Последовательное соединение конденсаторов: задачи и формулы

Последовательное соединение конденсаторов - это схема, в которой конденсаторы подключены друг за другом в цепочку, поэтому через них проходит один и тот же заряд, а напряжение источника делится между ними. Это противоположность параллельному соединению, где общим оказывается напряжение, а заряд у каждого конденсатора свой. Из-за общего заряда при последовательном соединении складываются не сами ёмкости, а обратные им величины, и итоговая ёмкость всегда меньше самой маленькой из ёмкостей в цепочке. Ниже разберём, почему так происходит, как найти общую ёмкость для двух и для нескольких конденсаторов, как посчитать напряжение на каждом из них и энергию батареи, и решим типовую задачу. Покрути калькулятор ниже: он пересчитывает все величины разом и показывает распределение напряжения по конденсаторам.

Почему при последовательном соединении складываются обратные ёмкости

Когда конденсаторы соединены последовательно, обкладка первого конденсатора подключена к источнику, его вторая обкладка соединена с первой обкладкой второго конденсатора, и так далее по цепочке. Между соседними конденсаторами образуются изолированные участки проводника - на них нет внешнего источника заряда, поэтому суммарный заряд каждого такого участка остаётся равным нулю: заряд, наведённый на одной обкладке, в точности равен по модулю заряду на соседней. В результате заряд $Q$ оказывается одинаковым на обкладках всех конденсаторов цепочки - это ключевое отличие от параллельной схемы, где общим было напряжение.

Напряжение на каждом конденсаторе при этом своё и связано с зарядом и ёмкостью основной формулой $U_i = Q/C_i$. Поскольку заряд общий, а ёмкости разные, напряжения тоже разные - чем меньше ёмкость, тем больше напряжение на ней приходится. Полное напряжение источника равно сумме напряжений на всех конденсаторах цепочки:

$U = U_1 + U_2 + U_3 = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} + \frac{Q}{C_3} = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}\right).$

С другой стороны, для батареи как для единого конденсатора справедливо $U = Q/C$. Сравнивая оба выражения, получаем главную формулу общей ёмкости последовательного соединения:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}.$

То есть при последовательном соединении складываются обратные ёмкости, а не сами ёмкости. Отсюда сразу следует важное практическое правило: общая ёмкость последовательной цепочки всегда меньше самой маленькой из складываемых ёмкостей - добавление ещё одного конденсатора в цепочку только уменьшает итоговую ёмкость батареи, никогда не увеличивает.

Формула для двух конденсаторов

Для частного и самого частого в задачах случая двух конденсаторов формулу обратных величин удобно свернуть в прямую дробь. Из $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ получаем:

$C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}.$

Возьмём пример: конденсаторы $C_1 = 4$ мкФ и $C_2 = 12$ мкФ соединены последовательно. Подставляем в формулу:

$C = \frac{4 \cdot 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3\ \text{мкФ}.$

Рассчитать для своей задачи

Результат меньше меньшей из двух исходных ёмкостей (3 мкФ меньше 4 мкФ). Для трёх и более конденсаторов такой короткой формулы нет - складывают обратные величины и берут обратное от суммы, как в предыдущем разделе.

Заряд и напряжение на каждом конденсаторе

Разберём расчёт на числах из калькулятора выше. Пусть три конденсатора $C_1 = 2$ нФ, $C_2 = 3$ нФ и $C_3 = 5$ нФ соединены последовательно и подключены к напряжению $U = 12$ В. Сначала находим общую ёмкость:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 + 10 + 6}{30} = \frac{31}{30}, \qquad C = \frac{30}{31} \approx 0{,}97\ \text{нФ}.$

Заряд батареи, который одинаков на всех трёх конденсаторах, находим через общую ёмкость:

$Q = C U = \frac{30}{31} \cdot 12 = \frac{360}{31} \approx 11{,}61\ \text{нКл}.$

Теперь напряжение на каждом конденсаторе по формуле $U_i = Q/C_i$:

$U_1 = \frac{11{,}61}{2} \approx 5{,}81\ \text{В}, \quad U_2 = \frac{11{,}61}{3} \approx 3{,}87\ \text{В}, \quad U_3 = \frac{11{,}61}{5} \approx 2{,}32\ \text{В}.$

Рассчитать для своей задачи

Видно, что меньший конденсатор берёт на себя большее напряжение - при одинаковом заряде напряжение распределяется обратно пропорционально ёмкости. Сумма напряжений даёт исходное напряжение источника:

$U_1 + U_2 + U_3 = 5{,}81 + 3{,}87 + 2{,}32 = 12{,}00\ \text{В},$

и это удобная самопроверка: если сумма напряжений отдельных конденсаторов не совпала с заданным напряжением источника, где-то закралась ошибка в расчёте общей ёмкости или заряда.

Энергия последовательно соединённых конденсаторов

Энергия батареи считается по той же формуле, что и для одиночного конденсатора, но с общей ёмкостью цепочки:

$W = \frac{C U^2}{2} = \frac{Q U}{2} = \frac{Q^2}{2C}.$

Для нашего примера $W = \dfrac{0{,}97 \cdot 12^2}{2} \approx 69{,}68$ нДж. Поскольку заряд у всех конденсаторов одинаков, энергию можно посчитать и как сумму энергий каждого конденсатора $W_i = Q^2/(2C_i)$ - результат совпадёт. Форма удобна, когда в задаче сразу дан заряд батареи, а не напряжение источника.

