Задачи на построение изображения в тонкой линзе

Задачи на построение изображения в тонкой линзе встречаются в школьном курсе оптики почти сразу после формулы линзы, но именно построение, а не расчёт по формуле, чаще всего вызывает трудности: нужно выбрать правильные лучи, аккуратно провести их через линзу и не перепутать, где искать пересечение для мнимого изображения. Разберём три характеристических луча, правило для собирающей и рассеивающей линзы, пять типовых зон положения предмета и частые ошибки на чертеже. Чтобы сразу увидеть, как меняется картина при движении предмета, покрутите калькулятор ниже: он строит все три луча заново при любом положении предмета и типе линзы.

Три характеристических луча

Построение изображения точки предмета - это нахождение точки пересечения (или пересечения продолжений) двух-трёх лучей, вышедших из этой точки и прошедших через линзу. Для тонкой линзы такими лучами удобно брать три:

Рассчитать для своей задачи

1. Луч, параллельный главной оптической оси. После преломления в собирающей линзе он идёт через дальний фокус $F'$ (на стороне изображения). В рассеивающей линзе он идёт так, что его продолжение назад проходит через ближний фокус $F$ (на стороне предмета).
2. Луч через оптический центр линзы. Проходит без преломления - прямая линия, потому что вблизи центра тонкой линзы её поверхности почти параллельны.
3. Луч через фокус со стороны предмета (для собирающей линзы) или направленный на дальний фокус (для рассеивающей). После линзы такой луч идёт параллельно главной оси.

Любых двух из этих трёх лучей достаточно, чтобы найти точку изображения; третий - проверка построения. Все три пересекаются (или их продолжения пересекаются) ровно в одной точке - это ключевое свойство тонкой линзы в параксиальном приближении, и именно оно делает построение надёжным способом проверить расчёт по формуле.

Правило для собирающей и рассеивающей линзы

Для собирающей линзы ($F > 0$) лучи после преломления сближаются к оси:

• параллельный оси луч сходится в дальнем фокусе;
• луч через ближний фокус выходит параллельно оси;
• луч через центр не меняет направления.

Для рассеивающей линзы ($F < 0$) лучи расходятся, поэтому точку пересечения ищут через продолжения назад:

• параллельный оси луч после линзы расходится так, что его обратное продолжение проходит через фокус на стороне предмета;
• луч, направленный на дальний фокус, после линзы выходит параллельно оси;
• луч через центр снова идёт без преломления.

Рассчитать для своей задачи

Рассеивающая линза при любом положении предмета даёт только один тип изображения - мнимое, прямое и уменьшенное, потому что расходящиеся лучи никогда не пересекаются реально, только их продолжения назад. Собирающая линза даёт разный результат в зависимости от того, где именно относительно фокуса стоит предмет, - и это стоит разобрать по зонам.

Пять зон положения предмета у собирающей линзы

Тип, ориентация и размер изображения в собирающей линзе полностью определяются тем, в какой из пяти зон относительно фокуса $F$ и двойного фокуса $2F$ находится предмет:

• $d > 2F$ - изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное. Так строит изображение объектив фотоаппарата.
• $d = 2F$ - изображение действительное, перевёрнутое, равное по размеру предмету. Точка симметрии всей картины: $f = d = 2F$.
• $F < d < 2F$ - изображение действительное, перевёрнутое, увеличенное. Так работает объектив проектора.
• $d = F$ - изображение уходит в бесконечность: после линзы все лучи идут параллельным пучком и нигде не пересекаются.
• $d < F$ - изображение мнимое, прямое, увеличенное. Это режим лупы - линза используется как обычное увеличительное стекло.

Каждая из этих зон - готовый пресет в калькуляторе выше: переключите положение предмета и убедитесь, что чертёж и числа согласуются с перечисленными свойствами. Полезно заметить закономерность: пока предмет удаляется от линзы дальше фокуса, изображение приближается к линзе с противоположной стороны и уменьшается; как только предмет пересекает фокус, изображение «улетает» в бесконечность и тут же возвращается уже с той же стороны, что и предмет, - мнимым и увеличенным.

