Радикальный центр трёх окружностей: формула и свойства

Радикальный центр трёх окружностей - это единственная точка плоскости, у которой степень относительно всех трёх окружностей одинакова. Она получается как пересечение трёх радикальных осей, составленных для каждой пары окружностей, и в олимпиадной геометрии этот факт часто используют, чтобы доказать конкурентность (пересечение в одной точке) линий, которые на первый взгляд с окружностями не связаны. Ниже разберём, что такое степень точки и радикальная ось, как вывести уравнение радикального центра и когда он вообще существует. Чтобы сразу увидеть, как расположение и радиусы окружностей влияют на положение радикального центра, покрутите калькулятор ниже - он строит все три окружности, все три радикальные оси и точку их пересечения одновременно.

Степень точки и радикальная ось двух окружностей

Степенью точки $M(x, y)$ относительно окружности с центром $O$ и радиусом $r$ называется величина

$\text{pow}(M) = |MO|^2 - r^2.$

Если записать окружность в общем виде $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ (где $D = -2a$, $E = -2b$, $F = a^2 + b^2 - r^2$ для центра $(a, b)$), степень точки вычисляется прямой подстановкой координат в левую часть уравнения. Точка лежит вне окружности, если степень положительна, внутри - если отрицательна, и на самой окружности - если степень равна нулю.

Рассчитать для своей задачи

Радикальной осью двух окружностей называют геометрическое место точек, у которых степень относительно обеих окружностей одинакова. Если вычесть общие уравнения окружностей друг из друга, квадратичные члены $x^2 + y^2$ сократятся и останется линейное уравнение:

$(D_1 - D_2)\,x + (E_1 - E_2)\,y + (F_1 - F_2) = 0.$

Это уравнение прямой, причём радикальная ось всегда перпендикулярна отрезку, соединяющему центры двух окружностей. Если окружности пересекаются в двух точках, радикальная ось проходит через обе точки пересечения - это самый простой способ её построить на чертеже. Если окружности не пересекаются, ось всё равно существует, просто её приходится строить через равенство касательных отрезков.

Как найти радикальный центр трёх окружностей

Возьмём три окружности с центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$. Для каждой пары можно составить радикальную ось - всего получится три прямые: ось пары $(O_1, O_2)$, ось пары $(O_2, O_3)$ и ось пары $(O_1, O_3)$. Ключевой факт: все три радикальные оси пересекаются в одной точке, которую и называют радикальным центром.

Доказывается это прямым сложением уравнений. Если обозначить радикальную ось пары $(i, j)$ как $L_{ij}(x, y) = 0$, то по построению

$L_{12} + L_{23} + L_{31} \equiv 0$

как тождество (коэффициенты при $x$, $y$ и свободный член сокращаются попарно). Значит, если точка лежит одновременно на $L_{12} = 0$ и $L_{23} = 0$, она автоматически удовлетворяет и $L_{31} = 0$ - третья ось проходит через ту же точку.

Практически радикальный центр находят так: составляют две радикальные оси (например, пар $(1,2)$ и $(1,3)$) и решают систему двух линейных уравнений методом Крамера:

$$\begin{aligned} A_{12}\,x + B_{12}\,y &= -C_{12}, \\ A_{13}\,x + B_{13}\,y &= -C_{13}. \end{aligned}$$

Решение существует и единственно, пока определитель $A_{12}B_{13} - A_{13}B_{12}$ не равен нулю. Третью ось используют только для проверки - если координаты радикального центра ей не удовлетворяют, где-то допущена арифметическая ошибка.

Рассчитать для своей задачи

Свойства радикального центра

Главное свойство уже заложено в определении: степень радикального центра $Z$ одинакова относительно всех трёх окружностей, $\text{pow}(Z) = \text{pow}_1(Z) = \text{pow}_2(Z) = \text{pow}_3(Z)$. Отсюда следует красивое геометрическое следствие: если эта общая степень положительна (то есть $Z$ лежит вне всех трёх окружностей), то из $Z$ можно провести касательные ко всем трём окружностям, и длины всех шести касательных отрезков окажутся равны:

$t = \sqrt{\text{pow}(Z)}.$

Это свойство часто используют в обратную сторону: если в задаче нужно доказать, что какая-то точка равноудалена (по касательным) от трёх окружностей, достаточно показать, что она лежит на пересечении хотя бы двух радикальных осей, - и она автоматически окажется радикальным центром. Ещё одно применение - построение радикальной оси семейства окружностей, проходящих через общую пару точек (коаксиальной системы): радикальный центр помогает быстро найти общую ось всего пучка, не вычисляя каждую пару отдельно.