Чем последовательное соединение отличается от параллельного

Сравнение двух схем - частый источник путаницы в задачах. При параллельном соединении конденсаторов общим является напряжение, а складываются сами ёмкости:

$C_{пар} = C_1 + C_2 + C_3.$

Для тех же трёх конденсаторов 2, 3 и 5 нФ параллельное соединение дало бы 10 нФ - в десять с лишним раз больше, чем 0,97 нФ при последовательном. Нижний график в калькуляторе выше показывает этот контраст: одна и та же тройка конденсаторов при последовательном соединении даёт заметно меньшую общую ёмкость, а при параллельном - большую. Подробный разбор параллельной схемы - в статье про параллельное соединение конденсаторов.

Коротко противопоставление выглядит так: последовательно одинаков заряд и складываются обратные ёмкости, параллельно одинаково напряжение и складываются сами ёмкости. Если запомнить, какая величина в схеме общая, нужную формулу легко восстановить и не перепутать её с формулой для другого типа соединения.

В смешанных цепях, где последовательные и параллельные участки соседствуют, расчёт ведут поэтапно: сначала сворачивают каждый параллельный участок в одну эквивалентную ёмкость сложением, затем оставшиеся последовательные участки - по формуле обратных величин, и так далее, пока не останется одна общая ёмкость батареи.

Пример решения типовой задачи

Разберём задачу целиком. Даны два конденсатора $C_1 = 6$ мкФ и $C_2 = 3$ мкФ, соединённые последовательно и подключённые к источнику напряжения $U = 18$ В. Нужно найти общую ёмкость, заряд батареи и напряжение на каждом конденсаторе.

Поскольку конденсаторов только два, используем короткую формулу:

$C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\ \text{мкФ}.$

Заряд батареи, одинаковый для обоих конденсаторов:

$Q = C U = 2 \cdot 18 = 36\ \text{мкКл}.$

Напряжение на каждом конденсаторе:

$U_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{36}{6} = 6\ \text{В}, \qquad U_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{36}{3} = 12\ \text{В}.$

Проверка: $U_1 + U_2 = 6 + 12 = 18$ В, что совпадает с заданным напряжением источника - расчёт верен. Заметьте закономерность: конденсатор с меньшей ёмкостью ($C_2 = 3$ мкФ) взял на себя вдвое большее напряжение, чем конденсатор с вдвое большей ёмкостью ($C_1 = 6$ мкФ) - напряжение и ёмкость при последовательном соединении обратно пропорциональны. Такую же цепочку рассуждений воспроизводит калькулятор выше для любых введённых значений.

Частые ошибки

• Складывают сами ёмкости вместо обратных величин. Правило $C = C_1 + C_2$ относится к параллельному соединению. Для последовательного нужно складывать обратные ёмкости: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2 + 1/C_3$.
• Забывают взять обратное значение от суммы. Посчитав $1/C_1 + 1/C_2$, некоторые записывают эту сумму как саму ёмкость $C$, забыв последний шаг - взять обратную величину результата.
• Считают напряжение одинаковым на всех конденсаторах. Одинаковым при последовательном соединении является заряд, а напряжение у каждого конденсатора своё: $U_i = Q/C_i$. Одинаковое напряжение - признак параллельного соединения.
• Забывают, что общая ёмкость меньше любой отдельной. Если в ответе для последовательного соединения общая ёмкость получилась больше самого маленького конденсатора в цепочке, значит, где-то перепутана формула.
• Путают единицы. Микрофарады, нанофарады и пикофарады нельзя складывать без приведения к одной единице измерения - переведите все ёмкости в одинаковые единицы перед расчётом.

FAQ

Как найти общую ёмкость при последовательном соединении конденсаторов? Нужно сложить обратные величины ёмкостей: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2 + \ldots + 1/C_n$, а затем взять обратное значение от полученной суммы. Для двух конденсаторов есть удобная короткая формула $C = C_1 C_2 / (C_1 + C_2)$.

Одинаковый ли заряд на последовательно соединённых конденсаторах? Да. При последовательном соединении заряд на всех конденсаторах цепочки одинаков и равен заряду батареи $Q$, а напряжение каждого конденсатора своё - $U_i = Q/C_i$. Сумма напряжений всех конденсаторов равна напряжению источника.

Почему общая ёмкость при последовательном соединении меньше самой маленькой ёмкости? Потому что складываются обратные величины ёмкостей, а обратная сумма всегда больше каждого отдельного слагаемого - соответственно итоговая ёмкость, обратная этой сумме, всегда меньше наименьшей из исходных ёмкостей.

Коротко

При последовательном соединении конденсаторов заряд на всех конденсаторах одинаков и равен заряду батареи $Q$, а обратные ёмкости складываются: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2 + 1/C_3$. Для двух конденсаторов формула упрощается до $C = C_1 C_2/(C_1+C_2)$. Напряжение каждого конденсатора равно $U_i = Q/C_i$, а сумма напряжений всех конденсаторов равна напряжению источника; энергия батареи считается как $W = C U^2/2$. Общая ёмкость последовательного соединения всегда меньше самой маленькой из ёмкостей - в этом её главное отличие от параллельного соединения, где, наоборот, ёмкости складываются, а общая ёмкость только растёт.