Как проверить формулой то, что вы построили

Построение и расчёт должны давать один и тот же ответ - это лучший способ проверить чертёж. Формула тонкой линзы связывает три расстояния:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f},$

где $d$ - расстояние от предмета до линзы, $f$ - расстояние от линзы до изображения. Увеличение находят как

$\Gamma = \frac{f}{d}.$

Знак $f$ повторяет то, что видно на чертеже: $f > 0$ означает, что изображение действительно лежит по другую сторону линзы от предмета (лучи реально сходятся), $f < 0$ - что изображение мнимое и находится с той же стороны, где предмет (сходятся только продолжения лучей). Подробный разбор самой формулы, знаков и вывода увеличения - в статье про формулу тонкой линзы; здесь мы сосредоточены именно на самом построении.

Пример построения по шагам

Пусть собирающая линза имеет фокусное расстояние $F = 12$ см, а предмет высотой 3 см стоит на расстоянии $d = 20$ см - это зона между $F$ и $2F$. Порядок построения:

1. Проводим главную оптическую ось и отмечаем на ней линзу, фокусы $F$ и $F'$ на расстоянии 12 см по обе стороны, а также точки $2F$ на расстоянии 24 см.
2. Ставим стрелку предмета высотой 3 см на расстоянии 20 см слева от линзы.
3. Из вершины предмета проводим луч параллельно оси до линзы, затем - через дальний фокус $F'$.
4. Из той же точки проводим луч через оптический центр линзы без преломления.
5. Точка пересечения этих двух лучей - вершина изображения. Третий луч (через ближний фокус) для проверки должен пройти через ту же точку.

Расчёт подтверждает построение: $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{20 - 12}{240} = \dfrac{8}{240}$, откуда $f = 30$ см, а увеличение $\Gamma = 30/20 = 1{,}5$. Изображение действительное (так как $f>0$), перевёрнутое и увеличенное в полтора раза - ровно то, что и должно получиться в зоне между $F$ и $2F$.

Частые ошибки

• Преломление рисуют не в плоскости линзы. Луч должен идти прямо до линзы и ломаться ровно на ней, а не где-то до или после - иначе построение сразу даёт неверную точку.
• Для мнимого изображения ищут пересечение реальных лучей. Если предмет ближе фокуса, лучи после линзы расходятся и реально не пересекаются - точку изображения дают только их продолжения назад (пунктиром), а не сами лучи.
• Перепутан фокус для параллельного луча. У собирающей линзы параллельный оси луч идёт через дальний фокус (за линзой), а не через ближний - эта путаница особенно часто встречается у рассеивающей линзы, где по построению используется обратное продолжение.
• Забывают, что рассеивающая линза даёт только один тип изображения. Для неё не нужно перебирать зоны - при любом положении предмета изображение мнимое, прямое и уменьшенное.
• Считают, что третий луч обязателен для построения. Достаточно любых двух лучей; третий нужен только для проверки, и если он не проходит через ту же точку - где-то ошибка в первых двух.

FAQ

Сколько лучей нужно для построения изображения в линзе? Минимум два из трёх характеристических лучей - их пересечение и даёт точку изображения. Третий луч используют как проверку правильности построения.

Как построить изображение, если предмет стоит ближе фокуса? Лучи после линзы расходятся и реально не пересекаются. Точку изображения находят продолжив расходящиеся лучи назад пунктиром - их пересечение с той же стороны, где предмет, и даёт мнимое, прямое, увеличенное изображение.

Почему рассеивающая линза всегда даёт мнимое изображение? Потому что рассеивающая линза только раздвигает лучи от оси, и после неё они никогда не сходятся реально ни при каком положении предмета - сходятся лишь их обратные продолжения, поэтому изображение всегда мнимое, прямое и уменьшенное.

Коротко

Изображение в тонкой линзе строят двумя-тремя характеристическими лучами: параллельным оси (идёт через дальний фокус), через оптический центр (без преломления) и через ближний фокус (выходит параллельно оси). У собирающей линзы тип изображения зависит от зоны - за $2F$, в $2F$, между $F$ и $2F$, в $F$ или внутри $F$, - а рассеивающая линза всегда даёт мнимое, прямое, уменьшенное изображение. Формула тонкой линзы $1/F = 1/d + 1/f$ и увеличение $\Gamma = f/d$ дают тот же ответ, что и чертёж, - это удобный способ проверить построение.