Когда радикальный центр не существует

Вырожденный случай возникает, если центры трёх окружностей $O_1$, $O_2$, $O_3$ лежат на одной прямой. Поскольку каждая радикальная ось перпендикулярна отрезку центров соответствующей пары, а все три пары центров лежат на одной и той же прямой, все три радикальные оси оказываются параллельны друг другу (перпендикулярны одной общей линии центров). Параллельные прямые не пересекаются в конечной точке, поэтому радикальный центр в этом случае не определён - формально можно сказать, что он «уходит на бесконечность».

Рассчитать для своей задачи

На практике это означает, что перед решением задачи стоит проверить: не лежат ли центры данных окружностей на одной прямой. Если да, стоит переформулировать вопрос в терминах отдельных радикальных осей (они всё ещё существуют по отдельности), а не радикального центра.

Пример решения задачи

Возьмём три окружности: $O_1(0; 0)$ с радиусом $3$, $O_2(6; 0)$ с радиусом $2$ и $O_3(3; 5)$ с радиусом $2{,}5$. Переведём каждую в общий вид $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$:

$$\begin{aligned} O_1&:\ D_1=0,\ E_1=0,\ F_1=-9, \\ O_2&:\ D_2=-12,\ E_2=0,\ F_2=32, \\ O_3&:\ D_3=-6,\ E_3=-10,\ F_3=27{,}75. \end{aligned}$$

Составим радикальные оси пар $(1,2)$ и $(1,3)$:

$L_{12}:\ 12x - 41 = 0, \qquad L_{13}:\ 6x + 10y - 36{,}75 = 0.$

Из первого уравнения сразу $x = 41/12 \approx 3{,}417$. Подставляем во второе:

$6 \cdot \frac{41}{12} + 10y - 36{,}75 = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{13}{8} = 1{,}625.$

Радикальный центр $Z \approx (3{,}417;\ 1{,}625)$. Проверим третью ось $L_{23}:\ -6x+10y+4{,}25=0$: подставив координаты $Z$, получаем $0$ - совпадает, значит, вычисления верны. Степень точки $Z$ относительно $O_1$:

$\text{pow}(Z) = x^2 + y^2 - 9 \approx 3{,}417^2 + 1{,}625^2 - 9 \approx 5{,}314.$

Поскольку степень положительна, из $Z$ можно провести касательные ко всем трём окружностям, и их общая длина равна $\sqrt{5{,}314} \approx 2{,}305$. Этот же расчёт калькулятор выше выполняет за долю секунды для любых введённых центров и радиусов.

Частые ошибки

• Подстановка радиуса вместо $r^2$ в общее уравнение. В $F = a^2+b^2-r^2$ радиус входит именно в квадрате, а не сам по себе - забытый квадрат сдвигает всю радикальную ось.
• Перепутанный порядок вычитания. При составлении $L_{12}$ важно вычитать коэффициенты одной окружности из другой в одном и том же порядке для всех трёх пар - иначе знаки не сойдутся при проверке через третью ось.
• Игнорирование коллинеарности центров. Если решить систему уравнений, не заметив, что определитель почти нулевой, можно получить формально «огромную» точку далеко от чертежа вместо честного вывода «радикального центра не существует».
• Извлечение корня из отрицательной степени. Длина касательной $t=\sqrt{\text{pow}(Z)}$ определена только при $\text{pow}(Z) > 0$; если радикальный центр лежит внутри хотя бы одной окружности, касательную из него провести нельзя.
• Путаница радикальной оси с серединным перпендикуляром. Радикальная ось перпендикулярна линии центров, но проходит не через середину отрезка центров (кроме случая равных радиусов), а через точку, где степени равны.

FAQ

Всегда ли существует радикальный центр у трёх произвольных окружностей? Нет. Он существует, если центры трёх окружностей не лежат на одной прямой. Если центры коллинеарны, все три радикальные оси параллельны и общей точки пересечения нет.

Как радикальный центр связан с касательными к окружностям? Если степень радикального центра относительно окружностей положительна, из него можно провести касательные ко всем трём окружностям, и все такие отрезки касательных равны между собой - это прямое следствие равенства степеней.

Нужно ли, чтобы окружности пересекались, чтобы найти радикальную ось? Нет. Радикальная ось существует для любой пары окружностей - пересекающихся, касающихся или вовсе не пересекающихся, - просто в первом случае её проще построить, проведя прямую через две точки пересечения.

Коротко

Радикальный центр трёх окружностей - точка пересечения трёх радикальных осей, построенных для каждой пары окружностей, в которой степень относительно всех трёх окружностей одинакова. Он находится решением системы двух линейных уравнений $(D_i-D_j)x+(E_i-E_j)y+(F_i-F_j)=0$ и существует всегда, кроме случая коллинеарных центров окружностей. Если степень радикального центра положительна, длины касательных из него ко всем трём окружностям равны - это свойство часто используют для доказательства конкурентности линий в олимпиадных задачах.