Построение изображения в выпуклом зеркале: два луча

Выпуклое (рассеивающее) сферическое зеркало ведёт себя иначе, чем привычное вогнутое: где бы вы ни поставили предмет, изображение в нём всегда получается одним и тем же по характеру - мнимым, прямым и уменьшенным. Это свойство и делает выпуклые зеркала удобными для широкого обзора: зеркала заднего вида, дорожные зеркала на слепых поворотах, противокражные зеркала в магазинах. Ниже разберём, как построить изображение двумя характеристическими лучами, откуда берётся формула зеркала с отрицательным фокусным расстоянием и почему результат не меняется качественно при любом положении предмета. Чтобы сразу увидеть эту закономерность, покрутите калькулятор ниже - он строит оба луча и считает формулу зеркала для любых d и R, а дальше мы разберём каждый шаг подробно.

Чем выпуклое зеркало отличается от вогнутого

У вогнутого зеркала отражающая поверхность вогнута внутрь, к предмету, и собирает параллельный пучок лучей в реальном фокусе перед зеркалом. У выпуклого зеркала поверхность, наоборот, выгнута наружу, навстречу предмету, и рассеивает параллельный пучок так, что отражённые лучи расходятся, как будто выходят из точки за зеркалом. Эта точка - мнимый фокус $F$. Как и у вогнутого зеркала, фокусное расстояние связано с радиусом кривизны $R$ соотношением

$f = \frac{R}{2},$

но у выпуклого зеркала и фокус $F$, и центр кривизны $C$ лежат позади отражающей поверхности, а не перед ней. Именно поэтому в формулах фокусное расстояние выпуклого зеркала принято брать со знаком минус - это формально отражает то, что фокус мнимый.

Два характеристических луча

Для вогнутого зеркала обычно используют три луча, но для выпуклого удобнее ограничиться двумя - третий (через мнимый центр $C$) добавляет мало наглядности, зато первые два строят изображение однозначно.

Рассчитать для своей задачи

• Луч, параллельный главной оси. Падая на выпуклое зеркало, он отражается так, что его продолжение назад, за зеркало, проходит через мнимый фокус $F$. Сам отражённый луч у же не сходится ни с чем реальным - он просто расходится с осью.
• Луч, направленный в полюс $P$. Полюс - это точка на самом зеркале, где ось пересекает его поверхность. Луч, идущий от вершины предмета в полюс, отражается симметрично относительно главной оси, будто зеркало в этой точке ведёт себя как плоское.

Оба отражённых луча реально расходятся вправо, за пределы зеркала уже не заходят - но если продолжить их пунктиром НАЗАД, за зеркальную поверхность, продолжения пересекутся в одной точке. Эта точка и есть вершина мнимого изображения: глаз наблюдателя достраивает её сам, воспринимая расходящиеся лучи так, будто они вышли именно оттуда.

Рассчитать для своей задачи

Формула зеркала со знаком

Формула сферического зеркала одна и та же для вогнутого и выпуклого случая:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d^{\prime}},$

где $d$ - расстояние от предмета до зеркала, $d^{\prime}$ - расстояние до изображения. Разница - в знаках. Для выпуклого зеркала фокус мнимый, поэтому подставляют $f = -R/2$. Тогда из формулы зеркала

$\frac{1}{d^{\prime}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d} = -\frac{2}{R} - \frac{1}{d},$

и оба слагаемых справа отрицательны при любых положительных $d$ и $R$. Значит, $d^{\prime}$ тоже всегда отрицательно - изображение всегда получается мнимым, независимо от того, далеко предмет или близко. Выражая явно, удобно записать

$|d^{\prime}| = \frac{R\,d}{2d + R}, \qquad \Gamma = \frac{|d^{\prime}|}{d} = \frac{R}{2d + R},$

где $\Gamma$ - линейное увеличение. Оба выражения положительны и меньше единицы при любых $d, R > 0$ - отсюда сразу видно, что изображение всегда прямое (не перевёрнутое, знак увеличения не меняется) и всегда уменьшенное ($\Gamma < 1$).

