагляднее для рисунка, но для расчёта удобнее метод проекций - разложить каждый вектор на составляющие по осям $x$ и $y$, сложить составляющие отдельно, а потом найти модуль и направление суммы:

$E_x = \sum_i E_{ix}, \qquad E_y = \sum_i E_{iy},$

$E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}, \qquad \tg\varphi = \frac{E_y}{E_x}.$

Для каждого заряда $i$, расположенного в точке $(x_i, y_i)$, а точка наблюдения $P$ в $(x, y)$, составляющие находятся так же, как для вектора $\vec r = (x - x_i,\ y - y_i)$:

$E_{ix} = k\,\frac{q_i\,(x - x_i)}{r_i^3}, \qquad E_{iy} = k\,\frac{q_i\,(y - y_i)}{r_i^3}, \qquad r_i = \sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2}.$

Это ровно те формулы, по которым пересчитывается калькулятор выше: сдвинь точку P в сторону от оси, соединяющей заряды, и увидишь, что суммарный вектор перестаёт совпадать по направлению ни с одним из $E_1$, $E_2$ - именно потому, что складываются проекции, а не модули.

Метод проекций хорош ещё и тем, что легко обобщается на три и более заряда: для каждого дополнительного заряда просто добавляется ещё одно слагаемое в сумму $E_x$ и $E_y$, а порядок действий не меняется. В задачах с тремя зарядами в вершинах треугольника это единственный практичный способ решения - строить параллелограмм для трёх векторов вручную неудобно, а вот сложить шесть чисел (по две проекции на каждый заряд) - рутинная и надёжная процедура.

Особые случаи: одинаковые и разноимённые заряды

Два частных случая настолько часто встречаются в задачах, что их стоит запомнить отдельно. Пусть оба заряда равны по модулю и расположены симметрично относительно точки наблюдения, лежащей на серединном перпендикуляре к отрезку между зарядами.

Если заряды одного знака, горизонтальные составляющие (вдоль отрезка, соединяющего заряды) у $E_1$ и $E_2$ равны по модулю, но противоположны по направлению - они гасятся. Остаётся только вертикальная составляющая, и результирующее поле направлено строго перпендикулярно отрезку между зарядами.

Если заряды разного знака (диполь), наоборот, гасятся вертикальные составляющие, а горизонтальные складываются - результирующее поле в этом случае параллельно отрезку, соединяющему заряды.

Рассчитать для своей задачи

Пример решения типовой задачи

Два точечных заряда $q_1 = q_2 = 6$ нКл расположены на расстоянии 8 см друг от друга. Нужно найти напряжённость поля в точке $P$, лежащей на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему заряды, на расстоянии 3 см от его середины.

Удобно поместить середину отрезка в начало координат, тогда заряды находятся в точках $(-4, 0)$ и $(4, 0)$ см, а точка $P$ - в $(0, 3)$ см. Расстояние от каждого заряда до $P$ находим по теореме Пифагора:

$r = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\ \text{см} = 0{,}05\ \text{м}.$

Модуль поля от каждого заряда одинаков, так как заряды и расстояния равны:

$E_1 = E_2 = k\,\frac{q}{r^2} = 9\cdot10^9 \cdot \frac{6\cdot10^{-9}}{(0{,}05)^2} = 21\,600\ \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}.$

Оба заряда положительны и расположены симметрично, поэтому горизонтальные составляющие сокращаются, а вертикальные складываются. Вертикальная составляющая каждого вектора равна $E_i \cdot \frac{h}{r}$, где $h = 3$ см - высота точки над отрезком:

$E_y = 2\,E_1\,\frac{h}{r} = 2\cdot21\,600\cdot\frac{3}{5} = 25\,920\ \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}.$

Так как горизонтальные составляющие равны нулю, результирующая напряжённость направлена строго вверх, перпендикулярно отрезку между зарядами, и равна

$E = E_y = 25\,920\ \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} \approx 25{,}9\ \frac{\text{кН}}{\text{Кл}}.$

Это ровно те значения по умолчанию, что стоят в калькуляторе выше - можно свериться напрямую, не пересчитывая слайдеры.

Частые ошибки

• Сложение модулей вместо векторов. Складывать $E_1 + E_2$ напрямую можно только если оба вектора направлены строго вдоль одной прямой в одну сторону - в общем случае так делать нельзя.
• Потеря знака заряда. Направление вектора поля зависит от знака заряда: для отрицательного заряда вектор направлен к заряду, а не от него. Ошибка в знаке разворачивает всю диаграмму сложения на 180°.
• Путаница с расстоянием в проекциях. В формулу проекции $E_{ix} = kq(x-x_i)/r_i^3$ подставляется куб расстояния в знаменателе, а не квадрат - легко забыть при переходе от модуля к составляющим.
• Забытый перевод единиц. Расстояние нужно перевести в метры, заряд - в кулоны (нКл $\times 10^{-9}$), иначе итоговое значение будет ошибочным на несколько порядков.
• Неверная геометрия при поиске проекций. Если точка наблюдения не лежит на оси симметрии, углы наклона векторов $E_1$ и $E_2$ разные - нельзя пользоваться формулами для симметричного случая без проверки.

FAQ

Как складывать напряжённости электрических полей от нескольких зарядов? По принципу суперпозиции - как векторы, через правило параллелограмма или через сложение проекций на оси: $E_x = \sum E_{ix}$, $E_y = \sum E_{iy}$, а модуль результирующего поля - $E = \sqrt{E_x^2+E_y^2}$.

Почему нельзя просто сложить модули полей E1 и E2? Потому что напряжённость - векторная величина, а векторы складываются с учётом направления. Простое сложение модулей верно только в частном случае, когда оба вектора коллинеарны и сонаправлены.

Как определить направление вектора E для отрицательного заряда? Вектор направлен к заряду, а не от него - отрицательный заряд притягивает пробный положительный заряд, поэтому линии поля сходятся к нему, а не расходятся.

Что делать, если в задаче три заряда, а не два? Тот же принцип суперпозиции работает для любого числа зарядов: находишь проекции поля от каждого заряда по отдельности, складываешь все $E_{ix}$ между собой и все $E_{iy}$ между собой, а затем находишь модуль и угол результирующего вектора по тем же двум формулам.

Коротко

Задачи на суперпозицию электрических полей решаются в три шага: найти модуль поля от каждого заряда по формуле $E = kq/r^2$, разложить каждый вектор на проекции по осям и сложить проекции отдельно, а затем восстановить модуль и направление результирующего вектора. Направление поля всегда учитывает знак заряда - к заряду для отрицательного, от заряда для положительного. Два частных случая стоит помнить отдельно: одинаковые заряды на серединном перпендикуляре дают поле поперёк отрезка между ними, разноимённые - вдоль него.