Почему изображение всегда лежит между полюсом и фокусом

Полезно заметить ещё одно следствие той же формулы: сравнивая $|d^{\prime}|$ с фокусным расстоянием $f = R/2$, легко показать, что $|d^{\prime}| < f$ при любом $d > 0$. То есть мнимое изображение никогда не «убегает» дальше фокуса - оно всегда находится где-то между полюсом зеркала и мнимым фокусом. При этом чем ближе предмет придвигают к зеркалу, тем ближе $\Gamma$ подходит к единице (изображение почти не уменьшается), а чем дальше предмет уносят, тем меньше становится $\Gamma$ - изображение сжимается до крошечной точки у фокуса. Именно эта закономерность и объясняет, почему выпуклое зеркало даёт такой широкий обзор: оно как бы «упаковывает» большое пространство перед собой в компактную мнимую картинку небольшого размера.

Пример решения типовой задачи

Возьмём выпуклое зеркало с радиусом кривизны $R = 40$ см, перед которым на расстоянии $d = 60$ см стоит предмет. Сначала находим фокусное расстояние:

$f = \frac{R}{2} = \frac{40}{2} = 20\ \text{см}.$

Расстояние до мнимого изображения находим по выведенной формуле:

$|d^{\prime}| = \frac{R\,d}{2d + R} = \frac{40 \cdot 60}{2 \cdot 60 + 40} = \frac{2400}{160} = 15\ \text{см}.$

Увеличение:

$\Gamma = \frac{|d^{\prime}|}{d} = \frac{15}{60} = 0{,}25.$

Значит, изображение находится в 15 см за зеркалом, оно прямое и в четыре раза меньше самого предмета. Проверка: $15$ см меньше фокусного расстояния $20$ см, как и должно быть для мнимого изображения выпуклого зеркала - оно лежит между полюсом и фокусом, ближе к фокусу, чем к зеркалу.

Частые ошибки

• Забыть знак минус у фокусного расстояния. Если подставить $f = R/2$ без минуса, формула зеркала даст неверный (иногда даже отрицательный при некоторых $d$) результат для $d^{\prime}$. Для выпуклого зеркала всегда $f = -R/2$.
• Ожидать перевёрнутое изображение при большом предмете. У выпуклого зеркала изображение прямое при ЛЮБОМ положении предмета - в отличие от вогнутого, где перевёрнутость зависит от того, где стоит предмет относительно фокуса и центра.
• Путать полюс с центром кривизны. Полюс $P$ - точка на самом зеркале; центр кривизны $C$ - центр сферы, частью которой является зеркало, лежит позади зеркала на расстоянии $R$. Второй характеристический луч в этой статье строится через полюс, а не через центр.
• Считать, что увеличение может превысить единицу. Для выпуклого зеркала $\Gamma$ всегда меньше единицы: изображение всегда уменьшено, сколько бы предмет ни приближали.
• Пытаться поймать изображение на экран. Мнимое изображение существует только для наблюдателя, смотрящего в зеркало - на экране за зеркалом ничего не появится, потому что там реально сходящихся лучей нет, только их продолжения.

FAQ

Может ли выпуклое зеркало дать перевёрнутое изображение? Нет. При любом положении предмета выпуклое зеркало даёт прямое (не перевёрнутое) изображение - это прямое следствие того, что увеличение $\Gamma = R/(2d+R)$ всегда положительно.

Почему зеркала заднего вида в автомобилях делают выпуклыми? Выпуклая форма рассеивает лучи от широкой области пространства позади машины, «сжимая» её в уменьшенное мнимое изображение - так в одном небольшом зеркале помещается более широкий обзор, чем дало бы плоское зеркало того же размера.

Зависит ли тип изображения в выпуклом зеркале от расстояния до предмета? Нет, и в этом ключевое отличие от вогнутого зеркала. У выпуклого зеркала изображение всегда мнимое, прямое и уменьшенное независимо от $d$ - меняется только степень уменьшения.

Коротко

Изображение в выпуклом зеркале строится двумя лучами: параллельным оси (отражается так, что кажется идущим из мнимого фокуса $F$) и направленным в полюс $P$ (отражается симметрично оси). Формула зеркала $1/f = 1/d + 1/d^{\prime}$ с $f = -R/2$ даёт $|d^{\prime}| = Rd/(2d+R)$ и увеличение $\Gamma = R/(2d+R)$, которое всегда лежит строго между 0 и 1. Поэтому изображение в выпуклом зеркале всегда мнимое, прямое и уменьшенное - независимо от того, где стоит предмет, - и всегда находится между полюсом зеркала и его мнимым фокусом.